Ćwiczenie 2. Analiza pojedynczej zmiennej

Przypomnienie ( a może coś nowego?)

Oznaczmy obserwowane wartości zmiennej X przez x₁, x₂, …, x_n.

Miary położenia

Dla zmiennych wyrażonych w skali interwałowej i ilorazowej klasycznymi miarami tendencji centralnej to najczęściej średnie, które informują o przeciętnym poziomie cechy, nie odzwierciedlając różnic pomiędzy poszczególnymi jednostkami.

W zależności od postaci wartości zmiennej stosujemy:

-średnią arytmetyczną (gdy wartości zmiennej można dodawać),

-średnią geometryczną (gdy wartości zmiennej można mnożyć),

-średnią harmoniczną (gdy wartości zmiennej można dodawać).

Wartość średniej wyznaczamy jeśli wartości zmiennej są jednorodne.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna równa się sumie wszystkich wartości zmiennej podzielonej przez ich liczbę.

Dla zmiennej, która przyjmuje wartości x₁, x₂, …, x_n średnia arytmetyczna
wynosi:

5% średnia ucięta - średnia wyznaczona z wartości zmiennej , z których wyeliminowano 5% największych i 5% najmniejszych wartości.

Wartość 5% średniej uciętej wyznacza się gdy chcemy aby zmienne nietypowe nie zakłócały wartości średniej.

Średni błąd średniej (błąd standardowy)
.

Błąd standardowy - odchylenie średnie wyników pomiarów tej samej wielkości otrzymanych przy użyciu tego samego narzędzia pomiarowego.

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna
jest pierwiastkiem n - tego stopnia iloczynu n wartości zmiennej. Stosuje się ją głównie przy badaniu zmian tempa zjawisk . Średnia geometryczna w mniejszym stopniu niż średnia arytmetyczna odzwierciedla wpływ wartości ekstremalnych na przeciętny poziom zmiennej. Średnia geometryczną wyznacza się ze wzoru:

Z definicji wynika, że średnią geometryczną możemy wyznaczać tylko wtedy, gdy wartości obserwacje są liczbami dodatnimi i różnymi od zera.

Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczna
(dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennej. Oblicza się ją, gdy wartości zmiennej są podane w jednostkach względnych. Średnia harmoniczną wyznacza się ze wzoru:

przy czym:

Dla wszystkich zmiennych, wyrażonych co najmniej na skali porządkowej, można wyznaczać nieklasyczne miary tendencji centralnej. Należą do nich:

-mediana,

-dominanta (moda),

-kwantyle.

Mediana (zwana też wartością środkową) to w wartość w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba wartości zmiennej.

Dominanta (moda) - to najczęściej występująca wartość zmiennej.

Kwantylem rzędu p (K_p), gdzie 1 > p > 0, nazywamy każdą liczbę x_p przed, którą znajduje się 100p% wartości zmiennej. Kwantyle dla p = 0,25, p = 0,5, p = 0,75 nazywany kwartylami.

Gdy: p = 0,25 - kwartyl dolny (inaczej kwartyl rzędu 1 oznaczany przez Q_1, percentyl 25),

p = 0,5 - mediana (inaczej kwartyl rzędu 2, percentyl 50),

p = 0,75 - kwartyl górny ( inaczej kwartyl rzędu 3 oznaczany przez Q₃, percentyl 75).

W programie SPSS wartości kwanty li wyznaczane są kilkoma metodami, są to:

- algorytm standardowy,

- metoda średniej ważonej,

- metoda Empirical,

-metoda Aempirical,

- metoda zawiasów Tukey'a dla wyznaczenia 25, 50 i 75 percentyla (zwanych zawiasami Tukey'a).

W programie SPSS wyznaczane są alternatywne do mediany i średniej wartości tendencji centralnej.

Noszą one nazwę M-estymatorów i wyznaczane są metodami iteracyjnymi. M - estymatory stosowane są gdy rozkład zmiennej jest asymetryczny lub symetryczny lecz z długimi ogonami po lewej i prawej stronie. M - estymatory noszą nazwy pochodzące od nazwisk osób, które je wymyśliły.

Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji)

Miary zmienności dzielimy na: Miary klasyczne:
- wariancja (dla zmiennych, które można mnożyć), - odchylenie standardowe(dla zmiennych, które można mnożyć), - odchylenie przeciętne (dla zmiennych, które można dodawać), - współczynnik zmienności (dla zmiennych, które można mnożyć i dzielić), Miary pozycyjne:
- rozstęp (dla zmiennych, które można dodawać), - odchylenie ćwiartkowe (dla zmiennych, które można dodawać),, - współczynnik zmienności. Wariancję wyznaczamy ze wzoru:

,

odchylenie standardowe:

.

Odchylenie standardowe informuje o ile średnio odchylają się wartości zmiennej od wartości średniej
. Im mniejsza wartość odchylenia tym wartości zmiennej są bardziej skupione wokół średniej.

Rozstęp R to wartość bezwzględna (moduł) różnicy pomiędzy wartością maksymalną
i minimalną badanej zmiennej.

Odchylenie ćwiartkowe Q (rozstęp międzykwartylowy) - jest to wielkość określająca odchylenie wartości zmiennej od mediany. Mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek; po odrzuceniu jednostek o wartościach niewiększych niż Q₁ oraz jednostek o wartościach niemniejszych niż Q_3. Im większa szerokość rozstępu ćwiartkowego, tym większe zróżnicowanie wartości zmiennej.

.

Współczynnik zmienności wyznacza się ze wzoru
.

Miary asymetrii

Istnieje wiele miar służących do wyznaczania asymetrii rozkładu do najczęściej stosowanych należy trzeci moment centralny , który wyznacza się ze wzoru:

,

lub współczynnik skośności
.

Współczynnik skośności przyjmuje wartość zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu) i wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu).

*Błąd skośności :

Miary koncentracji

Miary koncentracji mierzą koncentrację wartości zmiennej wokół średniej. Do najczęściej stosowanych współczynników koncentracji należy kurtoza Definiuje się ją następującym wzorem:

,

gdzie
nazywane czwartym momentem centralnym wyznacza się ze wzoru:

.

* Błąd kurtozy:

Rozkłady zmiennych można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

mezokurtyczne - wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)

leptokurtyczne - kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym (wykres wysmukły)

platokurtyczne - kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym (wykres spłaszczony).

( *) Wartości błędów skośności i kurtozy mają interpretację, jeśli badane obserwacje traktowane są jako próba z populacji (w statystyce matematycznej).

Jeśli
to przyjmuje się że w badanej populacji nie występuje asymetria.

Jeśli
to przyjmuje się że w badanej populacji badana zmienna ma rozkład mezokurtyczny.

Przekształcanie wartości obserwowanej zmiennej.

Rangowanie to przekształcenie polegające na zastąpieniu wartości zmiennej wyrażonej w co najmniej w skali porządkowej rangami ( najczęściej ich miejscami na liście uporządkowanych wartości).

Standaryzacja to przekształcenie polegające na zastąpieniu wartości x_i zmiennej X wyrażonej w skali ilorazowej wartością standaryzowaną

.

Po wykonaniu standaryzacji wiadomo, że około 99% wartości z_i należy do przedziału [-3; 3].

Standaryzacja pozbawia wartości zmiennej miana, doprowadzając do porównywalności wartości zmiennych w zasadzie nieporównywalnych. Wartości te można wtedy dodawać (własność addytywności). Standaryzacja nie koryguje własności symetrii rozkładu.

Unitaryzacja to przekształcenie polegające na zastąpieniu wartości x_i zmiennej X wyrażonej w skali ilorazowej wartością zunitaryzowaną

.

Po wykonaniu standaryzacji wiadomo, że wszystkie wartości z_i należą do przedziału [0; 1].

