Problem 3

Ocena poziomu jakości wykonania

W literaturze przedmiotu, w normach międzynarodowych i krajowych, a także w praktyce, podstawowa rolę odgrywają dwie miary jakości wykonania, a mianowicie

• wadliwość, oraz

• przeciętna liczba wad w jednostce produktu.

Każda z tych miar może być miarą cząstkową, albo agregatową. Z miarą cząstkową mamy do czynienia wówczas, gdy jakość produktu oceniana jest ze względu na pojedynczą cechę. Jeśli natomiast oceniamy jakość produktu ze względu na pewien zbiór (agregat) cech traktowanych łącznie, to mamy do czynienia z miarą agregatową.

Wadliwość może być miarą jakości wykonania tylko wówczas, gdy każdą jednostkę produktu można zakwalifikować do jednej z dwóch kategorii, a mianowicie do

• kategorii jednostek spełniających stawiane wymagania, albo do

• kategorii jednostek nie spełniających tych wymagań.

Wadliwość jest oznaczana zwykle symbolem p. W odniesieniu do wadliwości cząstkowej często jest stosowany symbol p(X), dla podkreślenia, że chodzi o ocenę jakości produktu, albo procesu, ze względu na zmienną diagnostyczną X. Symbol p(X) odczytujemy następująco: „wadliwość ze względu na zmienną diagnostyczną X”.

Jeśli zmienną X chcemy wykorzystać jako zmienna diagnostyczną w procesie oceny jakości wykonania, to musimy zdefiniować zbiór wartości (X⁰) tej zmiennej, a następnie musimy rozciąć ten zbiór na podzbiór wartości pożądanych (X⁺) oraz podzbiór wartości niepożądanych (X^-).

W zarządzaniu jakością podstawową rolę odgrywają dwa typy zmiennych diagnostycznych, a mianowicie

• zmienne zero - jedynkowe, stosowane w przypadku alternatywnej oceny właściwości produktu albo stanu procesu, oraz

• ciągłe zmienne diagnostyczne, wykorzystywane wówczas, gdy stosuje się tak zwaną liczbową ocenę właściwości produktu albo stanu procesu.

Zero - jedynkowe zmienne diagnostyczne definiowane są następująco:

(4.1)

Mamy tu więc:

,
,

Proces definiowania ciągłej zmiennej pokażemy na przykładzie.

Przykład 4.1

Jakość dżemu owocowego oceniana jest - między innymi - ze względu na zawartość cukru. Cukier poprawia walory smakowe dżemu a jednocześnie pełni rolę środka konserwującego. Odpowiednią zmienną diagnostyczną możemy więc zdefiniować następująco: X - procentowa zawartość cukru w dżemie. Zmienna ta może przyjmować wartości z przedziału
. Ustalono, że każdy słoik dżemu powinien zawierać x₀ = 10% cukru, a dopuszczalne odchylenia od tej wartości ustalono na poziomie ±2%. Zbiór pożądanych wartości ma więc postać przedziału
. Zbiór wartości niepożądanych składa się natomiast z dwóch przedziałów i ma postać
.

W przypadku ciągłych zmiennych diagnostycznych zbiory pożądanych wartości (
) przyjmują postać tak zwanych technicznych przedziałów tolerancji. W powyższym przykładzie obserwowana zmienna diagnostyczna jest nominantą jakości i w konsekwencji mamy do czynienia z dwustronnie ograniczonym przedziałem tolerancji ogólnej postaci

(4.2)

gdzie x_d jest ograniczeniem lewostronnym (czyli ograniczeniem od dołu), natomiast x_g oznacza ograniczenie od góry, czyli ograniczenie prawostronne.

Jeśli obserwowana zmienna diagnostyczna jest destymulantą jakości, to przedział tolerancji ograniczony jest tylko od góry przez wartość

(4.3)

Jeśli natomiast mamy do czynienia ze zmienną diagnostyczną o charakterze stymulanty jakości, to przedział tolerancji ograniczony jest tylko od dołu przez wartość x_d

(4.4)

Występujące we wzorach (4.3) i (4.4) ograniczenia a i b nie mają związku z oceną jakości produktu. Są to ograniczenia związane najczęściej z zastosowaną skalą pomiarową. W przypadku skali procentowej (jak w powyższym przykładzie 4.1) a = 0, natomiast b = 100.

