1. Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym (zadanie)

Wzory:

2. Przedstawić istotę przenoszenia współrzędnych i azymutu na elipsoidzie obrotowej (obliczenia + wzory). Wyjaśnić dlaczego azymut wprost i odwrotny nie różnią się o równe 180^o

W zagadnieniu tym rozwiązuje się zasadniczo dwa zadania:

• zadanie wprost, polegające na obliczeniu B₂, L₂, A(_2,1), na podstawie danych B₁, L₁, A(₁₂), S (₁₂)

{ P₁(B,L), A_1-2, S₁₂ }=> { P₂ (B,L), A₂₁ }

• zadanie odwrotne, w którym oblicza się S₍₁₂₎, A₍₁₂₎, A_(2-1), mając dane B₁, L₁, B₂, L₂

{ P₁ (B,L), P₂ (B,L)} => {S₁₂, A_1-2, A_2-1}

Przy rozwiązywaniu tych zadań wykorzystuje się własność trójkątów o małych bokach w stosunku do dużych promieni krzywizny elipsoidy.

Np. gwiazda polarna nie wyznacza dokładnie zenitu ,jest gwiazda około zenitalną, jeżeli jest obserwowana z dwóch różnych punktów to jest różnica w wyznaczeniu kierunków północy od którego liczy się zenit, podobnie jest przy metodzie obserwacji słońca i wtedy nie będzie równe 180^o.

3. Omów istotę wyznaczenia wysokości ortometrycznej i normalnej.

Przez wysokość ortonormalną rozumiemy odległość tego punktu od geoidy, jako powierzchni morza, mierzoną wzdłuż linii siły ciężkości.

Całkując równanie dW=-gdh w przedziale W_o, W_p otrzymujemy
Wprowadzając średnią wartość g_śr przyśpieszenia g na wysokość H^o mamy W_p-W_o = - g_śrH^o, skąd ostatecznie

Przez wysokość normalną rozumiemy odległość liczoną wzdłuż linii pionowej od qasigeidy do danego punktu.

Do wyznaczenia wysokości normalnej wykorzystuje się metodę niwelacji astronomicznej lub praktycznie, metodę niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej.

4. Przedstawić istotę przenoszenia współrzędnych i azymutu bazując na rozwinięciu funkcji w szeregi potęgowe.

Istotą jest wyliczenie współrzędnych B i L oraz azymutu przeniesienia współrzędnych z geoidy na elipsoidę

Metoda wykorzystująca szeregi potęgowe polega na rozwinięciu w szeregu różnic dB, dL, dA względem dł. Linii geodezyjnej „s”. Służy do rozwinięcia trójkątów sferycznych.

5. Geoida i quasigeoida - definicje i ich związek z systemem wysokości.

Geoida - Powierzchnia ekwipotencjalna, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię oceanów. Geoida jako zerowa powierzchnia ekwipotencjalna przedstawia prawdziwy kształt (figurę) Ziemi.

Quasigeoida - nie jest powierzchnią ekwipotencjalną, lecz można ją jednoznacznie wyznaczyć. Na obszarze oceanów quasigeoida pokrywa się z geoidą, a pod lądami odstępy tych powierzchni nie przekraczają 2m.

Związki z poszczególnymi systemami wysokości:

• wysokość ortometryczna = wysokość tego punktu ponad geoidą, liczoną wzdłuż linii siły ciężkości przechodzącej przez punkt P..

• wysokość normalna = liczymy wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu wysokość dynamiczna=

6. Porównać metody rozwiązania trójkąta sferycznego.

a)Metoda Legendre'a: Polega ona na twierdzeniu, że

Kąty trójkąta sferycznego A, B, C o bokach równych bokom trójkąta płaskiego A', B', C' o stałą wartość (1/3ε)

A'=A-1/3ε

B'=B-1/3ε

C'=C-1/3ε

Czyli trójkąt sferyczny zastępuje się trójkątem płaskim o takich samych bokach i kątach odpowiednio zmodyfikowanych o 1/3ε ekscesu.

Otrzymane w obliczeniach boki trójkąta płaskiego są bokami trójkąta sferycznego.

b)Metoda additamentów:

Polega ona na zastosowaniu wzoru sinusów dla trójkąta płaskiego, po uprzedniej zmianie boków.

