Dziś zajmiemy się pochodnymi czastkowymi. Nim jednak przejdziemy do zadań, na początek nieco przypomnienia. Oto ważniejsze wzory:

I jeszcze małe wyjaśnienie, czym się różni pochodna
od pochodnej cząstkowej
. Ta pierwsza jest dla f(x), natomiast ta druga jest dla
, czyli dla wielu zmiennych. I teraz kilka zadań

Zadanie 1

Należy obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe z =
do drugiego rzędu włącznie dla
. Dziedziną będzie tu
, gdzie
. I liczymy pochodne. Będzie ich 6 (po iksie, po y, po xy, po yx (dwie mieszane) i jeszcze dwie czyste) :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Zadanie 2

Należy wykazać równość pochodnych mieszanych funkcji
. Dziedziną będzie tu
. Pochodnych w tym wypadku mamy cztery - po y, po x, oraz dwie mieszane xy i yx. A zatem:

a)

b)

c)

d)

Zadanie 3

Należy wykazać, że funkcja
spełnia równanie:

Tu będziemy musieli obliczyć cztery pochodne. I tak:

a)

b)

c)

d)

I ostatecznie:

Zadanie 4

Oblicz
dla f(x, y) =
.

Najpierw liczymy
. A zatem
. Stad wniosek, że dla
nie można wstawić (0, 0). Jednak pamiętajmy o definicji, że
, oraz
.

A zatem z definicji liczymy dalej:

Zadanie 5

Wykazać, że funkcja y =
(x cos y - y sin x) spełnia równanie
. I liczymy cztery pochodne:

a)

b)

c)

d)

I na koniec zadanie domowe - kilka przykładów do obliczenia. Mając dane
udowodnij, że
. Podobnie kolejny przykład. Mając dane
udowodnij, że
. I ostatnie. Mając dane
udowodnij, że

---