Nr ćwicz. 106	Data		Wydział	Semestr	Grupa
Prowadzący:			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Wyznaczanie współczynnika przewodnictwa cieplnego metali

1. Wstęp teoretyczny

Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu ciepła od pewnego elementu ciała do elementów sąsiednich poprzez przekazywanie energii kinetycznej bezładnego ruchu cieplnego od jednych drobin do drugich w wyniku zderzeń.

Strumień ciepła φ przepływający przez przekrój pręta określamy jako stosunek ilości ciepła do czasu

Podstawowe prawo przewodnictwa mówi, że strumień ciepła jest proporcjonalny do powierzchni przekroju A i różnicy temperatur dT na odcinku dx

λ nazywamy współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Jego wymiarem jest Wm^-1K^-1. dT/dx jest gradientem temperatury. Jeżeli pręt ma stały przekrój i jest doskonale izolowany (strumień ciepła może wtedy płynąć tylko wzdłuż osi pręta, a nie przez powierzchnię boczną), wówczas w równaniu możemy rozdzielić zmienne i obie strony bezpośrednio scałkować. Granice całkowania określają warunki brzegowe, które ustalamy następująco: dla x = 0,
T = T₁ oraz dla x = l, T = T₀, co oznacza, że na początku pręta utrzymujemy stałą temperaturę T₁, a na końcu temperaturę T₀. Całka z przekształconego równania ma postać:

a wynikiem scałkowania jest równanie:

Z powyższego równania możemy łatwo odczytać znaczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego. Mianowicie, gdy λ jest duże, wówczas w celu utrzymania stałej różnicy temperatur T₁ - T₀ trzeba dostarczać duży strumień ciepła. W przeciwnym przypadku, gdy λ jest małe, przekazywanie ciepła do zimnego końca jest powolne - do podtrzymania różnicy temperatur wystarczy mały strumień dostarczanego ciepła.

Jeśli strumień φ będzie stały dla prętów z różnych materiałów, wówczas na końcach pręta dobrze przewodzącego wytworzy się niewielka różnica temperatur. Różnica ta wzrośnie w przypadku pręta o mniejszym współczynniku przewodnictwa.

Rozkład temperatury wzdłuż pręta otrzymamy, całkując równanie od dowolnego punktu x (w punkcie x temperaturę oznaczymy przez T) do końca pręta (x = t, T = T₀). Otrzymujemy:

Należy pamiętać, że równanie to opisuje rozkład temperatury wzdłuż pręta tylko wtedy, gdy jest on dobrze izolowany, tzn. nie występuje przypływ ciepła przez powierzchnie boczne. W tym przypadku temperatura spada liniowo wraz z odległością od końca ciepłego.

Gdy powierzchnia boczna nie jest izolowana cieplnie, strumień przepływający przez kolejne przekroje jest coraz mniejszy w wyniku ucieczki ciepła do otoczenia. Biorąc pod uwagę, że strumień ciepła przez ściany boczne jest proporcjonalny do różnicy temperatur między danym punktem a otoczeniem (jest to tzw. prawo ostygania) można otrzymać równanie opisujące rozkład temperatury w tym przypadku w postaci:

gdzie h jest stałą charakteryzującą pręt i ośrodek zewnętrzny.

Dobrymi przewodnikami ciepła są ciała, których przewodnictwo elektryczne jest również duże. Według prawa Wiedemanna-Franza stosunek przewodnictwa cieplnego λ do przewodnictwa elektrycznego σ jest proporcjonalny do temperatury i nie zależy od rodzaju ciała:

Strumień ciepła płynący przez pręt pochodzi od grzejnika. Całkowity strumień wytwarzany przez grzejnik jest mocą płynącego przezeń prądu. Jednakże tylko część tej mocy przekazywana jest prętowi, reszta oddawana jest do otoczenia. Strumień ciepła przekazywany prętowi można wyrazić w postaci:

gdzie: η - sprawność grzejnika; U, i - napięcie i natężenie prądu w grzejniku.

Do wyznaczenia wartości λ w zasadzie wystarczyłyby tylko dwa punkty pomiarowe. Jednak pomiar temperatury w kilku miejscach pręta jest konieczny, aby sprawdzić rozkład temperatury, ponieważ tylko przy rozkładzie liniowym możemy stosować powyższe wzory. Liniowy rozkład temperatury wzdłuż pręta świadczy o osiągnięciu stanu stacjonarnego przepływu ciepła i zwykle osiągany jest po dość długim czasie od momentu rozpoczęcia grzania pręta.

2. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie przeprowadzałem dla pręta mosiężnego i aluminiowego, dla dwóch wartości napięcia: 50 i 70 V. Ze względu na długi czas stabilizowania się temperatury w obu prętach dla niższej wartości napięcia, zmuszony byłem przerwać doświadczenie zanim mogłem zweryfikować ustabilizowanie się temperatury w prętach dla napięcia 70 V. Przyjąłem za stabilne wartości ostatniego pomiaru.