Dany jest bok i 3 kąty

Obliczenia wykonuje się tak, że wychodzi się od znanego boku, odejmując jego additament

a'=a-δa,

δ_a=
, δ_b=

podstawia się wartość a' I dane kąty A, B, C do wzorów:

b'=a'
c'=a'

Po obliczeniach otrzymuje się b' I c', do których wartości należy odczytać z tablic i dodać ich additamenty δ_b i δ_c

b=b'+δ_b

c=c'+δ_c

7. Porównać system wysokości ortometrycznych i normalnych. Dlaczego idąc ciągiem niwelacji precyzyjnej o długości 80 km, należy wprowadzać poprawki.

Przez wysokość ortonormalną rozumiemy odległość tego punktu od geoidy, jako powierzchni morza, mierzoną wzdłuż linii siły ciężkości.

Przez wysokość normalną rozumiemy odległość liczoną wzdłuż linii pionowej od qasigeidy do danego punktu.

W Polsce obowiązuje system wysokości normalnych odniesiony do poziomu morza w Kronsztadzie.

8. Omów sieć podstawową poziomą i wysokościową obowiązującą wg instrukcji, opisać modernizację sieci poziomej w PL po 45 roku.

Modernizacja sieci poziomej:

Polską poziomą osnowę podstawową zrealizowano po II wojnie światowej wg zasad odbiegających od klasycznych. Istota tej koncepcji polega na rezygnacji z klasycznej konstrukcji wielorzędowych na rzecz jednolitej, powierzchniowej sieci trójkątów o średniej długości boków ok. 7 km, stanowiącej sieć wypełniającą. Sieć astro-geodezyjna, na której oparta jest sieć wypełniająca , ogólnych zarysach jest taka sama jak w rozwiązaniu klasycznym. Ograniczone możliwości obliczeniowe spowodowały, iż sieć wypełniająca wyrównana była aż w kilkudziesięciu grupach. Usunięcie tych i innych mankamentów stało się możliwe dzięki wprowadzeniu do praktyki komputerów oraz dalmierzy elektronicznych. Powołany w 1975 przez GUGiK Zespół Ekspertów pod kierunkiem prof. Cz. Kameli sformułował program prac nad modernizacją podstawowej osnowy poziomej Polski. Zalecenia Zespołu znalazły wyraz min. W istrukcji technicznej G-1 (1979).W okresie 1974 - 1978 r. wykonano analizy i wyrównania testowe pozwalające na ocenę dokładności obserwacji:

• kierunków w SAG

• kątów sieci wypełniającej na obszarach nie objętych SAG

• kierunków i azymutów w SAG

• kierunków i długości w SAG

• kierunków, azymutów i długości w SAG

Wykryto również błędne pomiary baz drutami inwarowymi.

Wyniki przeprowadzonej niwelacji astr-graw pozwoliły na opracowanie mapy i katalogów względnych odchyleń pionu, mapy odstępów geoidy od elipsoidy Krasowskiego, a także na obliczenie redukcji pomierzonych elementów sieci na elipsoidę.

Do ponownego wyrównania w 1981r. osnowy podstawowej wykorzystano następujące sieci istniejące na obszarze Polski:

• SAG o przeciętnej długopści boków ok. 25 km, która aktualnie obejmuje 5/6 obszaru kraju (bez tzw. Oczek - poznańskiego, łódzkiego i dęblińskiego). Łącznie sieć ta obejmuje 388 punktów;

• Sieć tzw. Punktów pośrednich o przeciętnej długości boków ok. 20km stanowiąca zagęszczenie SAG w płn-zach. I płn. Części kraju (158 punktów)

• SW o przeciętnej długości boku 7 km(5937 punktów).

Jako wzmocnienie wykorzystano ponad 72 punkty leżące w sąsiednich krajach.

W procesie wyrównania wykorzystano obserwacje:

• 43812 kątów z błędem średnim m_k = 0,85”

• 55 azymutów z m_A = (0,8-0,9)”

• 163 długości (16 rozwinięć bazowych pomierzonych drutami inwarowymi, 35 długości boków SW pomierzonych drutami inwarowymi, 90 długości pomierzonych dalmierzami elektrooptycznymi, 25 długości bazy triangulacji satelitarnej pomierzonych dalmierzami elektrooptycznymi lub obliczonych na podstawie kątów i długości pomierzonych)z błędem względnym

• 4302 kierunków z m_r = 0,4”

Wyrównanie sieci wykonano na elipsoidzie Krasowskiego metodą pośredniczącą z punktem odniesienia w Borowej Górze.

