ĆWICZENIA II

MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ

MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ - wskazanie w zbiorowości statystycznej takiej wartości badanej cechy, wokół której skupiają się cechy wszystkich jednostek wchodzącej w skład tej zbiorowości. Tendencja centralna określana jest jako miara przeciętna lub średnia

1. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

Średnia arytmetyczna to iloraz sumy wartości danej cechy w badanej zbiorowości dzielonej przez liczbę jednostek zbiorowości

Średnia arytmetyczna badanej cechy X (zmiennej) to wypadkowa wszystkich jej realizacji (obserwacji). Podaje ona, jaki jest średni poziom zmiennej X w całej zbiorowości, liczącej N elementów.

Sposób obliczania średniej arytmetycznej uzależniony jest od rodzaju szeregu statystycznego

1.1. Szereg szczegółowy (do jednej cechy przyporządkowana jest jedna jednostka statystyczna)

• dodajemy wartości danej cechy i dzielimy ją przez liczbę jednostek w zbiorowości

Gdzie:

średnia arytmetyczna

- poszczególne wartości badanej zmiennej

- liczebność zbiorowości statystycznej czyli ogólna liczba jednostek statystycznych

PRZYKŁAD

Liczebność klas w szkole podstawowej X

17 19 20 22 25 27 29 31 33 34 35 (liczba klas N = 11)

Średnia arytmetyczna:

Średnia liczebność klasy w szkole podstawowej X wynosi 26,54

1.2. Szereg rozdzielczy z przedziałami jednowariantowymi

• mnożymy wartość danej cechy przez odpowiadającą jej liczebność cząstkową i dzielimy przez liczebność zbiorowości statystycznej

(tzw. średnia ważona)

Gdzie:

- liczba jednostek statystycznych o i-tym wariancie badanej zmiennej

Pozostałe symbole bez zmian

PRZYKŁAD:

Oceny uzyskane przez studentów w roku akademickim 2010/2011

Oceny (xi)	Liczba studentów (ni)
2 3 4 5	19 25 38 15	38 75 152 75
RAZEM	N = 97	340

Średnia ważona:

Średnia ocen w roku akademickim 2009/2010 wyniosła 3,5

1.3. Szereg rozdzielczy z przedziałami wielowariantowymi

• znajdujemy dla każdego przedziału jego środek, następnie mnożymy wartości środkowe przez liczebność danego przedziału. Sumujemy iloczyny i dzielimy je przez liczebność zbiorowości

Gdzie:

- środek przedziału klasowego

• środek przedziału klasowego wyznacza się:

• w przypadku cech ciągłych (gdy górna granica danego przedziału klasowego jest równa dolnej granicy następnego przedziału klasowego) środek wyznacza się jako średnie arytmetyczne dolnych i górnych granic danych przedziałów klasowych

• w przypadku cech skokowych (gdy górna granica danego przedziału klasowego nie jest równa dolnej granicy następnego przedziału) środek wyznacza się jako średnie arytmetyczne dolnych (a dla ostatniego przedziału klasowego górnych) granic sąsiednich przedziałów klasowych

PRZYKŁAD 1

Liczba mieszkańców w powiatach w województwie zachodniopomorskim

Liczba mieszkańców (w tys.)	Liczba powiatów
2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 30-34 34-38	10 12 14 16 22 23 21 15 8	4 8 12 16 20 24 28 32 36	40 96 168 256 440 552 588 480 288
Razem	N = 141		2908

Średnia ważona:

Średnia liczba mieszkańców w powiatach województwa zachodniopomorskiego wynosi 20,6 tys.

PRZYKŁAD 2

Liczba mieszkańców (w tys.)	Liczba powiatów
2-6 7-11 12-16 17-21 22-26 27-31 32-36 37-41	11 13 19 18 23 22 19 16	4,5 9,5 14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 38,5	49,5 123,5 275,5 351 563,5 649 655,5 616
Razem	141		3283,5

Średnia ważona:

Średnia liczba mieszkańców w powiatach województwa zachodniopomorskiego wynosi 22,42 tys.

