Poniedziałek 8⁰⁰

Wydział Górniczy	Imię i nazwisko: 1. Lucyna Szostok 2. Angelika Trawińska		Rok: II		Grupa: IV	Nr zespołu: 4
Pracowania fizyczna I	Temat: MODUŁ SZTYWNOŚCI.					Nr ćwiczenia: 12
Data wykonania: 15.XI.1999.	Data oddania: 22.XI.1999.	Zwrot do poprawy:		Data oddania:		Data zal.:	Ocena:

1.Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie modułu sztywności metodą dynamiczną za pomocą pomiaru okresu drgań skrętnych wibratora.

2. Wprowadzenie teoretyczne.

Moduł sztywności G, jest to stosunek naprężenia stycznego τ do wywoływanego przez nie odkształcenia postaci γ. Wyraża się wzorem:

.

Aby wyznaczyć moduł sztywności wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, którego podatność na skręcenia zależy wyłącznie od szukanego G i wymiarów geometrycznych.

Skręcenie jest odkształceniem spowodowanym przez parę sił przyłożoną do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta o promieniu r i długości l. Podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się wokół osi pręta, a on sam nie zmienia przy tym ani swojej długości l, ani promienia r.

Całkowity moment siły można obliczyć poprzez całkowanie przyczynków pochodzących od pierścieni o promieniu r i grubości dx. Odkształcenie postaci materiału wynosi:

Wartości naprężeń, zgodnie z prawem Hooke'a wynoszą natomiast:

Siła, działająca na pierścień jest dana wzorem:

przez co pierścień daje przyczynek do momentu równy:

Całkowity moment działający na pręt wynosi zatem:

Aby wyznaczyć teraz G, można zastosować metodę statyczną. Wygodniejszym sposobem jest natomiast metoda dynamiczna i z niej właśnie skorzystamy w ćwiczeniu.

Polega ona na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora w postaci pręta, obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀. Metoda ta pozwala wyeliminować trudny do wykonania pomiar sił, czy kąta skręcenia.

Pomiar momentu bezwładności I_x wahadła, możemy ominąć poprzez pomiary okresów drgań wahadła samego lub obciążonego ciałem geometrycznie prostym, mającym łatwy do policzenia moment bezwładności I₀.

Odpowiednie okresy wynoszą tu: ;

gdzie D jest stałą skręcenia i wynosi:

Moduł sztywności możemy wyznaczyć teraz ze wzoru:

3.Wyniki pomiarów i obliczeń:

Badanym prętem był pręt wykonany ze stali.

Pomiary średnicy:

Lp.	Średnica pręta stalowego 2r [mm]	Średnica pręta stalowego 2r [m]
1	2	0,002
2	2	0,002
3	2	0,002
4	1,95	0,00195
5	2	0,002
6	2	0,002
7	1,95	0,00195
8	1,95	0,00195
9	2	0,002
10	2,05	0,00205

Wartość średnią policzona z wzoru :

wynosi:

2r_śr= 0,000995 [m]

Wszystkie pomiary obarczone są błędem co najmniej Δ2r=0,00001 [m.].

Zmierzona długość pręta wyniosła:

l = 0,71 [m.].

Pomiar długości obarczony jest błędem Δl=0,001 [m].

Wymiary i masy brył obciążających:

- pierścień:

- odważniki (4 szt.):

m=0,139 [kg],

odległość środków odważników od osi obrotu:

a =0,075m.,

pomiar średnic obarczony jest błędem Δd=0,001 [m],

pomiar masy obarczony jest błędem Δm=0,001 [kg].

Dla niewielkiego kąta wychylenia wibratora z położenia równowagi zmierzyłyśmy czas 15 pełnych drgań.