Uzyskano następujące parametry dokładnościowe:

• m_o = 1,026 przy liczbie obserwacji nadliczbowych (n-u)=34254

• 
  dla SAG

• 
  dla SW

Średnie błędy współrzędnych punktów oddalonych o 300 - 400 km od punktu centralnego wynoszą ok. 0,2m. Wartości bezwzględne zmian długości boków SW dochodzą do 0,24m, a dla SAG do 1,64m.

9. Definicja i znaczenie przekrojów głównych w punkcie P (B=45^o, L=45^o)

Wśród nieskończenie licznych przekrojów normalnych elipsoidy wyróżnia się dwa główne. Są to przekroje, których dwie płaszczyzny normalne zawierają kąt prosty, a z otrzymanych krzywych na powierzchni, jedna ma krzywiznę największą, druga zaś najmniejszą w danym punkcie P.

Jednym przekrojem jest przekrój południkowy, drugim - przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny południka punktu P. Krzywizna pierwszego jest największa, drugiego - najmniejsza. Przekroje normalne zawarte między przekrojami głównymi mają krzywizny pośrednie. Są to przekroje dowolne.

Przekrój południkowy (M) - płaszczyzna południka danego punktu P. Krzywa jest największa, więc promień jest najmniejszy.

Przekrój poprzeczny (N) - przekrój w I wertykale, czyli przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny południka. Krzywizna jest najmniejsza, więc promień krzywizny jest największy.

10. Istota geodezyjnego zadania wprost i odwrotnego.

• zadanie wprost, polegające na obliczeniu P(B₂, L₂), A(_2,1), na podstawie danych P(B₁, L₁), A(₁₂), S (₁₂)

{ P₁(B,L), A_1-2, S₁₂ }=> { P₂ (B,L), A₂₁ }

• zadanie odwrotne, w którym oblicza się S₍₁₂₎, A₍₁₂₎, A_(2-1), mając dane B₁, L₁, B₂, L₂

{ P₁ (B,L), P₂ (B,L)} => {S₁₂, A_1-2, A_2-1}

Przy rozwiązywaniu tych zadań wykorzystuje się własność trójkątów o małych bokach w stosunku do dużych promieni krzywizny elipsoidy.

11. Linia geodezyjna, jej przebieg oraz zastosowanie w zadaniach z geodezji

Linia geodezyjna jest krzywą na elipsoidzie mającą taką własność że normalna w każdym punkcie tej krzywej tzw. Normalna główna jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkie. Opisuje je równanie Clairauta: NxcosBxsinA=const. W ujęciu dynamicznym linia geodezyjna jest to krzywa do powierzchni, po której poruszałby się punkt bez działania siły, gdyby musiał poruszać się po powierzchni. Definicja iż jest to krzywa na powierzchni dająca najkrótsze połączenie między dwoma pkt. na powierzchni nie jest słuszna. Najkrótszym połączeniem miedzy dwoma pkt. na pow. Jest linia geod., ale miedzy dwoma pkt. na powierzchni można przeprowadzić wiele linii geod. Które są najkrótszym połączeniem X=rxcosL; Y=rxsinL; tgL = Y/X; x² = r²xcosL

12. Podaj definicję: Geoida, quasigeoida, anomalie pola ciężkości, linia pionu, wysokość ortometryczna i normalna i sposoby ich wyznaczania.

Geoida - Powierzchnia ekwipotencjalna, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię oceanów. Geoida jako zerowa powierzchnia ekwipotencjalna przedstawia prawdziwy kształt (figurę) Ziemi.

Quasigeoida - teoretyczna powierzchnia aproksymująca swobodny poziom mórz i oceanów w systemie wysokości normalnych.

Odchylenie linii od pionu= kąt między wektorami przyśpieszenia rzeczywistego i normalnego.