Wadliwość cząstkową możemy definiować jako prawdopodobieństwo lub jako frakcję. Jeśli istnieją powody by miarę tę definiować jako prawdopodobieństwo, to wówczas

(4.5)

Jest to więc prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na tym, że losowo wybrana jednostka produktu (na przykład słoik dżemu) nie spełni wymagań jakościowych. Jeśli wadliwość chcemy (albo musimy) definiować jako frakcję to wówczas

(4.6)

gdzie N jest ogólną ilością jednostek produktu, natomiast N(x∈
) oznacza ilość jednostek produktu nie spełniających wymagań jakościowych ze względu na zmienną diagnostyczną X.

Niezależnie od tego, którą z tych definicji stosujemy w konkretnym przypadku, wadliwość przyjmuje wartości z przedziału [0; 1]. Frakcja zdefiniowana wzorem (4.3) może być oczywiście wyrażana w procentach (po pomnożeniu przez 100) i wówczas przyjmuje ona wartości z przedziału [0; 100].

Przykład 4.2

W magazynie znajduje się partia produktu A o liczności N₁ = 1000 jednostek. Wadliwość tej partii wynosi p₁ = 3%. Do magazynu dostarczono kolejną partię tego produktu o liczności N₂ = 600 jednostek i o wadliwości p₂ = 2%. Jaka jest wadliwość produktu po połączeniu obu partii?

Obliczamy ilość jednostek wadliwych (albo niezgodnych) w obu partiach produktu:

z₁ = 0.03 × 1000 = 30, z₂ = 0.02 × 600 = 12

Obliczamy wadliwość po połączeniu obu partii:

Taki sam wynik uzyskamy oczywiście obliczając po prostu ważoną średnia arytmetyczną obu wadliwości procentowych:

Uzyskane wyniki należy interpretować jako frakcje. Jest to najbardziej naturalna interpretacja, albowiem mamy tu do czynienia z istniejącą już partią produktu.

Przykład 4.3

W celu oceny poziomu jakości wykonania pobierano kolejne próbki losowe ze strumienia produktu. Poddawano je badaniu, stosując alternatywną ocenę właściwości, a następnie zliczano wykryte jednostki niezgodne ze specyfikacją właściwości wzorca typu produktu. Uzyskano następujące wyniki:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
nt	10	20	15	20	10	10	20	20	15	...
zt	1	1	0	0	1	0	1	2	0	...

Łączna ilość zbadanych jednostek produktu równa jest sumie liczebności próbek losowych pobranych do badania. Mamy więc:

Ogólną ilość niezgodnych jednostek produktu wynika z następującego rachunku:

Na podstawie tych danych obliczamy oszacowanie wadliwości obserwowanego strumienia produktu:

Obliczoną wadliwość należy interpretować jako prawdopodobieństwo, albowiem dotyczy ona przyszłości. Należy mianowicie oczekiwać, że przeciętnie 4 na 100 wyprodukowanych jednostek wyrobu nie będzie wykazywać pożądanej zgodności ze specyfikacja wzorca typu.

Znając poziom wadliwości produktu, albo procesu, można rozwiązywać różnego rodzaju problemy pojawiające się w procesie zarządzania jakością.

Przykład 4.4

Z połączonych partii produktu, o których mowa w przykładzie 4.2, pobrano losowo n = 5 jednostek i przekazano je klientowi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że klient nie znajdzie wśród nich żadnej jednostki wadliwej? Obliczoną w przykładzie 4.2 wadliwość p₁₂ = 0.02625 potraktujemy obecnie jako prawdopodobieństwo. Do obliczeń wykorzystamy rozkład dwumianowy, który jest najwłaściwszym modelem formalnym rozważanego tu problemu. Mamy mianowicie

Tak więc, w około 88 przypadkach na 100, klient kupujący n = 5 jednostek produktu nie znajdzie wśród nich jednostek niezgodnych. Można więc założyć, że 88% nabywców będzie zadowolonych z zakupu, albowiem przystępując do transakcji zaakceptowali oni jakość typu, a kupione jednostki nie będą wykazywały odstępstw od wzorca typu produktu. Niezadowolonych będzie natomiast 12%, przy czym stopień owego niezadowolenia będzie różny. Skrajnie niezadowoleni byliby ci, w przypadku których wszystkie kupione jednostki produktu okazałyby się się niezgodne. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest jednak znikome:

Mamy więc do czynienia ze zdarzeniem praktycznie niemożliwym, mimo że formalnie prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest większe od zera.