Unitaryzacja pozbawia wartości zmiennej miana, doprowadzając do porównywalności wartości zmiennych w zasadzie nieporównywalnych. Wartości te można wtedy dodawać (własność addytywności). Standaryzacja nie koryguje własności symetrii rozkładu.

W celu symetryzacji rozkładu stosuje się transformację logarytmiczną.

Zadanie 1. Analiza statystyczna zmiennej jakościowej wyrażonej w skali nominalnej

Przeprowadzić analizę zmiennej Miejscowość zamieszkiwana.

Rysunek 1. Procentowy podział badanych na mieszkańców miast, gmin i wsi.

Aby program SPSS wyznaczył wszystkie statystyki wybieramy:

Pojawi się okno Częstości.

W oknie tym wybieramy Statystyki

Zaznaczono wszystkie statystyki, które można otrzymać w oknie Częstości.

Wynikiem będą tabele.

Tabela 1. Liczba brakujących i ważnych obserwacji
Miejscowość zamieszkiwana
N	Ważne	221
		Braki danych	0

Tabela 2. Procent osób mieszkających w miastach, gminach i wsiach
		Częstość	Procent	Procent ważnych	Procent skumulowany
Ważne	gmina	116	52,5	52,5	52,5
		miasto	38	17,2	17,2	69,7
		wieś	67	30,3	30,3	100,0
		Ogółem	221	100,0	100,0

Jak widać pomimo zaznaczenia wszystkich statystyk dla zmiennej wyrażonej w skali nominalnej SPSS podaje jedynie podział procentowy.

Zadanie 2. Analiza statystyczna zmiennej jakościowej wyrażonej w skali porządkowej

Przeprowadzić analizę statystyczną zmiennej Wykształcenie. Zmienna Wykształcenie została zakodowana i zapisana jako zmienna kodwyksz. Przeprowadzimy więc analizę zmiennej kodwyksz.

Wyniki analiz ( wykresy i tabele) umieść w dokumencie Word.

Ponieważ na kodach nie można wykonywać działań arytmetycznych w oknie Częstości: Statystyki zaznaczone tylko statystyki, które można wyznaczyć.

Wynikiem będzie histogram oraz Tabele 3 i 4.

Tabela 3.Statystyki
Wykształcenie
N	Ważne	221
		Braki danych	0
Mediana		2,0000
Dominanta		3,00
Percentyle	25	1,0000
		50	2,0000
		75	3,0000
		90	3,0000
		99	3,0000

Tabela 4. Procent badanych ze względu na poziom wykształcenia
		Częstość	Procent	Procent ważnych	Procent skumulowany
Ważne	wykształcenie średnie	45	20,4	20,4	20,4
		wykształcenie średnie z maturą	60	27,1	27,1	47,5
		wykształcenie wyższe licencjat, inżynierskie	35	15,8	15,8	63,3
		wykształcenie wyzsze magisterskie	81	36,7	36,7	100,0
		Ogółem	221	100,0	100,0

Zadanie do wykonania . Opisz na podstawie powyższych tabeli wykształcenie badanych osób.

Zadanie 3. Analiza statystyczna zmiennej jakościowej wyrażonej w skali porządkowej w rozbiciu na grupy obserwacji.

Przeprowadź analizę poziomu wykształcenia ze względu na płeć ankietowanych. Wyniki, wykresy i komentarze zapisz w dokumencie Word.

Tabela 5. Informacja o analizowanych danych
	Płeć	Obserwacje
			Uwzględnione		Wykluczone		Ogółem
			N	Procent	N	Procent	N	Procent
kodwyksz	kobieta	86	100,0%	0	,0%	86	100,0%
		mężczyzn	135	100,0%	0	,0%	135	100,0%

Tabela 6. Percentyle
		Płeć	Percentyle
				5	10	25	50	75	90	95
Przeciętne ważone (Definicja 1)	kodwyksz	kobieta	,00	,00	1,00	1,50	3,00	3,00	3,00
				mężczyzn	,00	,00	1,00	2,00	3,00	3,00	3,00
		Zawiasy Tukey'a	kodwyksz	kobieta			1,00	1,50	3,00
				mężczyzn			1,00	2,00	3,00

Zadanie 4. Analiza statystyczna zmiennej ilościowej

Przeprowadzić analizę statystyczną zmiennej Waga.