Rzut wektora na płaszczyznę I wertykału i południa astronomicznego wyznaczają składowe odchylenia pionu: wschodnią i północną. Inaczej , nazywamy składową odchylenia pionu w I wertykale, a składową południkową. Odchylenie pionu w dowolnym punkcie P zewnętrznego pola grawitacyjnego będzie zależało od przyjętej elipsoidy U_o = const potencjału normalnego U. Znaczy to, że linie siły ciężkości grawitacyjnych pól normalnych wytworzonych przez elipsoidę ziemską i elipsoidę odniesienia, które mają różne wielkości (a,α) i orientacje e bryle Ziemi, będą miały różne kierunki w punkcie P. Ponieważ wektor g jest jeden (praktycznie niezmienny) w punkcie P, więc odchylenie pionu między wektorem g a wektorami γ' - normalnego pola grawitacyjnego elipsoidy ziemskiej i γ - normalnego pola grawitacyjnego elipsoidy odniesienia będą różne.

Przez odchylenie linii pionu rozumiemy również kąt θ między prostą styczną do linii pionu w punkcie P a normalną do elipsoidy odniesienia. Ponieważ normalna do elipsoidy i styczna do linii siły ciężkości pola normalnego leżą w płaszczyźnie I wertykału wyraża się wzorem analogicznym jak składowa odchylenia pionu ϑ: η= (λ-L)cosB , a składowa ξ' odchylenia pionu θ w płaszczyźnir południka wyraża się wzorem:

ξ'=ϕ - B= ξ + 0,171”H sin 2B

gdzie H jest wyrażone w km.

Przez wysokość ortonormalną rozumiemy odległość tego punktu od geoidy, jako powierzchni morza, mierzoną wzdłuż linii siły ciężkości.

Całkując równanie dW=-gdh w przedziale W_o, W_p otrzymujemy
Wprowadzając średnią wartość g_śr przyśpieszenia g na wysokość H^o mamy W_p-W_o = - g_śrH^o, skąd ostatecznie

Przez wysokość normalną rozumiemy odległość liczoną wzdłuż linii pionowej od qasigeidy do danego punktu.

Do wyznaczenia wysokości normalnej wykorzystuje się metodę niwelacji astronomicznej lub praktycznie, metodę niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej.

13. Podać systemy wysokości ortometrycznych i normalnych. Jest dany ciąg niwelacyjny o długości 80 km na kierunek północ - południe. Oblicz wszystkie znane ci poprawki występujące w geodezji wyższej.

Przez wysokość ortonormalną rozumiemy odległość tego punktu od geoidy, jako powierzchni morza, mierzoną wzdłuż linii siły ciężkości.

Przez wysokość normalną rozumiemy odległość liczoną wzdłuż linii pionowej od qasigeidy do danego punktu.

W Polsce obowiązuje system wysokości normalnych odniesiony do poziomu morza w Kronsztadzie.

Rodzaje poprawek:

Poprawka komparacji łat: (średnia z wyników badań przed i po sezonie pomiarowym)

Poprawka termiczna, uwzględniająca średnie temperatury powietrza i taśm łat oraz współczynnik rozszerzalności taśm łat.

Poprawka lunisolarna, uwzględniająca dobowe zmiany kierunku linii pionu spowodowane przez księżyc i słońce

Poprawka normalna, ze względu na nierównoległość powierzchni poziomych (ekwipotencjalnych)

Poprawka dynamiczna

Poprawka ortometryczna

Poprawka normalna

14. W jaki sposób określa się szerokość ϕ i długość λ oraz azymut w pomiarach astronomicznych w oparciu o trójkąt paralaktyczny?

Szerokość astronomiczna ϕ - Jest to kąt między linią pionu w danym punkcie a płaszczyzną równika.

Długość astronomiczna λ - jest to kąt dwuścienny zawarty pomiędzy płaszczyzną południka Greenwich a południkiem miejscowym danego punktu na Ziemi.

Azymut gwiazdy - kąt dwuścienny zawarty pomiędzy północna częścią płaszczyzny południka miejscowego, a płaszczyzną wertykału danej gwiazdy. Azymut mierzymy w horyzoncie od punktu północy zgodnie z ruchem wskazówek zegara (lub odczytem limbusa rosnącym w prawo), a więc przez punkty E, S i W, od 0-360⁰W astronomii azymut mierzony jest od punktu południa S.

15. Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym. Dane: A_p, B_p, C_p, ε (A_p, B_p, C_p - Kąty pomierzone)

16. Scharakteryzować podstawową poziomą i wysokościową osnowę z naciskiem na parametry dokładnościowe.

a)Podstawowa sieć pozioma: W Polsce osn. Poz. I kl. Stanowi sbiór punktów osm. Podst. Które wyznacza się w celu nawiązania osnów niższych klas, a także dla zaspokojenia potrzeb gospodarczych, obronnych oraz do prowadzenia badań naukowych we współpracy międzynarodowej. Struktura osn. Podst. Winna mieć charakter pow. Sieci kąt-liniowej, wyznaczonej na podstawie pomiarów geodezyjnych, grawimetrycznych, a także , jeśli to możliwe, GPS.

