LABORATORIUM URZĄDZEŃ NADAWCZYCH

Temat ćwiczenia: Własności emisji F3. Charakterystyki modulacji radiotelefonu UKF FM-302 .

1. Wprowadzenie

Ćwiczenie ma na celu zaznajomienie z podstawowymi parametrami i własnościami emisji F3, oraz z pracą toru nadawczego radiotelefonu UKF.

Modulacja typu F3 charakteryzuje się tym, że amplituda sygnału emitowanego jest stała, natomiast informacja przenoszona jest w zmianach częstotliwości sygnału. Zatem chwilowa częstotliwość zmienia się w takt sygnału modulującego. Zależność tą można opisać wzorem następującym :

f_i = f _o + k_f g( t ) / 1 /

gdzie : f_i - częstotliwość chwilowa

f _o - częstotliwość nośna

k_f - stała charakteryzująca modulator

g( t ) - przebieg modulujący

Faza chwilowa sygnału emitowanego określona jest całką częstotliwości chwilowej, pomnożoną przez 2 π, jak poniżej :

_t

φ _i = 2 π ∫ f_i ( t ) dt / 2 /

^t_o

gdzie : φ _i - faza chwilowa

Po obliczeniu tej całki otrzymuje się zależność :

_t

φ _i = 2 π f_o t + k_f ∫ g( t ) dt + φ _o / 3 /

^t_o

gdzie : 2 π f_o = ω_o - pulsacja chwilowa

φ _o - faza początkowa, zależna od wyboru chwili t _o

W dalszych rozważaniach przyjmujemy taki moment t _o aby faza początkowa była równa zeru. Jeżeli założymy, że modulacja realizowana jest pojedynczym tonem harmonicznym, czyli g( t ) = U _o cos 2π Ft, to zależność / 1 / można zapisać w postaci :

f_i = f _o + k_f U _o cos 2π F t = f _o + ∆f cos 2π F t / 4 /

Iloczyn k_f U _o określa zakres zmian częstotliwości i jest nazywany dewiacją częstotliwości (∆f ). Określa on maksymalną odchyłkę wartości częstotliwości chwilowej od częstotliwości nośnej w procesie modulacji i jest podstawowym dynamicznym parametrem charakteryzującym modulację częstotliwości.

Wyrażenie opisujące fazę chwilową przebiegu przyjmie postać :

φ _i = 2 π f_o t + ∆f/F sin 2π F t / 5 /

Iloraz ∆f/F nazywa się wskaźnikiem dewiacji (lub indeksem modulacji) i oznaczany jest przez β lub б. W opisie modulacji częstotliwości ( FM ) spełnia on podobną rolę co współczynnik głębokości modulacji m przy opisie modulacji amplitudy ( AM )

Całkowite wyrażenie opisujące przebieg napięcia zmodulowanego w częstotliwości ma więc postać :

u _FM (t) = U_FM cos ( 2 π f_o t + β sin 2 π F t ) / 6 /

Korzystając ze wzoru na cosinus sumy kątów, można zależność / 6 / zapisać następująco :

u _FM (t) = U_FM cos2 π f_o t cos ( β sin 2 π F t ) - U_FM sin2 π f_o t sin ( β sin 2 π F t ) / 7 /

Przy założeniu, że wartość wskaźnika dewiacji jest dużo mniejsza od jedności ( β << 1 ), również wyrażenie β sin 2 π F t będzie przyjmować wartości dużo mniejsze od 1. Wtedy można przyjąć, że :

cos ( β sin 2 π F t ) = 1 a sin ( β sin 2 π F t ) = β sin 2 π F t / 8 /

Wykorzystując te zależności i podstawiając je do równania / 7 / dostaniemy :

u _FM (t) = U_FM cos2 π f_o t - β U_FM sin2 π f_o t sin 2 π F t / 9 /

Po odpowiednich przekształceniach zależności / 9 / można otrzymać :

u _FM (t) = U_FM cos2 π f_o t + ½ βU_FM cos2 π ( f_o + F ) t - ½ βU_FM cos2 π ( f_o - F ) t / 10 /

Zależność ta / 10 /, opisuje widmo emisji F3 przy założeniu, że wskaźnik dewiacji ma małą wartość. Widać, że pod względem rozkładu prążków widmo to nie różni się od widma emisji A3. Podobnie jak przy emisji A3, składa się ono z dwóch prążków bocznych o amplitudach ½ βU_FM , odległych od siebie o 2F oraz leżącej między nimi nośnej o amplitudzie U_FM . Ze względu na szerokość pasma zajętego przez emisję F3 o małym wskaźniku dewiacji, przypadek taki nazywany jest wąskopasmową modulacją FM. Istotną właściwością, odróżniającą wąskopasmową FM od modulacji A3 są zależności fazowe pomiędzy składowymi widma. Mianowicie dolny prążek ma fazę przesuniętą o 180⁰ względem nośnej i górnego prążka bocznego. Przesunięcie to nie występuje przy modulacji A3. Zależności te (widma) oraz wykres wskazowy dla emisji FM przedstawiono na rysunku 1.