Zadanie 4.1

Kontynuując rozumowanie przedstawione w powyższym przykładzie oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń losowych polegających na tym, że wśród kupionych n = 5 sztuk nabywca znajdzie 1, 2, 3 lub 4 jednostki niezgodne. Przypomnijmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia losowego podlegającego rozkładowi dwumianowemu oblicza się według wzoru

przy czym

natomiast z = 0,1,2,...,n

Zadanie 4.2

Powtórz obliczenia przedstawione w przykładzie 4.4 zakładając, że klient kupił n = 10 jednostek produktu. Przed przystąpieniem do obliczeń spróbuj intuicyjnie ocenić nową sytuację. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia, że klient nie znajdzie sztuki niezgodnej wśród kupionych jednostek produktu będzie obecnie wyższe, czy niższe, niż w przykładzie 4.4? Jakie będzie obecnie prawdopodobieństwo pojawienia się nabywcy skrajnie niezadowolonego z dokonanego zakupu?

Przykład 4.5

Producent, o którym mowa w przykładzie 4.3 chce pakować swój wyrób po kilka jednostek, w celu zwiększenia sprzedaży, a także w celu obniżenia kosztu opakowania. Po ile sztuk może on pakować swój produkt, jeśli chce on jednocześnie by opakowania zawierające wadliwe jednostki produktu nie pojawiały się częściej niż 1 na 10?

Do obliczeń - podobnie jak powyżej - wykorzystamy rozkład dwumianowy. Funkcję prawdopodobieństwa tego rozkładu podano w zadaniu 4.1. Posługując się tą funkcją postawiony problem można zapisać następująco

Ponieważ

oraz
,

przeto zadanie sprowadza się do rozwiązania następującej nierówności

Mamy więc

Zauważmy, że zwrot nierówności uległ zmianie, albowiem logarytm liczby mniejszej od jedności jest liczbą ujemną. Mamy więc

Zawartość opakowania musi wyrażać się liczbą naturalną: 1,2,3,... .Największą liczbą naturalną, która spełnia powyższą nierówność jest n = 2. Tak więc producent może pakować swój wyrób po 2 sztuki. Umieszczając w jednym opakowaniu 3 sztuki naraża się już na to, że opakowania zawierające sztuki wadliwe będą się pojawiać częściej niż 1 na 10.

Zadanie 4.3

Wykorzystując wzory podane w zadaniu 4.1 sprawdź poprawność wniosku kończącego powyższy przykład. Czy naprawdę producent nie może pakować swojego wyrobu po 3, albo po 4 sztuki, nie narażając się na to, że prawdopodobieństwo pojawienia się opakowania zawierającego sztuki wadliwe przekroczy 0.1?

Przykład 4.6

Z przeprowadzonej kalkulacji wynika, że w przedstawionej powyżej sytuacji dopiero zastosowanie opakowania o zawartości n = 4 jednostek jest opłacalne. Jeśli jednak prawdopodobieństwo wystąpienia opakowania zawierającego sztuki wadliwe nie może przekraczać 0.1, to zastosowanie opakowania o zawartości n = 4 jest możliwe pod warunkiem poprawienia jakości wykonania wytwarzanego wyrobu. Na jakim poziomie należy więc utrzymywać poprodukcyjną wadliwość p? Odwołując się znowu do dwumianowego rozkładu prawdopodobieństwa możemy napisać:

Ponieważ - analogicznie jak poprzednio - mamy

oraz
,

przeto zadanie sprowadza się do rozwiązania następującej nierówności

Mamy więc

Tak więc, jeśli producent chce pakować swój wyrób po 4 sztuki, i jeśli nie chce on dopuścić do tego by opakowania zawierające niezgodne jednostki produktu pojawiały się częściej niż 1 na 10, to musi on obniżyć poprodukcyjną wadliwość do poziomu p = 0.026. Problem wymaga więc dalszej analizy. Należy mianowicie zbadać czy korzyści wynikające z zastosowania opakowania o zawartości n = 4 nie są mniejsze niż koszty, które należy ponieść w celu obniżenia poprodukcyjnej wadliwości z 4% do poziomu 2.6%

Wszystkie przedstawione powyżej rozważania dotyczą wadliwości cząstkowej, a więc dotyczą sytuacji, gdy jakość wykonania oceniana jest ze względu na pojedynczą zmienną diagnostyczną. Jeśli natomiast jakość wykonania produktu (wyrobu lub usługi) oceniana jest ze względu na kilka (k) cech traktowanych łącznie, to miarą poziomu jakości wykonania jest wadliwość agregatowa p(X), gdzie X oznacza zbiór zmiennych diagnostycznych postaci