Skorzystamy z Analiza
Opis statystyczny
Częstości

Statystyki
Waga
N	Ważne	221
		Braki danych	0
Średnia		72,86717
Błąd standardowy średniej		1,121876
Mediana		70,16900
Dominanta		44,286^a
Odchylenie standardowe		16,677890
Wariancja		278,152
Skośność		,230
Błąd standardowy skośności		,164
Kurtoza		-,743
Błąd standardowy kurtozy		,326
Rozstęp		80,394
Minimum		36,788
Maksimum		117,182
Percentyle	25	60,78950
		50	70,16900
		75	86,23350
Istnieje wiele wartości modalnych. Podano wartość najmniejszą.

.

Zadania do wykonania.

Przeprowadzić standaryzację zmiennej Waga . Przeprowadzić analizę statystyczną zestandaryzowanej zmiennej. Porównać wyniki analizy dla zmiennej Waga i jej standaryzacji.

Przeprowadzić unitaryzację zmiennej Waga . Przeprowadzić analizę statystyczną zunitaryzowanej zmiennej. Porównać wyniki analizy dla zmiennej Waga i jej unitaryzacji.

Przeprowadzić analizę statystyczną zmiennej Waga w rozbiciu ze względu na płeć.

Analizę statystyczną można także przeprowadzić korzystając z :

Analiza
Raporty i zestawienia
Podsumowanie obserwacji,

Analiza
Raporty i zestawienia
Raport w wierszach,

Analiza
Raporty i zestawienia
Raport w kolumnach,

Analiza
Opis statystyczne
Statystyki opisowe.

Wartości:

M -estymatorów,

5% średniej ,

percentyli wyznaczonych różnymi metodami,

skrajnych,

można otrzymać wybierając kolejno Analiza
Opis statystyczne
Eksploracja danych
Statystyki.

Wybierając Analiza
Opis statystyczne
Eksploracja danych
Wykresy możemy otrzymać dodatkowy typ wykresu zwany wykresem Łodyga -i - liście.

Wykres ten ma postać:

Waga Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

1,00 3 . 6

4,00 4 . 2444

13,00 4 . 5555567889999

15,00 5 . 011111111223444

20,00 5 . 55555666667778889999

26,00 6 . 00000111112222223333444444

31,00 6 . 5555666667777778888888899999999

20,00 7 . 01111111111222333344

14,00 7 . 55677788889999

16,00 8 . 0011122333333444

23,00 8 . 55566666677778889999999

13,00 9 . 0011122333334

12,00 9 . 556777778889

7,00 10 . 0111223

5,00 10 . 56679

,00 11 .

1,00 11 . 7

Jak widać jest to odwrócony histogram, w którym zaznaczono wartości tworzące słupki. Analizując trzeci słupek widzimy, że znajduje się tam 13 obserwacji z wartościami zmiennej Waga odpowiednio:
45, 45,45,45,45,46,47,48,48,49,49,49,49.

Zadanie do wykonania .Przeprowadzić analizę statystyczna zmiennej Odległość od miejsca zamieszkania, Dodatkowo wyznaczyć Wartości M- estymatorów, 5% średniej, wykres łodyga i liście. Porównać wartości M -estymatorów z wyznaczoną średnią i medianą.

Zadanie 5. Analiza statystyczna zmiennej ilościowej w rozbiciu na grupy obserwacji.

Przeprowadzić analizę statystyczną zmiennej Waga ze względu na płeć ankietowanych. Wyznaczyć wartości różnych średnich oraz M - estymatorów. Porównać otrzymane wartości.

Ćwiczenie 4: Opis zmiennej (statystyka opisowa) Strona | 13

---