1. Przebieg ćwiczenia

1. W tym punkcie ćwiczenia zapoznaliśmy się ze schematem modelu układu przedstawionym na płycie czołowej stanowiska laboratoryjnego.

2. Badanie podstawowych członów dynamicznych.

Nastawiamy parametry modelu tak, aby uzyskać podstawowe człony dynamiczne. Jednak aby to zrealizować musimy znać macierze A,B,C,D, opisujące równanie stanu i równanie wyjścia:

gdzie:

A-macierz stanu;

B-macierz wejścia (wpływ sygnału wejściowego na stan automatyki;

C-macierz wyjścia (relacje między stanem wyjść a stanem układu);

D-macierz transmisyjna (pokazuje zależność pomiędzy wejściem a

wyjściem).

Badamy następujące człony znając macierze:

a). Człon proporcjonalny (bezinercyjny)

przykładowe równanie ma postać: y=kp*u

Badanie tego członu przeprowadzaliśmy dla różnych napięć:

U=-5,+5,+10[v]. Wyniki naszych badań przedstawia rodzina charakterystyk dla elem. proporcjonalnego dołączona na rys.

b). Człon całkujący

przykładowe równania układu mają postać:

Podobnie jak wyżej człon ten badaliśmy dla różnych napięć wymuszających: U=-1,+2,-5,+5,[V]. Rodzina charakterystyk członu całkującego czyli charkterystyka skokowa tego elementu jest zgodna z charakterystyką skokową teoretyczną tego członu.

c). Człon inercyjny.

przykładowe równania układu mają postać

Przeprowadzając badanie tego członu różnymi napięciami wymuszającymi U=-5,+5,+10[V] dostaliśmy wynik zgodny z charakterystyką skokową teoretyczną tego członu.

d). Człon różniczkujący rzeczywisty

Przykł. równania układu mają postać:

Charakterystyka skokowa otrzymana w wyniku badania członu tego jest zgodna z teoretyczną. Badanie przeprowadzaliśmy dla różnych napięć wymuszających: U=-10,+5,+10[V].

e). Człon dwuinercyjny

Przykł. równania układu mają postać:

Charakterystyka skokowa otrzymana w wyniku badania tego członu jest zgodna z teoretyczną dla różnych wymuszeń: U=-10,+5,+10[V].

f). Człon proporcjonalno całkujący

Przykł. równania układu mają postać:

Charakterystyka skokowa otrzymana w wyniku badania tego członu jest zgodna z teoretyczną dla różnych wymuszeń: U=-5,-2,+1,+5,+10[V].

g). Człon oscylacyjny

Przykł. równania układu mają postać:

W kolejnym etapie realizacja zadania postawionego nam przez prowadzącego polega na znalezieniu charakterystyki oscylacyjnej dla przebiegu rozbiegającego się, tłumionego oraz nietłumionego. W tym celu tak modelowaliśmy macierze aby otrzymać zadane przebiegi.

g1) - macierze dla przebiegu tłumionego:

g2) - macierze dla przebiegu rozbiegającego się:

g3)- macierze dla przebiegu nietłumionego (bez składowej stałej):

badania robiliśmy dla wymuszenia U=+5[V].

3. Kolejnym etapem ćwiczenia było badanie prostego układu regulacji którego schemat z opisanymi członami jest podany w punkcie 1.3. instrukcji. Badając ten układ regulacji musimy napisać równanie stanu tego układu. Zamodelować działanie tego układu na stanowisku, sprawdzić warunki sterowalności, obserwowalności i stabilności. Zarejestrować ch-kę skokową ukł. W tym celu musimy dokonać syntezy ukł. i wyprowadzić równanie stanu i równanie wyjścia.

a). Obliczenia transmitancji dwóch elementów (inercyjnego i całkującego)

połączonych szeregowo (k1=k2=1; T=1):

b). Obliczenia transmitancji wypadkowej z uwzględnieniem sprzężenia

zwrotnego:

c). Po uwzględnieniu def. transmitancji ( G(s) = Y(s)/U(s) ), transmitancja wypadkowa wyraża się następująco:

na podstawie powyższego wyrażenia można utworzyć równania stanu i wyjść obiektu dynamicznego.

d). Wyprowadzenie równań obiektu dynamicznego:

Po przejściu do dziedziny czasu otrzymujemy:

otrzymane równanie jest równaniem różniczkowym 2-go rzędu, zatem można utworzyć 2 równania różniczkowe 1-go rzędu, które odpowiadać będą dwóm równaniom stanu. Jako zmienną stanu dobieramy sygnał wyjściowy y(t) wtedy zgodnie z zasadami doboru zmiennych fazowych można utworzyć relacje:

zatem równania obiektu dynamicznego są następujące:
macierze odnoszące się do powyższego układu równań są następujące:

macierz stanu: macierz wejść: macierz wyjść: macierz transmisyjna

Można zauważyć, że macierz transmitancji jest zerowa, więc nie ma oddziaływania z wejścia na wyjście.

e). Sprawdzam czy powyższy układ jest sterowalny

• warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalności jest aby macierz S=[B, AB, A²B,...,A^n-1B] była rzędu n (czyli żeby miała n liniowo niezależnych kolumn).