X= {X₁, X₂,...,X_j,...,X_k} (4.7)

Znając wadliwości cząstkowe p(X_j) można obliczyć wadliwość agregatową, posługując się następującym wzorem

(4.8)

Przykład 4.7

Odwołajmy się do przykładu 2.5. Przypomnijmy, że w procesie oceny jakości wykonania ołówków szkolnych bierze się pod uwagę 7 cech. Kwantyfikując te cechy można zdefiniować 7 następujących zmiennych diagnostycznych:

X₁ - długość ołówka, liczbowa ocena właściwości, dwustronnie ograniczony przedział tolerancji,

X₂ - średnica ołówka, liczbowa ocena właściwości, dwustronnie ograniczony przedział tolerancji,

X₃ - twardość pręcika grafitowego, alternatywna ocena właściwości,

X₄ - ciągłość pręcika grafitowego, alternatywna ocena właściwości,

X₅ - stan powłoki lakierniczej na oprawce, alternatywna ocena właściwości,

X₆ - czytelność napisów, alternatywna ocena właściwości,

X₇ - staranność zamocowania gumki, alternatywna ocena właściwości.

Na podstawie dokumentacji procesu technologicznego oceniono poszczególne wadliwości cząstkowe:

p(X₁) = 0.0001, p(X₂) = 0.0003, p(X₃) = 0.0001,

p(X₄) = 0.0010, p(X₅) = 0.0010, p(X₆) = 0.0004,

p(X₇) = 0.0015.

Interpretacja tych wartości jest bardzo oczywista. Na przykład, p(X₁) = 0.0001 oznacza, że w przeszłości przeciętnie 1 ołówek na 10000 miał niewłaściwą długość; był za krótki, albo za długi. Jeśli uwarunkowania techniczne i organizacyjne produkcji nie ulegną zmianie, to tę frakcję można interpretować jako prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na wyprodukowaniu ołówka o niewłaściwej długości.

Wykorzystując wzór (4.8) można obliczyć wartość wadliwości agregatowej, czyli wadliwości ze względu na wszystkie wymienione powyżej cechy traktowane łącznie. Mamy mianowicie:

p(X) = 1- [(1 - 0.0001)×(1- 0.0003) ×(1- 0.0001) ×(1- 0.001) ×(1- 0.001) ×(1- 0.0004) ×(1- 0.00015)] = 1- 0.9999×0.0097×0.9999×0.999×0.999×0.9996×0.9985 ≈ 0.0044 (0.4%)

Oznacza to, że przeciętnie 44 ołówki na 10000 będą wykazywać odstępstwa od specyfikacji właściwości wzorca typu.

W przedstawionym powyżej przykładzie przyjęto założenie, że poszczególne cechy produktu są niezależne, a jednostka produktu jest dyskwalifikowana wówczas, gdy nie spełnia wymagań ze względu na chociażby jedną z badanych cech. Założenia takie są powszechnie przyjmowane w rozważaniach teoretycznych, w celu ich uproszczenia. Przy rozwiązywaniu problemów praktycznych szczególnie często odrzucane jest drugie ze sformułowanych powyżej założeń.

Zależność (4.8) może również posłużyć do oceny przeciętnego poziomu wadliwości cząstkowych, jeśli znana jest wadliwość agregatowa.

Przykład 4.8 (początek)

Załóżmy, że produkt jest oceniany ze względu na k = 4 cechy. Załóżmy też, że w umowie z odbiorcą produktu ustalono, że agregatowa wadliwość produktu nie może przekraczać 3%. Na jakim poziomie należy utrzymywać poszczególne wadliwości cząstkowe p(X₁), p(X₂), p(X₃) oraz p(X₄), jeśli chcemy by p(X) ≤ 0.03?

Zauważmy, że zadanie to nie ma jednoznacznego rozwiązania, albowiem tę samą wartość iloczynu można uzyskać przy różnych wartościach poszczególnych czynników. Rozwiązanie może dotyczyć tylko przeciętnego poziomu wadliwości cząstkowych. Należy w tym celu przyjąć założenie, że wszystkie wadliwości cząstkowe mają być jednakowe.

Mamy wówczas

(4.9)

Przykład 4.8 (ciąg dalszy)

Po podstawieniu wartości liczbowych do wzoru (4.9) otrzymujemy

Tak więc, jeśli chcemy by wadliwość agregatowa nie przekraczała poziomu 3%, to wszystkie wadliwości cząstkowe należy utrzymywać na poziomie p(X) ≤ 0.8%.

