Wykład KCh4.

4. Równanie ruchu układu napędowego - cześć IV

4.1. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym

4.2. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów

4.3. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego

4.4. Zarys numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Stosując model o jednym stopniu swobody, nie można opisać wielu zjawisk zachodzących w układzie napędowym. Przykładami takich zjawisk są: Można wymienić następujące przykłady:

- włączanie sprzęgle ciernego,

- drgania skrętne wałów,

- zjawiska zachodzące w silniku elektrycznym podczas rozruchu układu napędowego.

W wymienionych i w szeregi innych przypadków trzeba zastosować modelu o większej liczbie stopni swobody. Zwiększenie liczby stopni swobody modelu wynika także z dążenia do większej dokładności opisu działania układu. Jednak w tym przypadku należy wykazać ostrożność, gdyż bardziej skomplikowany model wcale nie oznacza „automatycznie” dokładniejszych wyników analizy.

4.1. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym

Rozpatrywać będziemy układ napędowy, w którym silnik napędza maszynę roboczą poprzez sprzęgło cierne, przykładowo takie jak na rys.4.1a. Schemat układu pokazano na rys. 4.1.b. Zakładamy, że przed włączeniem sprzęgła silnik i tak zwane czynne części sprzęgła

obracają się; części bierne są nieruchome. Przyjmijmy, że części bierne sprzęgła zostają dosunięte do części czynnych w chwili t = 0. Skutkiem dosunięcia, moment przenoszony przez sprzęgło wzrasta skokowo (rys.4.1c) od zera do M_sp. Skokowy wzrost momentu jest uproszczeniem, które ułatwia rozwiązanie równań ruchu. Schemat układu dla t > 0 pokazano na rys.4.1.d. W czasie zasprzęglania układ jest opisany dwoma równaniami różniczkowymi. Pierwsze dotyczy obrotu elementów czynnych układu, równanie drugie - elementów biernych:

(4.1)

gdzie
, przy czym J_S jest momentem bezwładności wirnika silnika, a J_c - momentem bezwładności części czynnych sprzęgła; M_e - moment silnika, M_C0 - moment obrotowy wynikający z oporów ruchu części czynnych układu, M_b0 - moment obrotowy wynikający z oporów ruchu części biernych. Warunki początkowe mają następującą postać: dla t = 0 jest
oraz
. Powyższe równania obowiązują do chwili, w której
stanie się równe
.

Problem

Naszkicować wykresy ω_c(t) oraz ω_b(t) zakładając, że M_S0 = const, M_b0 = const oraz M_sp = const.

Zadanie

Rozwiązać równania (4.1) przy założeniach jak wyżej.

Zadanie

Rozwiązać równania (4.1) zakładając, że moment sprzęgła jest liniową funkcją czasu.

Zauważmy, że do chwili pełnego zasprzęglenia (
) rozpatrywany układ ma dwa stopnie swobody, po zasprzęgleniu - jeden.

4.2. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów

Rozpatrzmy model układu (rys.4.2), który jest podobny do rozpatrywanego w wykładzie KCh2 (rys.2.9). Różnica polega na odmiennych założeniach. Rozpatrując układ pokazany na rys.2.9 zakładaliśmy, że wszystkie elementy układu są sztywne. Obecnie odstępujemy od tego założenia i zakładamy co następuje:

- sztywność kątowa wału łączącego silnik S z kołem zębatym 1 wynosi k_S1;

- sztywność kątowa wału łączącego koło 2 z elementem 3 wynosi k₂₃; element 3, który

symbolizuje maszynę robocza cechuje się momentem bezwładności J₃ ;

- pomija się bezwładność kół zębatych 1 i 2 oraz odkształcenia sprężyste zębów tych kół.