• Układ, którego sterowalność będę sprawdzał jest układem z jednym wejściem u(t)=u(t), czyli równanie stanu ma postać
  

• układ z jednym wejściem jest sterowalny jeśli:

det S=[b,Ab, A²b,...,A^n-1b]≠0

W macierzy S występują dwie niezależne liniowo kolumny, a wyznacznik jest różny od zera czyli układ jest sterowalny.

f). Sprawdzam czy powyższy układ jest obserwowalny.

• warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest aby macierz W=[C^T, A^TC^T, (A^T)²C^T, ..., (A^T)^n-1C^T] była rzędu n (czyli miała n-liniowo niezależnych kolumn.

• Układ którego obserwowalność będziemy sprawdzać jest układem o jednym wyjściu y(t)=y(t), czyli równanie wyjścia ma postać: y(t)=cx(t), czyli warunkiem koniecznym i wystarczającym jest aby macierz W nie była osobliwa, czyli det W≠0.

,
czyli układ jest obserwowalny

g). Sprawdzam czy powyższy układ jest stabilny (kryterium Hurwiza).

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

U(s)=0, czyli a_2*s²+a_1*s+a₀=0 a więc s²+s+1=0

miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki:

• wszystkie współczynniki równania istnieją i są większe od zera (jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny).

Współczynniki równania istnieją i są większe od zera, czyli : a₁=1>0; a₂=1>0; a₀=1>0. Warunek spełniony.

• wszystkie podwyznaczniki wyznacznika głównego [R] istnieją i są większe od zera

; n=2

Układ jest stabilny wg kryterium Hurwitza, gdyż spełnione są powyższe warunki: równanie charakterystyczne ma wszystkie pierwiastki o ujemnej części rzeczywistej Re(S_k)<0 gdyż spełnione są powyższe warunki. Tak więc koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności układu jest aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste. Skoro więc Re(S_k)<0 to układ możemy uważać również za stabilny asymptotycznie.

WNIOSKI:

W pierwszej części ćwiczenia badaliśmy różne człony dynamiczne modelując odpowiednio macierze A,B,C,D, na stanowisku badanym. Wszystkie ch-ki skokowe są zgodne z ch-kami teoretycznymi. Z powodu ograniczeń tablicy pomiarowej układu dynamicznego w dwóch członach musieliśmy zmienić parametry macierzy Ci D tak by ch-ka skokowa była zgodna z teoretyczną. Badanie każdego elementu dynamicznego przeprowadziliśmy dla różnych wymuszeń. Dla członu oscylacyjnego dokonaliśmy kilku zmian parametrów macierzy wejść (A), przez co uzyskaliśmy kilka różnych ch-tyk skokowych o różnych tłumieniach (lub bez tłumienia). Kolejnym etapem było badanie prostego układu regulacji. Po napisaniu równania stanu tego układu i znalezieniu macierz A, B, C, D zamodelowaliśmy działanie tego układu na stanowisku. Otrzymaliśmy przebieg oscylacyjny tłumiony. Szeregowe połączenie elementu inercyjnego i całkującego powoduje uzyskanie na skutek wymuszenia elementu oscylacyjnego tłumionego. Po sprawdzeniu warunków sterowalności, obserwowalności i stabilności okazuje się że te warunki są spełnione. Okazuje się także, że układ jest stabilny asymptotycznie tzn. po zniknięciu zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co zajmowany poprzednio.

Z przeprowadzonego ćwiczenia wynika, że sposobami zmiany jakości drgań są:

-zmiana parametru a₁₂ macierzy A (uzyskujemy ch-ki o różnych częstotliwościach)

Żeby np. bardziej tłumić układ musimy zmniejszyć parametr a₂₂ macierzy A. Natomiast w przypadku gdy a₂₂=0 mamy do czynienia z drganiami nietłumionymi. W taki oto sposób możemy częściowi zmieniać jakość drgań naszych charakterystyk.

1

2

---