O. I kl. Tworzą:

1. SAG, która charakteryzuje się:

- Przeciętna odl. Między pkt= ok. 20 km

- Odpow. Rozmieszcz. Pkt. Laplace'a,

elemen liniowymi, i pkt. Niw. Astr-graw.

- m_k≤2,2^cc m_d/D≤3*10^-6

2. SW która charakteryzują:

- Przeciętna odl. Między pkt= ok. 7 km

m_k≤3,7^cc m_d/D≤5*10^-6

b)Podstawowa sieć wysokościowa: W Polsce podst. Osn. wys. Stanowi zbiór pkt. I i II klasy siecie niw. Prec., które zakładane są równomiernie za obszarze całego kraju dla zaspokojenia potrzeb gospodarczych, nauk-bad, oraz obronnych. Ś. Podst. Stanowi oparcie dla osnowy szcz. III i IV kl. Zgodnie z G-2 O. Podst. Tworzą:

- Linie miedzynarodowej JWSN oraz jej

zagęszczenie o przeciętnej długości ok. 50

km (max do 90 km)charakteryzującym się

m_o=1mm/km, które stanowią 1 klasę:

- Linie (nawiązane do 1 kl.) o przeciętnej

dł ok. 25 km, max 35 km( n terenach

intensywnie zagospodarowanych 8 km,

max 12 km) charakteryzuje się

m_o=2 mm/km, odnoszące się do 2 kl.

Linie dzielą się na odcinki, których długości powinny wynosić:

- na terenach int zagosp 0,5 - 1 km

na pozostałych terenach do 3 km jeśli adaptacja istniejących reperow a do 2 jeśli nowo zakł. Znaki.

Dokł. pomiaru niw prec określa się za pomocą nast. Wzoprów:

-średni błąd pomiaru linii lub sekcji

- średnie błędy pomiaru sieci przed

zamknięciem (przypadkowy i systematycz)

• średni błąd obliczony z odchyłek zamknięć poligonów

• średni błąd sieci po wyrównaniu

17. Definicja geoidy i quasigeoidy oraz ich związek z poszczególnymi systemami wysokości. Odchylenie linii od pionu i jej znaczenie w geodezji.

Geoida - Powierzchnia ekwipotencjalna, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię oceanów. Geoida jako zerowa powierzchnia ekwipotencjalna przedstawia prawdziwy kształt (figurę) Ziemi.

Quasigeoida - nie jest powierzchnią ekwipotencjalną, lecz można ją jednoznacznie wyznaczyć. Na obszarze oceanów quasigeoida pokrywa się z geoidą, a pod lądami odstępy tych powierzchni nie przekraczają 2m.

Związki z poszczególnymi systemami wysokości:

• wysokość ortometryczna = wysokość tego punktu ponad geoidą, liczoną wzdłuż linii siły ciężkości przechodzącej przez punkt P..

• wysokość normalna = liczymy wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu

• wysokość dynamiczna=

Odchylenie linii od pionu= kąt między wektorami przyśpieszenia rzeczywistego i normalnego.

Rzut wektora na płaszczyznę I wertykału i południa astronomicznego wyznaczają składowe odchylenia pionu: wschodnią i północną. Inaczej , nazywamy składową odchylenia pionu w I wertykale, a składową południkową. Odchylenie pionu w dowolnym punkcie P zewnętrznego pola grawitacyjnego będzie zależało od przyjętej elipsoidy U_o = const potencjału normalnego U. Znaczy to, że linie siły ciężkości grawitacyjnych pól normalnych wytworzonych przez elipsoidę ziemską i elipsoidę odniesienia, które mają różne wielkości (a,α) i orientacje e bryle Ziemi, będą miały różne kierunki w punkcie P. Ponieważ wektor g jest jeden (praktycznie niezmienny) w punkcie P, więc odchylenie pionu między wektorem g a wektorami γ' - normalnego pola grawitacyjnego elipsoidy ziemskiej i γ - normalnego pola grawitacyjnego elipsoidy odniesienia będą różne.