2. MEDIANA

MEDIANA - taka wartość badanej zmiennej, która dzieli, uporządkowany ze względu na tę cechę, szereg statystyczny na połowy. Połowa jednostek statystycznych danej zbiorowości charakteryzuje się wartościami badanej zmiennej niższymi od mediany, a połowa wyższymi. Zatem mediana to wartość środkowa, czyli leżąca po środku uporządkowanego zbioru badanej przez nas cechy; poniżej i powyżej tej wartości znajduje się taka sama ilość elementów

Mediana to jeden z tzw. parametrów pozycyjnych stosowanych dla szeregów otwartych (z dołu lub z góry). Warunkiem wyznaczenia parametru pozycyjnego jest uporządkowanie szeregu statystycznego, najlepiej od najniższej do najwyższej wartości badanej zmiennej

Sposób obliczania mediany uzależniony jest od rodzaju szeregu statystycznego

2.1. Szereg szczegółowy z nieparzystą liczbą jednostek

• ogólny wzór pozwalający wyliczyć, która w kolejności wartość jest medianą:

Gdzie:

- ilość jednostek w zbiorowości

PRZYKŁAD

Liczebność klas w szkole podstawowej X

17 19 20 22 25 27 29 31 33 34 35 (n = 11)

(szósta w kolejności jednostka jest medianą)

Medianą jest liczebność klasy równa 27

2.2. Szereg szczegółowy z parzystą liczbą jednostek

• dla zbiorów parzystych istnieją dwie środkowe jednostki, a mediana znajduje się pośrodku między nimi. Jest równa średniej arytmetycznej tych dwóch wartości

• wzór dla pierwszej środkowej jednostki

• wzór dla drugiej środkowej jednostki

PRZYKŁAD

Liczebność klas w szkole podstawowej X

17 19 20 22 25 27 29 31 33 34 35 38 (n = 12)

mediana znajduje się między 6 a 7 jednostką w szeregu (między liczbami 27 i 29)

Medianą jest liczebność klasy równa 28

2.3. Szereg rozdzielczy punktowy

• w pierwszej kolejności dzielimy liczebność zbiorowości na pół (1/2)

• następnie tworzymy szereg skumulowany

• w liczebności skumulowanej odnajdujemy klasę (wartość danej cechy) w której zawiera się połowa liczebności badanej zbiorowości - wartość cechy, w której się ona zawiera jest medianą

PRZYKŁAD

Oceny uzyskane przez studentów w roku akademickim 2010/2011

Oceny (xi)	Liczba studentów (ni)	szereg skumulowany
2 3 4 5	19 25 38 15	19 44 (19+25) 82 (44+38) 97 (82+15)
RAZEM	N = 97	340

• połowa liczby studentów zawiera się w klasie trzeciej (w szeregu skumulowanym), o wartości cechy równej 4. Zatem mediana równa się 4: taka sama liczba studentów uzyskała oceny niższe od 4 oraz wyższe od 4.

2.4. Szereg rozdzielczy z przedziałami wielowariantowymi

• w pierwszej kolejności ustala się przedział klasowy, w którym znajduje się mediana

• ustala się go poprzez podzielenie ogólnej liczebności zbiorowości przez 2; następnie po stworzeniu szeregu kumulacyjnego odnajdujemy przedział w którym zawiera się połowa liczebności ogólnej

• medianę oblicza się wg wzoru

Gdzie:

- przedział klasowy zawierający medianę

- dolna granica przedziału klasowego zawierająca medianę

- ogólna liczebność zbiorowości statystycznej

- suma liczebności klas poprzedzających klasę mediany

- liczebność klasy mediany

- rozpiętość klasy zawierającej medianę

PRZYKŁAD

liczba ludności w Polsce w 2000 roku

Wiek	Liczebność w tys.	Szereg skumulowany
0-2 3-6 7-12 13-19 20-24 25-29 30-44 45-50	1149,9 1738,5 3204,3 4544,1 3128,7 2772,5 8013,1 …	1149,9 2888,4 6092,7 10636,8 13765,5 16538 24551,1 …
	38 254

