7. Rola momentu bezwładności w ruchu obrotowym

Moment bezwładności dla ciała sztywnego wyznaczymy po przez całkę po całej objętości ciała. Odpowiada to wykonaniu przejścia granicznego

gdzie
jest elementem masy ciała znajdującym się w odległości
od osi obrotu. Element masy możemy z kolei wyrazić przez element objętości, jeśli tylko znamy gęstość ciała
w danym jego miejscu pamiętając, że
.

Wzór na moment bezwładności ciała sztywnego możemy więc zapisać w postaci

Jeśli ciało ma kształt prostopadłościanu, to celowe jest wykonanie całkowania w układzie współrzędnych prostokątnych. W układzie tym element objętości możemy zapisać jako
i   wyrażenie na moment bezwładności względem osi pokrywającej się z osią Z ma postać

Kiedy promień wewnętrzny walca będzie równy zeru otrzymamy walec pełny. Otrzymujemy wzór na moment bezwładności pełnego walca względem osi przechodzącej przez środek walca wzdłuż jego wysokości:

Kiedy promień wewnętrzny stanie się bliski promieniowi zewnętrznemu mamy do czynienia z cienkościennym walcem, pierścieniem lub rurą. Otrzymujemy wtedy przybliżony wzór na moment bezwładności cienkościennego walca.

Można jednak pokazać, że jeśli znany jest moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to moment bezwładności względem osi do niej równoległej i przesuniętej o odcinek
dany jest wzorem

8.Prawo zachowania momentu pędu oraz przykłady zastosowań

Kiedy na N punktów materialnych działa na układ sił zewnętrznych to możemy dla każdego z punktów napisać równania. Sumując je następnie otrzymujemy

 Momenty działających  sił i momenty pędu określamy, względem tego samego punktu. Indeks "zewn" przy wypadkowym momencie siły oznacza, że podobnie jak w przypadku drugiej zasady dynamiki dla układu punktów materialnych, także tutaj uwzględniamy wzajemne znoszenie się momentów sił działających pomiędzy punktami układu. Symbol
oznacza wektor całkowitego momentu pędu układu. W ten sposób uzyskujemy drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego układu punktów materialnych.

Kiedy więc wypadkowy moment sił działających na układ równy jest zeru, to pochodna momentu pędu względem czasu równa jest zeru, co oznacza, że moment pędu pozostaje stały.  Układ, na który nie działają siły zewnętrzne (nazywamy go układem zamkniętym) nie doznaje działania momentu sił, możemy więc sformułować zasadę zachowania momentu pędu  w następujący sposób; „Moment pędu układu zamkniętego jest stały” 

Rys.5.6. Moment pędu w ruchu wokół stałej osi.	Moment pędu względem punktu dla danego punktu w postaci.
		Wektory położenia i prędkości są prostopadłe, wiec w postaci skalarnej zależność tą możemy wyrazić w formie
		gdzie  jest odległością danego punktu od osi obrotu. Widzimy, że składowa wektora momentu pędu równoległa do osi wynosi
		Składowa momentu pędu prostopadła do tej stałej osi  obrotu nie może wywołać ruchu, natomiast składowe równoległe dla wszystkich punktów układu będą się  sumować.

Możemy więc napisać 

gdzie
jest momentem bezwładności całego układu względem zadanej osi obrotu. Zauważmy, że składowa ta nie jest zależna od położenia punktu
na osi obrotu.

Jeśli układ punktów materialnych jest ciałem sztywnym, to nasze rozumowanie pozostaje w mocy. Jeśli jest układem symetrycznym względem osi obrotu, to całkowity moment pędu będzie równoległy do osi obrotu i zgodny z kierunkiem wektora prędkości kątowej. Mamy wtedy

Jeśli na układ nie działają siły zewnętrzne, to zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, całkowity moment pędu układu pozostaje niezmieniony.

9.Ruchy harmoniczne, równanie ruchu i zachowanie energii

Ruch harmoniczny zmiana cyklicznie powtarzających się czynności/wielkości (w optyce, akustyce/naprężenie elektryczne, ciśnienie). Możemy podzielić go na okresowy, drgający lub oscylacyjny. Ruchy drgające można opisać, w sposób dokładny lub przybliżony, za pomocą wyrażeń zawierających funkcje sinus i cosinus. Funkcje te nazywamy funkcjami harmonicznymi, zaś opis taki nosi nazwę analizy harmonicznej. Siły wywołujące te ruchy nazywamy siłami harmonicznymi.

Siła przywracająca ciało do położenia równowagi zależna jest od wielkości odchylenia i jeśli odkształcenia są doskonale sprężyste, wyrażona jest przez znane nam już prawo Hooke'a  W zależności tej F jest siłą, x - odchyleniem, k jest współczynnikiem proporcjonalności charakteryzującym własności sprężyny. Jeżeli współczynnik ten nie zmienia się w czasie ruchu, to „wartość siły jest wprost proporcjonalna do wielkości odchylenia od położenia równowagi”.

• Równanie Newtona dla siły harmonicznej

Przepiszemy to równanie w postaci

gdzie wprowadziliśmy wielkość ω zdefiniowaną jako

Liczymy pierwszą pochodną, czyli dx/dt.

Druga pochodna, czyli przyspieszenie ciała a, wynosi

• Bilans energii

Energię potencjalną w punkcie x możemy więc wyznaczyć jako

przyjmując, że w położeniu równowagi (x=0), E_p(x)=0.

