DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE

EDYCJA V - ROK SZKOLNY 2005/06

¾ FINAŁU - GIMNAZJA

1. W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość i środkową. W jakim stosunku podzieli ten kąt prosty dwusieczna kąta utworzonego między tymi odcinkami?

2. Dwóch robotników wykonało wspólnie pewną pracę. Gdyby pierwszy pracował sam, pracowałby 3 razy dłużej. Gdyby drugi pracował sam, pracowałby o 6 dni dłużej. Ile czasu pracowali robotnicy?

3. Odcinek AB jest równoległy do średnic półkoli (pokazanych na rysunku) i styczny do mniejszego z nich. Oblicz pole zacienionej figury, wiedząc, że AB = 24.

4. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: x₁ + x₂ + ... + x₃₃ = x₁ ⋅ x₂ ⋅ ... ⋅ x₃₃, wiedząc, że wśród liczb x₁, x₂, ..., x₃₃ jest przynajmniej 5 różnych wartości.

5. Dawno temu handlarze wielbłądów Mustafa i Ali postanowili sprzedać swoje wspólne stado i zostać handlarzami owiec. Zabrali wielbłądy na bazar i za każdego otrzymali kwotę w dinarach równą liczbie sprzedanych wielbłądów. Za te pieniądze kupili owce, po dziesięć dinarów za sztukę, oraz kozę. W drodze do domu pokłócili się i postanowili podzielić owce między siebie, ale jedna została. Wziął ją Ali, pozostawiając kozę Mustafie. „Ale ja na tym tracę” - powiedział Mustafa - „bo koza jest warta mniej niż owca”. „Dobrze” - powiedział Ali - „dodam ci jedną z moich żon i będziemy kwita”. Jaka była cena żony?

6. Wypełnij kratki wyrażenia ðð^ð + ð^ð pojedynczymi cyframi, tak aby wystąpiły w tym zapisie tylko dwie cyfry i mniejsza z nich była użyta więcej razy niż większa, a wartość wyrażenia była nieparzysta i największa z możliwych.

7. Czy każdy trójkąt da się podzielić na skończoną liczbę mniejszych trójkątów rozwartokątnych?

8. Na prostokątnej kartce papieru Marek narysował 2006 prostych, które podzieliły ją na 2013022 części. Potem narysował po jednej równoległej do każdej z narysowanych już prostych, tak aby wraz z poprzednimi podzieliły kartkę na jak najwięcej części. Ile było tych części?

9. Szalony genetyk wyhodował metrowej wysokości roślinę, która nagle zaczęła rosnąć w niesamowitym tempie, podwajając swoją wysokość co godzinę. W której najpóźniej godzinie kapelusz pozostawiony przez roztargnienie naukowca na szczycie rośliny osiągnie prędkość światła?

10. Dla jakich liczb naturalnych n liczba
    jest pierwsza?

---