3. Schemat ćwiczenia

1. Pomiar średnicy prętów.

2. Pomiar temperatury co 10 minut dla napięcia 50 V aż do ustalenia się temperatury.

3. Pomiar napięcia i natężenia prądu w stanie ustalonym.

4. Wykreślenie zależności temperatury w pręcie od odległości.

5. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego.

6. Pomiar temperatury co 10 minut dla napięcia 70 V.

7. Pomiar napięcia i natężenia prądu w stanie ustalonym.

8. Wykreślenie zależności temperatury w pręcie od odległości.

9. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego.

4. Dane eksperymentalne

1. Pomiar średnicy prętów d = 0,02 ± 0,005 m

2. sprawność grzejników:

• aluminium = 0,52 ± 0,01

• mosiądz = 0,24 ± 0,01

1. odległość punktów pomiarowych: 0,05 ± 0,002 m

2. Pomiary temperatury dla U = 50 V

1. Dla miedzi

pomiar	punkt 1	punkt 2	punkt 3	punkt 4	punkt 5
1	294,6	293,6	292,8	291,3	289,5
2	294,8	292,9	291,4	289,3	288,0
3	295,6	293,3	291,7	289,5	287,4
4	296,7	294,3	292,6	290,5	288,4
5	297,9	295,4	293,5	291,2	288,8
6	298,5	295,8	293,7	291,2	288,6
7	298,8	296,2	294,0	291,4	288,7

2. Dla aluminium

pomiar	punkt 1	punkt 2	punkt 3	punkt 4	punkt 5
1	293,2	292,5	290,8	289,3	287,4
2	293,3	291,9	289,4	287,4	285,3
3	294,2	292,7	290,2	288,2	286,0
4	295,3	293,5	290,8	288,5	286,1
5	296,1	294,2	291,5	289,1	286,7
6	297,1	295,3	292,8	290,5	288,4
7	298,0	296,2	293,7	291,4	289,2

3. Pomiary temperatury dla U = 70 V

1. Dla miedzi

pomiar	punkt 1	punkt 2	punkt 3	punkt 4	punkt 5
1	300,0	297,3	295,2	293,0	290,7
2	300,7	298,1	296,1	294,0	291,9
3	301,4	298,6	296,6	294,5	292,4

2. Dla aluminium

pomiar	punkt 1	punkt 2	punkt 3	punkt 4	punkt 5
1	299,4	297,6	295,2	293,0	291,0
2	300,3	298,5	296,2	294,1	292,1
3	301,3	299,3	296,9	294,6	292,7

5. Obliczenie wyników i dyskusja błędów

1. Błędy systematyczne

Poza błędami występującymi w punkcie 4 wystąpiły jeszcze: błąd woltomierza ± 0,5 V, błąd amperomierza ± 5⋅10^-5 A. Wszystkie temperatury zostały od razu przeliczone na stopnie Kelwina, błąd wynosi ± 0,1 K.

2. Obliczenie pól powierzchni prętów

d = 0,02 ± 0,001 m

S = πr² =
;

błąd obliczony metodą różniczki zupełnej:


3. Wykres zależności temperatury od odległości dla miedzi przy U=50 [V], I=140⋅10^-3 [A]


Wszystkie wykresy zostały wykonane na podstawie ostatniego pomiaru, który przyjmowałem za stan ustalony.

Gradient temperatury: 50 [K]

4. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego




Błąd został obliczony metodą różniczki logarytmicznej. Powyższy sposób na obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego będzie wykorzystywany, już bez omawiania, we wszystkich kolejnych punktach.

λ

107,01

Δλ

± 5,13

5. Wykres zależności temperatury od odległości dla aluminium przy U = 50 [V],
   I = 140⋅10^-3 [A]




Gradient temperatury y = 44,8

6. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego

λ

258,76

Δλ

± 18,22

7. Wykres zależności temperatury od odległości dla miedzi przy U = 70 [V],
   I = 197,1⋅10^-3 [A]




Gradient temperatury y = 44,2

8. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego

λ

238,59

Δλ

± 12,15

9. Wykres zależności temperatury od odległości dla aluminium przy U = 70 [V],
   I = 191⋅10^-4 [A]




Gradient temperatury y = 43,8

10. Obliczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego

λ

372,61

Δλ

± 26,27

6. Zestawienie wyników

Dane tabelaryczne wynoszą odpowiednio 85 - 109 SI dla mosiądzu i 226 SI dla aluminium.

7. Wnioski końcowe

Wyniki uzyskane dla napięcia 50 V, pomimo niepełnego ustabilizowania się temperatury w prętach są bardzo zbliżone do tych z tablic. Dla 70 V uzyskałem już jedynie 3 pomiary, temperatura w ciągu 20 minut nie mogła się ustabilizować i stąd tak duży błąd wyniku, że nawet nie warto było liczyć średniej z wyników otrzymanych dla poszczególnych napięć.

laboratorium mechaniczne sprawozdanie z ćw. nr 106 strona nr 8













---