Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełne to równanie postaci:

gdzie lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji

Całka ogólna równania ma postać
gdzie funkcję F wyznaczono z układu:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji F jest równość odpowiednich pochodnych cząstkowych:

Sposób rozwiązywania równań różniczkowych zupełnych wyjaśnimy na przykładach.

W rachunkach pomoże nam kalkulator ClassPad 300.

Przykład 1. Rozwiązać równanie:

Mamy kolejno:

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe.

Istnieje więc taka funkcja F, że

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

więc w konsekwencji

Porównując odpowiednie pochodne cząstko­we stwierdzamy, że

czyli

a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

Mamy kolejno:

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe.

Istnieje więc taka funkcja F, że

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

więc w konsekwencji

Porównując odpowiednie pochodne cząstko­we stwierdzamy, że

czyli

a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

Przykład 3. Rozwiązać równanie:

przy warunku początkowym

Mamy kolejno:

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe.

Istnieje więc taka funkcja F, że

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

więc w konsekwencji

Porównując odpowiednie pochodne cząstko­we stwierdzamy, że

czyli

a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać:

Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy
, czyli całką (szczególną) naszego równania jest funkcja dana równaniem w postaci uwikłanej:

---