AM

A B

^f

FM

O

^f

Rys. 1 Porównanie kształtu widma AM i FM oraz wykres wskazowy dla FM .

Przedstawiony wykres wskazowy interpretuje się następująco : przyjmuje się, że płaszczyzna, na której umieszczono rysunek wiruje w prawo z prędkością 2π f_o . Wektor OA , przedstawiający nośną, wiruje w lewo z tą samą prędkością, w rezultacie czego obserwator widzi go w stałym położeniu. Podobnie wektory AC i AD, wirujące z prędkościami odpowiednio 2π ( f_o + F ) - górny prążek boczny i 2π ( f_o - F ) - dolny prążek boczny, są widoczne jako wirujące z prędkościami 2π F i - 2π F w kierunkach przeciwnych (ruchu nie zaznaczono na rysunku). Wektor AB reprezentuje tzw. składową kwadraturową przebiegu a wektor OA składową synfazową. Wypadkowy wektor OB stanowi reprezentację całkowitego przebiegu wąskopasmowej FM. Jeżeli tylko amplitudy wektorów AC i AD są odpowiednio małe (mały wskaźnik β ) to wektor OB nie zmienia swojej długości ale przyspiesza lub zwalnia (decyduje o tym składowa kwadraturowa), a jego prędkość kątowa odpowiada dokładnie zmianom właściwym modulacji częstotliwości. Wynika stąd również, że zmienia się faza chwilowa wektora wypadkowego ( OB ).

Kolejnym krokiem analizy modulacji FM jest wyprowadzenie zależności opisującej widmo sygnału FM bez ograniczeń wartości wskaźnika dewiacji β. W tym celu należy rozwinąć w szereg Fouriera wyrażenie następujące:

cos ( β sin 2 π F t ) + j sin ( β sin 2 π F t ) = exp ( j β sin 2 π F t ) / 11 /

Jest to funkcja okresowa o okresie 1/F, można ją zatem rozwinąć w zespolony szereg trygonometryczny Fouriera następująco :

_∞

f ( t ) = ∑ C_n exp ( j 2 π n F t )

^{- ∞}

_T/2 / 12 /

C_n = 1/T ∫ f ( t ) exp ( - j 2 π n F t ) dt

^{- T/2}

Po podstawieniu w miejsce funkcji f ( t ) wyrażenia exp ( β sin 2π F t ) otrzymamy :

_T/2

C_n = 1/T ∫ exp - j ( 2π n F t - β sin 2 π F t ) dt / 13 /

^{- T/2}

Po dokonaniu zamiany zmiennych w całce następująco x = 2 π F t , otrzymamy :

_π

C_n = 1/ 2π ∫ exp - j ( nx - β sin x ) dx / 14 /

^{- π}

Niestety, całka ta / 14 / nie może być wyznaczona w kwadraturach, tzn. nie istnieje żadna funkcja elementarna równa tej całce. Natomiast można wykazać, że jest ona rozwiązaniem równania różniczkowego Bessela. Jest ona równa funkcji Bessela 1-go rodzaju, n-tego rzędu. W literaturze oznacza się ją najczęściej jako J_n ( β ). Można więc zapisać :

_∞

exp ( j β sin 2 π F t ) = ∑ J_n ( β ) exp ( j n 2π F t ) / 15 /

^{- ∞}

Z definicji funkcji Bessela wynikają dwie własności :

J_n ( β ) = J- _n ( β ) dla n parzystych

J_n ( β ) = - J- _n ( β ) dla n nieparzystych

Wykresy funkcji Bessela dla pierwszych kilku rzędów pokazane są na rysunku 2.

W oparciu o przedstawione właściwości można napisać :

exp ( j β sin 2 π F t ) = J₀ ( β ) + 2 [ J₂ ( β ) cos 4π F t + J₄ ( β ) cos 8π F t + ….. ] +

+ 2 j [J₁ ( β ) sin 2π F t + J₃ ( β ) sin 6π F t + ….. ] / 16 /

Rozdzielając część rzeczywistą i urojoną tego wyrażenia dostaniemy :

cos ( β sin 2 π F t ) = J₀ ( β ) + 2 [J₂ ( β ) cos 4π F t + J₄ ( β ) cos 8π F t + … ]

sin ( β sin 2 π F t ) = 2 [ J₁ ( β ) sin 2π F t + J₃ ( β ) sin 6π F t + … ] / 17 /

Rozkład widma sygnału zmodulowanego częstotliwościowo może być w prosty sposób wyznaczony przez podstawienie ostatnich zależności / 17 / do równania / 7 / :

u _FM (t) = U_FM J₀ ( β ) cos2 π f_o t + U_FM J₁ ( β ) [cos2 π ( f_o + F ) t - cos2 π ( f_o - F ) t ] +