Przez odchylenie linii pionu rozumiemy również kąt θ między prostą styczną do linii pionu w punkcie P a normalną do elipsoidy odniesienia. Ponieważ normalna do elipsoidy i styczna do linii siły ciężkości pola normalnego leżą w płaszczyźnie I wertykału wyraża się wzorem analogicznym jak składowa odchylenia pionu ϑ: η= (λ-L)cosB , a składowa ξ' odchylenia pionu θ w płaszczyźnir południka wyraża się wzorem:

ξ'=ϕ - B= ξ + 0,171”H sin 2B

gdzie H jest wyrażone w km.

18. Systemy wysokości

• wysokość ortometryczna = wysokość tego punktu ponad geoidą, liczoną wzdłuż linii siły ciężkości przechodzącej przez punkt P

• wysokość normalna = liczymy wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu

• wysokość dynamiczna=

19. Wyrównanie sieci podstawowych

Proces wyrównania podstawowych sieci geodezyjnych, wykorzystujący współczesne techniki obliczeniowe, opiera się na odpowiednio przygotowanych danych stanowiących*Model funkcjonalny

*Model stochastyczny

Model funkcjonalny charakteryzuje zależność funkcyjną między obserwacjami (wyniki pomiarów po uwzględnieniu redukcji) a poprawkami ΔX_i do przybliżonych współrzędnych punktów sieci X_i. Model ten opisuje liniowa zależność:

l'_i + V_i = A_iΔX_i Gdzie

V_i oznacza wektor poprawek obserwacji

A_i - macierz współczynników (pochodne cząstkowe) odzwierciedlające geometrię sieci.

Współczesne opracowania podstawowych sieci geodezyjnych opierają się na wyrównaniu wszystkich wartościowych obserwacji, co polega na łączeniu obserwacji z różnych klas. Zabieg ten daje istotne zwiększenie dokładności, a także prawidłową ocenę dokładności wszystkich punktów sieci. Z związku z wprowadzeniem do klasycznych wyrównań sieci geodezyjnych wyników pomiarów dopplerowskich, powstaje problem wyboru odpowiedniego układu współrzędnych. Najczęściej rozważane są trzy możliwości:

*lokalny, krajowy lub elipsoidalny

*układ dopplerowski

*geocentryczny układ kartezjański

Model stochastyczny określa wariacje i kowariancje wyrównanych wielkości, a opisuje go macierz wariacyjno - kowariancyjna postaci:

Cov(ΔX_i)=σ²_oP_i^-1= σ²_oQ_li

Gdzie:

σ²_o - wariancja wagi jednostkowej

P_i - macierz wektora wag

Q_li - macierz dopełnienia algebraicznego

20. Poprawki do pomiarów osnów wysokościowych

Do pomierzonego przewyższenia odcinka h _o należy wprowadzić następujące poprawki:

• komparacja łat: (średnia z wyników badań przed i po sezonie pomiarowym). Określana jest zależnością

Δ_k = h'_oε_śr

gdzie ε_śr oznacza średnią poprawkę pary łat

• termiczną, uwzględniająca średnie temperatury powietrza i taśm łat oraz współczynnik rozszerzalności taśm łat. Oblicza się niezależnie od przewyższenia odcinka w kierunku tam i powrotnym na podstawie wzoru:

Δ_t = h_oα_śr(t-t_o)

gdzie: h₀ - przewyższenie odcinka [mm],

α_śr - średnia wartość współczynnika rozszerzalności taśm inwarowych pary łat

(t-t_o) - różnica między średnią temperaturą taśm łat (t) czasie pomiaru a temperaturą komparacji(t_o)

- lunisolarna, uwzględniająca dobowe

zmiany kierunku linii pionu spowodowane

przez księżyc i słońce. Wyznaczamy ją ze

wzoru:

Δ_e = 0,7k*l*sin2zcos(A-A_o)

gdzie: k - wartość stała (k_ks = 8,5 k_sl=3,9)

z - odległość zenitalna Księżyca lub Słońca

A - azymut Księżyca lub Słońca

A_o - azymut odcinka niwelacyjnego

Poprawkę Δ_e oblicza się niezależnie (dla każdego kierunku pomiaru) oraz oddzielnie dla Księżyca I Słońca, a suma (Δ_e^ks + Δ_e^sl)= Δ_e jest poszukiwaną wartością poprawki lunisolarnej

- Poprawka normalna, ze względu na

nierównoległość powierzchni poziomych

(ekwipotencjalnych)

Poprawkę normalną oblicza się natomiast ze wzoru:

21. Opisać zjawisko precesji i nutacji

Przyczyną zjawiska precesji i nutacji jest grawitacyjne oddziaływanie ciał układu słonecznego, a głównie Słońca i Księżyca, na Ziemię.