Rozpatrywany układ ma dwa stopnie swobody. Jego stan jest zdefiniowany kątem obrotu wirnika silnika α_S i kątem α₃ obrotu elementu 3. Równania ruchu układu można napisać na dwa sposoby. Pierwszy nie wymaga redukcji momentu bezwładności J₃ oraz sztywności kątowej k₂₃ do wału silnika, drugi te redukcje wykorzystuje. Zastosujemy najpierw sposób pierwszy.

Zadanie

Uzupełnić rys.4.2.a rysując strzałki symbolizujące momenty działające na elementy układu.

Równania ruchu układu pokazanego na rys.4.2 maja postać

(4.2)

Definiując przełożenie przekładni 1 - 2 jako
można napisać

Eliminując z powyższych równań kąty α₁ oraz α₂ uzyskuje się równania, identyczne z tymi, które zostaną wyprowadzone przy zastosowaniu wspomnianych wyżej redukcji. Z wykładu KCh2 wiadomo, że moment bezwładności J₃ zredukowany do wału silnika wynosi
.

Nim podamy zależność określającą zredukowana do wału silnika sztywność kątową k₂₃ , należy przypomnieć pojęcie energii odkształceń sprężystych. Jak wiadomo, sztywność kątową definiuje się następująco

gdzie
jest przyrostem momentu skręcającego, zaś
przyrostem kąta skręcenia (w rozpatrywanym przypadku - skręcenia wału). W przypadku elementów sprężystej o liniowej sprężystości, sztywność ma wartość stałą, a wiec wykres M(α) jest linia prostą jak to

pokazano na rys.4.3, czyli
.

Zadanie

Zdarza się, że ktoś twierdzi, że tangens kąta φ pokazanego na rys.4.3 jest sztywnością. Na czym polega błąd tego stwierdzenia?

Energia odkształceń sprężystych, której interpretacją graficzną jest pole zakropkowane na rys.4.3, wyraża się wzorem

Powróćmy do redukcji sztywności kątowej k₂₃ do wału silnika. Warunkiem, który podczas redukcji musi być spełniony jest równość energii odkształceń sprężystych elementu oryginalnego i zredukowanego. Energia odkształceń sprężystych zakumulowana w oryginalnym (przed redukcją) wale 2-3 wynosi
. Jeżeli wał 2-3 zostanie zredukowany do wału silnika, to energia zredukowanego wału wyniesie k_23,R(α₂-α₃)²i², gdzie k_23,R oznacza sztywność zredukowaną. Zgodnie warunkiem równości energii odkształceń sprężystych można napisać

czyli

.

Model układu po redukcji elementu 3 oraz wału 2-3 do wału silnika pokazano na rys.4.4a. Model można dalej przekształcić zauważając, że wał o sztywności k_S1 i wał o sztywności zredukowanej k_23,R są połączone szeregowo. W celu znalezienia sztywności zastępczej obydwu wałów dodaje się odwrotności ich sztywności

W wyniku tych przekształceń powstaje model układu pokazany na rys.4.4b, który jest analogiczny do przedstawionego na rys.3.11 (wykład KCh3). Równania ruchu układu pokazanego na rys.4.4 maja postać

(4.3)

Efektywne rozwiązanie powyższego układu równań wymaga znajomości warunków początkowych.

Zadanie

Napisać równania ruchu modelu układu pokazanego na rys.4.2 uwzględniając momenty bezwładności kół zębatych 1 i 2.

3. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego

W rozpoczynanym punkcie rozpatrzymy układ, w którym zwiększenie liczby stopni swobody wynikać będzie z uwzględnienia dynamicznej charakterystyki silnika. Pojęcie to, wzmiankowane w punkcie 3.1 (wykład KCh3), nie zostało tam wyjaśnione. Przypomnijmy, że charakterystyka statyczna silnika opisana była zależnością algebraiczną wiążącą moment silnika z jego obrotami. Zmiana obrotów silnika powodowała natychmiastową zmianę momentu. Charakterystyka dynamiczna silnika ma postać równania (lub równań) różniczkowych, co powoduje, że zmiana momentu na skutek zmiany obrotów (a więc obciążenia) nie jest natychmiastowa.