= 38254:2 = 19127[Author ID1: at Sun Oct 18 14:15:00 2009 ]

Znajdujemy przedział, w którym mieści się środkowa liczba ludności [Author ID1: at Sun Oct 18 14:20:00 2009 ]w szeregu skumulowanym (30-44 - 24551)[Author ID1: at Sun Oct 18 14:20:00 2009 ]

Podstawiamy do wzoru:[Author ID1: at Sun Oct 18 14:20:00 2009 ]

- dolna granica przedziału klasowego zawierająca medianę, czyli 30

- połowa ogólnej liczebności zbiorowości, czyli 19 127

- suma liczebności klas poprzedzających klasę mediany (w szeregu skumulowanym), czyli 16 538

- liczebność klasy mediany, czyli 8013,1

- rozpiętość klasy zawierającej medianę, czyli 14 lat (44-31)

Mediana wieku w roku 2000 dla [Author ID1: at Sun Oct 18 14:26:00 2009 ]populacji[Author ID1: at Sun Oct 18 14:27:00 2009 ] [Author ID1: at Sun Oct 18 14:26:00 2009 ]Polski wyniosła 34,[Author ID1: at Sun Oct 18 14:27:00 2009 ]5 lat [Author ID1: at Sun Oct 18 14:27:00 2009 ]

3. DOMINANTA

Dominanta to wartość badanej zmiennej, która w szeregu statystycznym występuje najczęściej

• procedurę obliczania dominanty rozpoczyna się od wskazania przedziału klasowego zawierającego dominantę, na podstawie największej liczebności cząstkowej w szeregu statystycznym

• następnie obliczamy wg wzoru

Gdzie:

- dominanta

- dolna granica klasy dominanty

- liczebność klasy dominanty

- liczebność klasy poprzedzającej klasę dominantę

- liczebność klasy następującej po klasie dominanty

- rozpiętość klasy dominanty

PRZYKŁAD

Bezrobotni zarejestrowani wg stażu pracy (w latach) w roku 2008

1-5	5-10	10-15	15-20	20-30
w tys.
194,3	302,4	229,6	158,8	36,4

Klasa w której występuje dominanta: 5-10

Podstawiamy do wzoru:

- dominanta

- dolna granica klasy dominanty, czyli 5

- liczebność klasy dominanty, czyli 302,4

- liczebność klasy poprzedzającej klasę dominanty , czyli 194,3

- liczebność klasy następującej po klasie dominanty, czyli 229,6

- rozpiętość klasy dominanty, czyli 5

W 2008 roku najczęściej rejestrowali się bezrobotni o stażu pracy wynoszącym 7,9 roku.

• w przypadku szeregu rozdzielczego o nierównej rozpiętości klas, dominanta znajdzie się w klasie o największej gęstości;

• gęstość - liczba jednostek liczebności przypadająca na jednostkę długości przedziału (dzielimy liczebność danego przedziału przez jego rozpiętość)

• następnie procedura obliczania dominanty jest taka sama jak w przypadku szeregu o równej rozpiętości klas

PRZYKŁAD

Powierzchnia gospodarstw indywidualnych ( w tys. ha) w Polsce wg powierzchni (w ha)

1-2	2-5	5-10	10-15	15-20	20-30	30-50	50-100
620	1961	2907	1989	1326	1496	1369	1115

Obliczamy gęstość klas (620:1; 1961:3; 2907:5 itp.)

620

654

581

398

265

150

68

22

Dominanta znajduje się w przedziale 2-5 ha; rozpiętość tego przedziału 3

Podstawiamy do wzoru:

W Polsce największą powierzchnię w kraju zajmują gospodarstwa o powierzchni 6 ha

6

---