Układy równa, z których jedno jest stopnia drugiego

Układy równań, z których jedno jest stopnia drugiego i jedno jest stopnia pierwszego rozwiązuje się metodą podstawiania. Oznacza to, że z równania stopnia pierwszego wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy ją do drugiego równania. Wyjaśnię to na kilku przykładach.

Przykłady

1. Rozwiąż układ równań

Rozwiązanie

Wyznaczamy z drugiego równania jedną z niewiadomych, np. x = 1 + y. Podstawiamy to wyrażenia do pierwszego równania otrzymując

(1 + y)² + y² = 25.

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia do nawiasu otrzymujemy

1 + 2y + y² + y² =25

2y² + 2y -25 + 1 = 0

Po uporządkowaniu i obustronnemu podzieleniu przez 2 mamy

y² + y - 12 = 0

Jest to równanie kwadratowe, które należy rozwiązać, aby wyznaczyć y.

y² + y - 12 = 0

a = 1 b = 1 c = -12

Δ = b² - 4ac = 1² - 4⋅1⋅(-12) = 1 + 48 = 49

Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa różne rozwiązania

lub

lub

Wyznaczone wartości podstawiamy do równania x = 1 + y i obliczamy

x₁ = 1 + (-4) i x₂ = 1 + 3

x₁ = -3 i x₂ = 4

Rozwiązaniami tego układu równań są pary liczb (-3, -4) i (4, 3).

2. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

Rozwiązanie

Rozwiązanie algebraiczne

-x² + 2x + 3 = 0

a = -1 b = 2 c = 3

Δ = b² - 4ac = 2² - 4⋅3⋅(-1) = 4 + 12 = 16

Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa różne rozwiązania

lub

lub

Rozwiązanie :

Rozwiązanie graficzne polega na sporządzeniu wykresów obu równań i odczytaniu współrzędnych punktów przecięcia obu wykresów.

Wykresem równania y = x² - x - 2 jest parabola, gdzie Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4⋅(-2) = 1 + 8 =9 i stąd współrzędne wierzchołka są równe

p =

q =

lub

lub

Wykresem równania y = x + 1 jest prosta.

Wykresy obu równań przecinają się w dwóch punktach. Współrzędne tych punktów są zgodne z wynikiem rozwiązania algebraicznego.

3. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

Rozwiązanie

Rozwiązanie algebraiczne

-x² + 5x - 4 = 0

a = -1 b = 5 c = -4

Δ = b² - 4ac = 5² - 4⋅(-4)⋅(-1) = 25 - 16 = 9

Ponieważ Δ > 0, więc równanie ma dwa różne rozwiązania

lub

lub

Rozwiązanie :

Rozwiązanie graficzne polega na sporządzeniu wykresów obu równań i odczytaniu współrzędnych punktów przecięcia obu wykresów.

Wykresem równania xy = 4 lub y =
jest hiperbola, natomiast wykresem y + x = 5 jest linia prosta.

Wykresy obu równań przecinają się w dwóch punktach. Współrzędne tych punktów są zgodne z wynikiem rozwiązania algebraicznego.

Układ równań, z którego jedno jest stopnia pierwszego, a drugie stopnia drugiego może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie albo może ich nie mieć wcale:

1. układ ma dwa rozwiązania, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego Δ > 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą przecinającą krzywą (np. okrąg, parabolę, hiperbolę) w dwóch punktach,

2. układ ma jedno rozwiązanie, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego Δ = 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą mającą dokładnie jeden punkt wspólny z dana krzywą,

3. układ nie ma rozwiązań, gdy przez podstawienie sprowadza się do równania kwadratowego, dla którego Δ < 0, a ilustracja graficzna przedstawia wtedy prostą i krzywą nie mające punktów wspólnych.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż układy równań :

a)

b)

---