Rozpatrzmy model układu napędzanego obcowzbudnym silnikiem prądu stałego (rys.4.5) przy następujących założeniach:

- wał łączący silnik z maszyną roboczą jest elementem sztywnym,

- napięcie uzwojenia wzbudzenia U_m = const.

Równania opisujące działanie rozpatrywanego układu mają postać

(4.4)

Gdzie:

J - moment bezwładności wirnika i napędzanej maszyny,

M₀ - moment oporowy,

I i U_Z - odpowiednio prąd i napięcie twornika,

R_A i L - rezystancja i indukcyjność uzwojenia twornika,

- strumień magnetyczny.

Symbole c_m i c_E oznaczają stałe, zaś
, tak jak dotychczas - prędkość kątową wirnika silnika. Niezależnymi zmiennymi (funkcjami), które jednoznacznie opisują stan układu są prędkość kątowa oraz prąd twornika. Wynika stąd, że uzupełnienie równania ruchu równaniem dotyczącym obwodu twornika spowodowało zwiększenie o jeden liczby stopni swobody układu. Jest zrozumiałe, że równanie obwodu twornika można dołączać do układów równań omówionych w punktach 4.1 i 4.2. Działanie takie spowoduje oczywiście zwiększenie o jeden liczby stopni swobody układu. Należy dodać, że rozwiązanie powyższych równań wymaga znajomości warunków początkowych, czyli wartości prędkości kątowej i prądu twornika dla chwili uznanej za początkową.

Model dynamiczny silnika indukcyjnego jest bardziej skomplikowany niż użyty wyżej model silnika prądu stałego. W poprzednim zdaniu należałoby użyć liczby mnogiej, gdyż nie ma jednego „najlepszego” modelu dynamicznego silnika. Jeden z modeli dynamicznych jest opisany równaniem

(4.5)

Warto wspomnieć, że
jest elektryczna stałą czasowa silnika,

Użyte symbole występowały w punkcie 3.1 (wykład KCh3): M_k i s_k są momentem i poślizgiem krytycznym, ω_s jest synchroniczną prędkością kątową. Można zauważyć, że podana wyżej, zaczerpnięta z literatury, charakterystyka dynamiczna silnika indukcyjnego jest charakterystyką uproszczoną, gdyż nie występują w niej wielkości elektryczne. Ma ona jednak tę zaletę, że występujące w równaniu (4.5) współczynniki są wielkościami katalogowymi, lub na ich podstawie mogą być obliczone.

4.4. Zarys numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Potrzeba rozwiązywania równań różniczkowych zaistniała po opublikowaniu przez Newtona (1643-1727) zasad dynamiki. Jeżeli bowiem na podstawie Drugiej Zasady Dynamiki obliczy się przyspieszenie, to wyznaczenie prędkości, a następnie przemieszczenia wymaga rozwiązania równań różniczkowych. Trudności ze ścisłym rozwiązaniem równań spowodowały poszukiwanie rozwiązań przybliżonych. Większość takich rozwiązań opracowano wiele lat temu, jednak ich zastosowanie było ograniczone, gdyż metody bardziej zaawansowane wymagały wykonania wielkiej liczby operacji arytmetycznych, co było fizycznie niemożliwe, a nadto - ze względu na możliwość popełnienia błędu - ryzykowne. W metodach przybliżonych, powszechnie nazywanych numerycznymi, wykonuje się operacje na liczbach, a nie na symbolach. Jest to niedogodność, gdyż rozpatrywane jest konkretne równanie a nie typ równania.

Nazwa najprostszej metody wywodzi się od Eulera (1707-1783). Współcześnie powszechnie jest stosowane są metody Rungego-Kutty. C.D.T.Runge żył w latach 1856-1927; M.W.Kutta - w latach 1867 - 1944. Lata te podano w celu udokumentowania twierdzenia, że metody numeryczne powstały znacznie wcześniej niż zbudowano pierwszy komputer („Collosus”, 1943). Obecnie komputery i kalkulatory programowalne „same” rozwiązują skomplikowane układy równań różniczkowych, a użytkownik na ogół nie ma pojęcia jak to się dzieje. Warto jednak takie pojęcie mieć i celowi temu służą poniższe informacje.