Na punkty materialne położone na równiku działają siły przyciągania Słońca K₁ i K₂ K₁>K₂

Siła odśrodkowa spowodowana obrotem Ziemi dookoła Słońca powoduje że na punkty te działają również siły F₁ i F₂ F₁<F₂. Wypadkowymi tych sił są wektory R₁ i R₂. Składowe tych sił, prostopadłe do równika, wytwarzają moment obrotowy zmierzający do przemieszczenia płaszczyzny równika do płaszczyzny ekliptyki. Ponieważ Ziemia ma własny moment obrotowy na skutek obrotu dookoła osi, to - zgodnie z teorią wirującego bąka - oś obrotu Ziemi wykonywać będzie ruch kołowy wokół bieguna ekliptyki π. Ruch ten nazywamy precesja.

Jeżeli uwzględnić wpływ Księżyca i planet, to droga tego ruchu będzie o wiele bardziej skomplikowana. Dlatego też wpływ Słońca i Księżyca podzielono na dwie części: na precesję lunisolarna i nutację.

Precesja lunisolarna powoduje ruch stożkowy osi Ziemi Kąt rozwarcia stożka równy jest podwójnemu nachyleniu równika do ekliptyki, a więc 2*23^o,5. Ruch ten odbywa się w kierunku zachodnim i jego okres wynosi około 25 800 lat.

Zjawisko nutacji spowodowane jest tymi samymi fizycznymi przyczynami co i precesja. Nutacja są to okresowe wahania (odchylenia) bieguna niebieskiego od krzywej precesyjnej spowodowane przede wszystkim okresowym ruchem Ziemi wokół Słońca oraz ruchem Księżyca wokół Ziemi.

22. Omów istotę zadania wprost i odwrotnego obliczenia współrzędnych i azymutu na elipsoidzie oraz podać najistotniejsze aspekty metody rozwinięcia w szereg potęgowy zależności S/N

- zadanie wprost, polegające na obliczeniu

B₂, L₂, A(_2,1), na podstawie danych

B₁, L₁, A(₁₂), S (₁₂)

{ P₁(B,L), A_1-2, S₁₂ }=> { P₂ (B,L), A₂₁ }

- zadanie odwrotne, w którym oblicza się

S₍₁₂₎, A₍₁₂₎, A_(2-1), mając dane B₁, L₁, B₂, L₂

{ P₁ (B,L), P₂ (B,L)} => {S₁₂, A_1-2, A_2-1}

Przy rozwiązywaniu tych zadań wykorzystuje się własność trójkątów o małych bokach w stosunku do dużych promieni krzywizny elipsoidy.

Metoda wykorzystująca szeregi potęgowe polega na rozwinięciu w szereg różnic dB, dL, dA względem dł linii geodezyjnej s. Służy do rozwinięcia trójkątów sferoidalnych.

23. Równikowy ekwinokcjalny układ

współrzędnych

Układ współrzędnych równikowy (ekwinokcjalny) jest to układ wykorzystujący gwiazdy do prac astronomiczno-geodezyjnych oraz wyznaczeń astr-geod przedstawiający położenie gwiazdy w ukł. Wspóółrzędnych jednolitych i niezależny od czasu obserwacji.

24. Co to są punkty Laplace'a

W punkcie tym zwanym Punktem Laplace'a wykonuje się pomiary astronomiczne: szerokości (ϕ=0.2”), długości (λ=0.3”) i azymuty (α=0.3”). Przyłożenie elipsoidy do geoidy polega na pokryciu normalnej do elipsoidy ze styczną do linii pionu oraz zorientowaniu elipsoidy do południka astronomicznego. dla określenia względnego odchylenia linii pionu w węzłach sieci - zwanych również punktami Laplace'a - oraz ich okolicy wykonuje się pomiary grawimetryczne. Ponadto na punktach tych dokonuje się pomiaru baz o długości około 10 km z dokładnością 10^-6. Bazy dodatkowo mierzy się również w sieciach wypełniających.

---