Przedstawione powyżej rozważania dotyczą w całości wadliwości. Jest to podstawowa miara poziomu jakości wykonania, ale nie jedyna. Miara ta nie znajduje zastosowania wówczas, gdy użytkowa jednostka produktu jest agregatem dużej ilości jednostek elementarnych (rzeczywistych lub tylko hipotetycznych), z których każda może być oceniana alternatywnie jako wadliwa lub wolna od wad, albo jako zgodna lub niezgodna. Zauważmy, że jeśli nawet wadliwość (p) na poziomie owych jednostek elementarnych jest bardzo mała, ale jeśli jednocześnie w skład jednostki użytkowej wchodzi bardzo duża liczba tych jednostek, to uzyskanie agregatowej jednostki wolnej od wad (lub niezgodności) staje się mało prawdopodobne. Wynika to z elementarnych właściwości dwumianowej zmiennej losowej (Z). Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) tej zmiennej dana jest wzorem

E(Z) = n × p (4.10)

Tak więc, przy każdej (nawet bardzo małej) wartości p, czyli wadliwości na poziomie jednostek elementarnych, można doprowadzić do tego, że

E(Z) > 1

zwiększając odpowiednio wartość n, czyli łącząc w jeden agregat odpowiednio dużo jednostek elementarnych.

Przykład 4.9

Do omawianej tu klasy produktów należy, między innymi, papier gazetowy. Gazeta codzienna jest wyrobem, którego produkcja musi być zrealizowana szybko i terminowo. Cel ten osiąga się tym łatwiej, im dłuższa wstęga papieru jest jednorazowo umieszczana w maszynie drukarskiej. Im dłuższa jest bowiem ta wstęga, tym rzadziej przerywany jest proces drukowania w celu uzupełnienia zapasu papieru. To właśnie sprawia, że zarządzający drukarnią prasową przywiązują wielką wagę do długości wstęgi papieru, godząc się tym samym na to, że - zgodnie ze wzorem (4.10) - role papieru dostarczane przez papiernie nie będą jednostkami produktu całkowicie wolnymi od wad.

Wstęga papieru gazetowego dostarczana do drukarni w postaci standardowej roli ma zwykle kilkanaście kilometrów długości i dla celów prowadzonej tu analizy - może być traktowana jako agregat kilkunastu tysięcy hipotetycznych jednostek elementarnych w postaci jednometrowych odcinków.

Załóżmy, że wadliwość, czyli prawdopodobieństwo pojawienia się wadliwej jednostki elementarnej, wynosi p = 0.01. Ilu takich wadliwych jednostek elementarnych należy oczekiwać we wstędze papieru o długości 15000 m? Wykorzystując wzór (4.10) otrzymujemy E(Z) = 15000 × 0.01 = 150.

Załóżmy, że zmodernizowano maszynę papierniczą i obniżono dziesięciokrotnie wadliwość na poziomie jednostek elementarnych. Mamy więc obecnie p = 0.001. Czy pozwala to produkować 15-kilometrowe wstęgi papieru gazetowego całkowicie wolne od wad? Oczywiście nie, albowiem E(Z) = 15000 × 0.001 = 15. Rola papieru o 15-kilometrowej długości wstęgi będzie obecnie zawierała przeciętnie 15 jednometrowych odcinków wadliwych.

Zauważmy, że jakości produktu należącego do omawianej tu klasy nie można poprawić przez usunięcie wadliwych jednostek elementarnych. Ze wstęgi papieru gazetowego, o której mowa w przykładzie 4.9, nie można wyciąć jednometrowych wadliwych odcinków, albowiem oznaczałoby to nie poprawę ale drastyczne pogorszenie jakości tego produktu. Ta praktyczna nieusuwalność wadliwych jednostek elementarnych sprawiła, że dla omawianej tu klasy produktów jako miarę jakości zaproponowano przeciętną liczbę wad (albo niezgodności) w jednostce produktu. Jest to - podobnie jak wadliwość - miara z inwersją. Im mniejsza jest bowiem przeciętna liczba wad (albo niezgodności) w jednostce produktu, tym wyższa jest jakość wykonania. Miara ta często oznaczana jest często symbolem λ_m, w którym m oznacza liczbę jednostek elementarnych wchodzących w skład jednostki użytkowej (agregatowej). Użycie symbolu λ_m podkreśla związek omawianej miary jakości wykonania z rozkładem Poissona. Przy rozwiązywaniu różnego rodzaju problemów praktycznych λ_m traktujemy jako parametr tego rozkładu, podobnie jak wadliwość (p) traktowana jest jako parametr rozkładu dwumianowego.