Pomiary drgań wibratora:

Lp.	Czas drgania wibratora nie obciążonego t1 [s]	Okres drgań T1 [s]	Czas drgania wibratora obciążonego pierścieniem t2p [s]	Okres drgań T2p [s]	Czas drgania wibratora obciążonego krążkami t2k [s]	Okres drgań T2k [s]
1	32,64	2,17	44,97	2,99	35,03	2,33
2	32,88	2,19	44,98	2,99	34,73	2,32
3	32,56	2,17	44,55	2,97	34,75	2,31
4	32,12	2,14	44,75	2,98	34,94	2,33
5	32,72	2,18	44,99	2,99	34,82	2,32
6	32,25	2,15	44,84	2,98	35,01	2,33

Wartości średnie okresów dla poszczególnych pomiarów zostały policzone z następującego wzoru:

Błąd standardowy liczymy z wzoru:

Błąd względny wartości okresu obliczony ze wzoru:

Tabela z policzonymi błędami:

Rodzaj błędu	Okres drgań T1 [s]	Okres drgań T2p [s]	Okres drgań T2k [s]
Wartości średnie okresów Tśr [s]	2,15	2,99	2,33
Błąd standardowy ΔT [s]	0,0078	0,0047	0,0035
Błąd względny δ [%]	0,36	0,16	0,15

Obliczenie wartości momentu bezwładności I₀ na podstawie zmierzonych wartości masy i wymiarów geometrycznych:

- dla pierścienia:

d_w=0,253 [m],

d_z=0,283 [m],

m=1,03 [kg],

- dla krążka wzór powyższy się upraszcza.

m=0,139 [kg],

odległość środków odważników od osi obrotu a =0,075m.,

Obliczone momenty bezwładności:

• obręcz

I_o=0,01855 [kg^.m²],

- układ krążków

I_o=0,00313 [kg^.m²].

Oszacowanie błędów pomiarów I_o dokonano na podstawie prawa przenoszenia błędów:

gdzie:

Δd=0,001 [m],

Δm=0,001 [kg].

Błąd ten wynosi:

ΔI₀=0,56^.10^-3 [kg^.m²].

Obliczanie modułu sztywności.

Moduł sztywności obliczamy ze wzoru:

gdzie:

l - długość pręta [m.],

I₀ - moment bezwładności [kg^.m²],

r - promień pręta [m],

T - wartości średnie okresów dla poszczególnych pomiarów.

dla pręta stalowego otrzymujemy:

• dla obręczy:

G= 79,69 [GPa];

- dla odważników:

G= 80,77 [GPa];

Wartość średnia:

G_Sr= 80,23 [GPa];

Oszacowanie błędów pomiarów dokonano na podstawie prawa przenoszenia błędów:

gdzie:

Δl=0,001 [m],

Δr=0,001 [m],

ΔT_śr= 0,0053 [s],

ΔI₀=0,56^.10^-3 [kg^.m²] (dla pierścienia jest większy więc ten jest brany pod uwagę).

po zróżniczkowaniu i wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

=

=

=

=

Sumaryczny błąd pomiaru:

ΔG =

Błąd względny wartości modułu sztywności obliczony ze wzoru:

wynosi on:

δ=3,8 [%].

4 Wnioski.

Tablicowa wartość modułu sztywności dla stali pospolitej wynosi G=78-82 [GPa]. Obliczona wartość modułu sztywności mieści się w zakresie podanym dla wartości tabelarycznej. Wartość oszacowanego błędu okresów T nie przekracza 1 [%] i jest dokładną wartością. Natomiast błąd z jakim został wyznaczony moduł sztywności G jest rzędu 4 [%]. Jest to wartość niezadowalająca. Największy wpływ na ten błąd miały przyczynki od wyznaczenia momentu bezwładności (z tym się wiążą błędy podczas wyznaczania masy i wymiarów geometrycznych obciążników) oraz od pomiaru promienia pręta. Otrzymane wartości modułu sztywności G dla wibratora obciążonego pierścieniem i krążkami różniły się zaledwie 1,08 [GPa] i obydwie mieszczą się w zakresie wartości tabelarycznej.

---