POLITECHNIKA RZESZOWSKA KATEDRA METROLOGII I SYSTEMÓW DIAGNOSTYCZNYCH
LABORATORIUM PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
Grupa: III / L01		Data wykonania ćwiczenia: 03.03.2011		Ocena uwagi:
Nazwisko i imię:
1.	Patlewicz Michał
2.	Pazowski Łukasz
3.	-
4.	-
Nr ćwiczenia: 3		Temat ćwiczenia: „Analogowe przetwarzanie sygnałów stochastycznych”

1. Spis używanych przyrządów:

Lp.	Nazwa i typ przyrządu, numer fabryczny
1.	Generator sygnału białego/różowego RFT NF-Rauschgenerator NRG 201
2.	Generator sygnału pseudolosowego SS-1
3.	Oscyloskop cyfrowy RIGOL DS1202CA
4.	Oscyloskop GW Instek GOS-630
5.	Multimetr Digital Multimeter V562
6.	Metek MXS54

2.Cel ćwiczenia.

Badanie modeli i podstawowych parametrów sygnałów stochastycznych.

3.Wprowadzenie do ćwiczenia.

Proces stochastyczny- rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem jest wielokrotny rzut monetą. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, natomiast wartością dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania, orzeł bądź reszka.

Sygnał stochastyczny- to sygnał, którego wartości w każdej chwili są zmiennymi losowymi. Na podstawie ważnego dla obliczeń praktycznych twierdzenia o sygnałach ergodycznych, uśrednianie po nieskończonym zbiorze wartości zmiennej losowej w danej chwili czasowej, można zastapić uśrednianiem po nieskończonym zbiorze realizacji zmiennych losowych w kolejnych chwilach czasowych.

Szum biały -rodzaj szumu akustycznego (a ogólniej: wszelkiego rodzaju szumów - sygnałów o przypadkowo zmieniających się w czasie parametrach, w tym sygnałów elektromagnetycznych).

Charakterystyka szumu białego

Funkcja autokorelacji szumu białego

Szum różowy -znany także, jako szum 1/f, jest sygnałem lub procesem, którego widmo częstotliwościowe, a także widmowa gęstość mocy są proporcjonalne do odwrotności częstotliwości.

Widmowa gęstość mocy szumu różowego opada 10 dB na dekadę (ok. 3 dB na oktawę). Poziom ciśnienia akustycznego w kolejnych pasmach oktawowych jest, zatem stały, co znajduje zastosowanie w badaniach i pomiarach akustycznych. Praktycznie wytworzenie prawdziwego szumu różowego jest niemożliwe, ponieważ jego energia w pełnym paśmie częstotliwości byłaby nieskończona, bowiem energia szumu różowego w każdym przedziale częstotliwości od
do
jest proporcjonalna do
. Jeśli częstotliwość górna
jest nieskończenie wielka, to energia także byłaby nieskończenie wielka. W praktyce, więc szum różowy może spełniać zależność 1/f tylko w ograniczonym zakresie częstotliwości.

Rozkład prawdopodobieństwa - w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

1. Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę
   w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.

2. Rozkład dwupunktowy - rozkład dyskretny prawdopodobieństwa w którym zmienna losowa przyjmuje tylko dwie różne wartości. Jest on na przykład rezultatem doświadczenia (zwanego próbą Bernoulliego), w wyniku którego określone zdarzenie A wystąpi lub nie wystąpi. Szczególnym przypadkiem jest rozkład zero-jedynkowy w którym zdarzeniom elementarnym wchodzącym w skład zdarzenia
   A przyporządkowana jest wartość 1 zmiennej losowej, a innym zdarzeniom elementarnym liczba 0.

Wartość oczekiwana- w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Wariancja- to klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie ułożona ze zróżnicowaniem zbiorowości, jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Odchylenie standardowe- klasyczna miara zmienności obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne. odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa - funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki Lebesgue'a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w kontekście rozkładów prawdopodobieństwa na prostej jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.

Dystrybuanta - w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną. Jest ona blisko związana z pojęciem rangi.

Autokorelacja - jest narzędziem matematycznym często używanym w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu k przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o k jednostek czasu.

Widmowa gęstość mocy- stacjonarnego procesu losowego x(n) jest związana z funkcją korelacji sygnału dyskretnego poprzez dyskretną transformatę Fouriera. Posiada taką własność ze jej calka w danym paśmie częstotliwości jest równa mocy sygnału x(n) w tym paśmie.

Funkcja korelacji- wyznaczona dla sygnału losowego określana jest mianem funkcji autokorelacji lub korelacji własnej. Korelacja między dwoma sygnałami określa się natomiast funkcją interkorelacji przedziałów delta x i delta y .

Wzajemna gęstość widmowa sygnałów niesie informacje o składowych występujących dla tej samej częstotliwości w obydwu sygnałach. Jak widac jest to transformata Fouriera korelacji wzajemnej Rxy(t) sygnałów x(t) i y(t).

4. Przykłady rachunkowe.

Delta Diraca - dystrybucja , czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni
funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy
o zwartych nośnikach, dany wzorem

dla każdej funkcji
. Delta Diraca nie jest dystrybucją regularną.

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym

Najważniejsze własności:

• 
  ,

• 
  ,

• 
  ,

• 
  ,

• 
  

Transformata Laplace'a ma postać:

Skok jednostkowy:

Impuls Diraca:

5.Potrzebne wzory:

Funkcja korelacji: Gxy(τ)=

Funkcja autokorelacji: Rx(τ)=

Gęstość prawdopodobieństwa: p(x)=
]

Odchylenie: Dx=dx²=

Średnia: mx=

Uw=|Ux|*1,11

|Ux|=

6. Obliczenia dokonane podczas zajęć w laboratorium.

• Dziedzina wartości:

Wskazania mierników:

U₁ = 1,0267 V

U₂ = 0,899 V

|U|=

Współczynnik kształtu dla sinusoidy wynosi 1.11

U_w=1,11 *|U| = 1,11 *

σ = U_w / 1,11*
= 0,899 / 1,11*
= 1,01507 V

σ ≈ U₁

σ = 1,01507 V ≈ 1,0267 V

N(0,
= N(0; 1,02)

• Dziedzina czasu:

T = 5,6 us

20-5,6 = 14,4 us

• Dziedzina częstotliwości

20 us

1/2B = 20u B = 1/20u B = 25 kHz

• Sygnał pseudolosowy:

Częstotliwość taktująca: f_T=2kHz

Długość rejestru przesuwnego: N=31

Opóźnienie: 4ms

(2ⁿ-1)T_z = (2ⁿ-1)/f_Z

T = (2ⁿ-1)/f_Z = (2³¹-1)/2k = 1073k ≈ 1 MHz

7. Wnioski:

Ćwiczenia przeprowadzone na laboratorium miały na celu zapoznanie się z podstawowymi parametrami sygnałów stochastycznych. Proces stochastyczny to nieskończony zbiór zmiennych losowych X zależnych od parametru
t należącego do pewnego zbioru liczb rzeczywistych, oraz zmiennego wskaźnika k. W praktyce poznaliśmy charakterystyki rzeczywiste szumu białego oraz przeprowadziliśmy obliczenia parametrów wyżej wymienionych sygnałów
w dziedzinie wartości, czasu i częstotliwości.

Kolejnym etapem było zapoznanie się w praktyce z sygnałem pseudolosowym, także w dziedzinie wartości, czasu i częstotliwości, oraz obliczenie jego podstawowych parametrów.

1

---