Przykład 4.10

Do fabryki dostarczany jest przewód energetyczny (kabel) w postaci zwojów o długości 1000 m. Przeciętna liczba defektów izolacji wynosi λ₁₀₀₀ = 2.5. We wstępnej fazie procesu technologicznego badana jest w sposób ciągły i wyczerpujący dielektryczna wytrzymałość izolacji przewodu, a następnie jest on rozcinany na odcinki o długości 2 m, które wykorzystywane są jako przewody zasilające do produkowanej aparatury. Każde wykryte „przebicie” izolacji powoduje zatrzymanie procesu rozcinania przewodu, powodując pewne straty.

Kierownik wydziału produkcyjnego pragnie uzyskać odpowiedź na dwa pytania:

1. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego polegającego na tym, że w czasie rozcinania jednego zwoju przewodu proces zostanie zatrzymany co najwyżej jeden raz?

2. Jak sformułować wymagania jakościowe w stosunku do dostawcy, jeśli chcemy by przynajmniej co drugi proces rozcinania przebiegał płynnie?

Ad 1.

Jest to pytanie o wartość dystrybuanty zmiennej losowej Poissona (Z₁₀₀₀) o parametrze λ₁₀₀₀ = 2.5, w punkcie x = 1.

Przypomnijmy, że funkcja prawdopodobieństwa w rozkładzie Poissona przedstawia się następująco:

przy czym z = 0,1,2,... .

Wykorzystując ten wzór mamy:

Oznacza to, że przeciętnie tylko w 287 przypadkach na 1000 rozcinanych zwojów proces zostanie zatrzymany co najwyżej jeden raz, natomiast w 713 przypadkach będzie zatrzymywany częściej.

Ad 2.

Jest to pytanie o wartość parametru λ₁₀₀₀, przy której będzie spełniona nierówność

Ponieważ
oraz 0! = 1, przeto zadanie sprowadza się do rozwiązania nierówności

Po zastosowaniu logarytmów naturalnych mamy

-λ₁₀₀₀ ≥ ln 0.5

λ₁₀₀₀ ≤ 0.693

Tak więc, jeśli chcemy, by przynajmniej co drugi proces rozcinania przewodu przebiegał płynnie (bez zatrzymywania), to należy żądać od dostawcy by poprawił jakość wytwarzanego przewodu, obniżając wartość miary λ₁₀₀₀ z 2.5 do co najwyżej 0.693 ≈ 0.7.

W praktyce bardzo często odnosi się liczbę wad, do umownej jednostki produktu o liczności m = 100. Mamy wówczas λ₁₀₀. Wartości tej miary nie należy interpretować jako wartości procentowych. Należy wszak pamiętać, że λ_m nie jest unormowaną miarą jakości wykonania. Miara ta może przyjmować wartości z przedziału liczbowego [0; ∞). Mamy tu więc inną sytuację niż w przypadku wadliwości, która jest miarą unormowaną i może przyjmować wartości z przedziału [0; 1], albo [0; 100], jeśli jest wyrażana w procentach.

Jeśli jakość wykonania produktu oceniana jest ze względu na jedną zmienną diagnostyczną, to mamy do czynienia z miarą cząstkową, jak w przykładzie 4.10. Jeśli chcemy zaznaczyć, że chodzi o konkretną zmienną X, to możemy posłużyć się symbolem λ_m(X). Miara agregatowa oznaczana jest symbolem λ_m(X), w którym X - podobnie jak poprzednio - oznacza zbiór zmiennych diagnostycznych, ze względu na które dokonuje się oceny jakości produktu.

Zadanie 4.4

Wymień kilka wyrobów, w przypadku których do oceny poziomu jakości wykonania należy stosować przeciętną liczbę wad w jednostce produktu. Zaproponuj rzeczywiste, albo umowne jednostki produktu, do których należy odnosić liczbę wad, albo niezgodności.

Zadanie 4.5

Papier przeznaczony do produkcji kopert dostarczany jest do wytwórni w arkuszach o wymiarach 1m × 1m. Czy do oceny poziomu jakości wykonania tego papieru należy zastosować wadliwość, czy przeciętną liczbę wad w jednostce produktu? Uzasadnij swoją opinię w tej sprawie.

---