Energia kinetyczna ciała o masie m poruszającego się z prędkością  u wynosi

• Energia całkowita

Dodajmy do siebie obie energie:

Podstawiając wartości x oraz u ze wzorów (4) i (5) otrzymujemy:

Suma energii potencjalnej i kinetycznej nie zależy ani od x,  ani od u  i jest w każdej chwili (a więc i w każdym punkcie) taka sama, wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy

10 .Ruch harmoniczny swobodny, tłumiony i wymuszony, rezonans.

Drgania tłumione

Na ogól jednak ruch jest tłumiony wskutek oporu powietrza lub innych oporów występujących w układzie drgającym. Opory te zwykle są proporcjonalne do prędkości ciała. Siła działająca na ciało zawiera więc dodatkowy człon proporcjonalny do prędkości. Parametr b, jest współczynnikiem proporcjonalności.

Równanie ruchu ma teraz postać:

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie: 

gdzie b =b/2m zwane jest współczynnikiem tłumienia

• Logarytmiczny dekrement tłumienia

Biorąc stosunek dwóch kolejnych amplitud otrzymujemy:

Logarytm tego stosunku nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia, d.

Zależność amplitudy od czasu w kolejnych okresach drgań możemy więc zapisać jako:




Gdzie

A_n - amplituda n-tego drgania,

A_n+1 - amplituda następnego drgania.

Warto zwrócić uwagę, że kiedy tłumienie będzie rosło, w konsekwencji czego wyrażenie σ=A_n/A_n+1 osiągnie wartość zero, a okres drgań będzie nieskończony - ruch nasz przestanie być ruchem okresowym. Takie tłumienie nazywamy krytycznym. Ten przypadek graniczny odpowiada sytuacji, w której układ nasz najszybciej osiąga położenie równowagi

• Równanie ruchu drgań harmonicznych wymuszonych

Ruch możemy podtrzymać poprzez przyłożenie zewnętrznej siły okresowej. Zasadniczą role w podtrzymaniu tego ruchu odgrywa związek pomiędzy częstością oscylacji własnych układu, a częstością siły wymuszającej. Ruchy tego typu nazywamy oscylacjami lub drganiami wymuszonymi. Częstość tych drgań jest  narzucona przez okresową siłę wymuszającą, ale zarówno ich amplituda jak i faza zależą od relacji pomiędzy częstością siły wymuszającej a częstością drgań własnych układu. 

Zapiszmy postać siły wymuszającej F_w o amplitudzie F₀ i częstości w_w w najprostszy sposób

.

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego z siłą wymuszającą ma postać;

Rozwiązanie to można zapisać następująco:

gdzie amplituda wynosi

oraz faza

.

Stan, w którym amplituda drgań osiąga największą wartość, nazywamy stanem rezonansu. Odpowiadająca częstość siły wymuszającej nosi nazwę częstości rezonansowej

Amplituda drgań określona wzorem
osiąga największą wartość gdy
, a więc gdy

charakterystyczne cechy drgań wymuszonych. Układ drga z częstością siły wymuszającej i jest ruchem nie tłumionym. Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej. Amplituda osiąga wartość nieskończoną  kiedy brak jest tłumienia, a obie częstości są sobie równe, czyli częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych układu. Dla wartości współczynników tłumienia różnych od zera amplituda osiąga największą wartość (czyli występuje rezonans) dla częstości określonych wzorem a więc mniejszych od częstości drgań własnych

12. Pole grawitacyjne i zasada równoważności

Energię potencjalną masy  w polu grawitacyjnym możemy także użyć do opisu własności samego pola. W tym celu określamy wielkość zwaną potencjałem pola, która zdefiniowana jest jako praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktu materialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola do nieskończoności. Korzystamy z wzoru

Mówimy, że potencjał ten ma symetrię sferyczną. Powierzchnię, na której leżą punkty o tej samej wartości potencjału nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną. 

Energia potencjalna masy
w punkcie pola o potencjale
wynosi 




lustruje związek pomiędzy energią potencjalną
masy
znajdującej się w punkcie
i odległością
tej masy od wytwarzającej pole masy
.

„Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej i jest skierowany od powierzchni o potencjale wyższym do powierzchni o potencjale niższym”

• Zasada równoważności

Porównajmy oba pojęcia masy. Zgodnie z prawem grawitacji, na ciała znajdujące się w pobliżu powierzchni Ziemi działa siła, której wartość wynosi

,

gdzie 
jest promieniem Ziemi a
i
nazwiemy masami grawitacyjnymi odpowiednio Ziemi i ciała. Jeśli jednak ciało poddane jest działaniu siły (w tym przypadku siły grawitacji), to zgodnie z drugą zasadą dynamiki doznaje ono przyspieszenia, którego wartość wynosi

.

Występującą w tym wzorze masę
nazwiemy masą bezwładną ciała. Zauważmy, że masy
i
, to wielkości, które charakteryzują różne własności ciała: jego podatność na przyciąganie ziemskie i miarę jego bezwładności. Podstawiając do wzoru (8.17) wyrażenie na siłę ze wzoru (8.16) otrzymujemy

.

masa bezwładna jest równoważna i równa masie grawitacyjnej i nie ma potrzeby rozróżniać obu pojęć. zasady równoważności według której,  

„zjawisk wywołanych działaniem sił grawitacji nie można w skali lokalnej odróżnić od zjawisk wywołanych działaniem sił bezwładności”

---