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych przy znanych warunkach początkowych matematycy nazywają „rozwiązywaniem zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych”.

Zauważmy, że wystarczy podać metodę rozwiązania dla równania pierwszego rzędu, gdyż równanie drugiego rzędu

,

może być, dzięki podstawieniu, sprowadzone do poniższego układu równań pierwszego rzędu

W powyższym zapisie operator
zastąpiono symbolem „bis”, zaś operator
- symbolem „prim”. Rozpatrzmy więc równanie pierwszego rzędu, które ma postać

.

Zakładamy, że równanie to obowiązuje w przedziale
i że znany jest warunek początkowy:
. Metodę Eulera określa wzór, który wynika z definicji pochodnej

Dolny indeks n oznacza poprzedni krok całkowania, dolny indeks n+1 - krok następny, zaś h jest długością kroku całkowania (rys.4.6).

Łatwo zauważyć, że dokładność (inaczej: błąd) metody zależy od wartości kroku. Dla metody Eulera znane jest oszacowanie błędu; istnieje także dowód zbieżności metody (patrz np. Andrzej Krupowicz: Metody numeryczne zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych. PWN, Warszawa, 1980). Zbieżność oznacza, że zmniejszanie kroku powoduje zmniejszanie się błędu.

Wykonajmy jeden krok metody Eulera rozwiązując równanie

uwzględniając, że dla t = 0 jest y = 0. Wyznaczmy człony wyrażenia określającego rozwiązanie przyjmując, że n = 0. Otrzymuje się

Załóżmy, że h = 0,1. Otrzymujemy

Porównajmy uzyskane rozwiązanie z rozwiązaniem ścisłym, które dla rozwiązywanego równania i danego warunku początkowego ma postać

Podstawiając t = h = 0,1 otrzymuje się

czyli już w pierwszym kroku popełnia się błąd rzędu 10%. Można byłoby ten błąd zmniejszyć zmniejszając krok.

Metody (proszę zauważyć liczbę mnogą) Rungego-Kutty zapisujemy w postaci

n = 0, 1, 2, …

gdzie
zaś w_i, c_i, a_ij są znanymi liczbami. Dla jednej z metod, która jest stosowana w praktyce i jest po prostu nazywana metodą Rungego-Kutty, obowiązują wzory

Powróćmy do równania
i wykonajmy jeden krok obliczeniowy stosując powyższe wzory i zakładając h = 0,1

Porównując otrzymany wynik z wynikiem uzyskanym na podstawie rozwiązania ścisłego stwierdzamy, że z dokładnością do piątego miejsca po przecinku (taka dokładność była ustawiona na kalkulatorze), wyniki są identyczne.

7

ω_S

N

S

Części bierne

(włączane)

S

Części czynne

(włączające)

J_S

J_c J_b

(b)

(d)

M_sp

t

0

(c)

Rys.4.1

ω_S

ω_b

J_z dω_c/dt M_e M_C0 M_sp M_sp M_b0 J_bdω_b/dt

Części czynne Części bierne

(e)

J_S M_e k_S1 α₁ 1 z₁

k₂₃

S

α ₃

2 z₂

3

α_S

α₂

(a)

Rys.4.6

h

y_n+1

t_n+1

y_n

t_n

y

J₃

t

Rys.4.5

U_Z U_m

Rys.4.2

α Rys.4.3

M

0

α

M

φ

(b)

3_R

J_S M_e

(a)

S

α_S

J₃ / i²

iα₃

k_Z

Rys.4.4

3_R

J_S M_e k_S1 α₁

S

α_S

J₃ / i²

iα₃

k_23,R

---