U_FM J₂ ( β ) [cos2 π ( f_o + 2F ) t + cos2 π ( f_o - 2F ) t ] +

U_FM J₃ ( β ) [cos2 π ( f_o + 3F ) t - cos2 π ( f_o - 3F ) t ] + … / 18 /

Zależność / 18 / opisuje widmo sygnału zmodulowanego w częstotliwości. Można tu sformułować pewne wnioski natury ogólnej :

- widmo jest niesymetryczne względem nośnej ( nieparzyste prążki różnicowe są w odwrotnej fazie ),

- prążki są odległe od siebie o częstotliwość modulującą,

- względne amplitudy prążków są określone wartościami funkcji Bessela kolejnych rzędów,

- pasmo zajęte przez sygnał FM jest teoretycznie nieskończone.

Ostatnia właściwość jest przyczyną, dla której emisję FM nazywa się emisją szerokopasmową. W praktyce amplitudy składowych widma wysokich rzędów stają się pomijalnie małe, co pozwala ich nie uwzględniać, i zmieścić emisję FM w skończonym paśmie. Na ogół pomija się te prążki, których amplitudy nie przekraczają 1% amplitudy nośnej ( są o 40 dB niższe ). Przy powyższym założeniu, analizując przebieg funkcji Bessela, praktyczną szerokość pasma można oszacować wg następującej zależności :

B_FM = 2,8 Δ f / 19 /

W oparciu o to kryterium sporządzono wykres pokazany na rysunku 3, przedstawiający zależność szerokości pasma, odniesionej do dewiacji, w funkcji indeksu modulacji β. Jeżeli, na przykład, dewiacja

∆f = 10 kHz, a F = 1000 Hz to pasmo wyniesie

B_FM = 2,8 Δ f = 2,8 x 10 kHz = 28 kHz

W zaleceniach międzynarodowych (UIT) określono dwa inne kryteria zawężenia pasma dla modulacji częstotliwości, znane jako kryterium zniekształceń i kryterium energetyczne. Ponieważ każde ograniczenie widma sygnału powoduje powstanie zniekształceń przebiegu przyjęto, że dopuszcza się usunięcie składo -

( usunięte)

Rys. 2 Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju n - tego rzędu

wych, dla których poziom zniekształceń nie przekroczy założonej wartości, np. 3% (kryterium zniekształceń). Kryterium energetyczne dopuszcza usunięcie prożków, które łącznie przenoszą najwyżej 1% mocy całego sygnału. W obu tych przypadkach pasmo sygnału zmodulowanego określa zależność powszechnie używana w praktyce, w postaci:

B_FM = 2 ( Δ f + F ) / 20 /

Dla porównania, w tym przypadku szerokość pasma wyniesie B_FM = 22 kHz. Ponieważ za każdym razem jest to wartość duża w porównaniu z częstotliwością modulującą, dlatego modulację FM nazywa się modulacją szerokopasmową i stosuje się w pasmach wyższych częstotliwości, np. w zakresie UKF i wyższych.

Rys.3 Szerokość pasma sygnału FM przy modulacji jednym tonem, dla przypadku eliminacji z widma

prążków o bardzo małej amplitudzie, dla J_n ( β ) > 0,01 .

Na rysunku 4 pokazano zmiany układu widma emisji F3 w zależności od zmian wskaźnika dewiacji β , przy stałej wartości częstotliwości modulującej. Wynika zeń, że szerokość widma sygnału FM rośnie wraz ze wzrostem wskaźnika dewiacji, ale odległości między prążkami nie zmieniają się.

F = 5 kHz

Δ f = 5 kHz

β = 1

F = 5 kHz

Δ f = 10kHz

β = 2

F = 5 kHz

Δ f = 25 kHz

β = 5

Rys . 4 . Rozkład widma sygnału modulacji FSK przy różnych wartościach wskaźnika dewiacji - ∆f/ f_m .

Proporcje wysokości prążków w widmie mają charakter poglądowy oraz nie uwzględniono ich

polaryzacji.

Z kolei na rysunku 5 przedstawiono zmiany widma dla przypadku zmian częstotliwości modulującej , ale przy stałej wartości dewiacji. Widać, że dla tego przypadku widmo ma prawie stałą szerokość przy zmianach odległości między prążkami. Wynika stąd, że przy stosowaniu modulacji FM konieczne do przesłania widmo sygnału jest dużo szersze niż przy AM, natomiast nie wysyła się znaczącej wartości nośnej nie

F = 5 kHz

Δ f = 10 kHz

β = 2

F = 2 kHz

Δ f = 10 kHz

β = 5

F = 1 kHz

Δ f = 10 kHz

β = 10

Rys. 5. Zmiany widma sygnału FM przy założeniu stałej wartości dewiacji Δ f = 10 kHz oraz

zmiennej wartości częstotliwości modulującej.

związanej z przesyłaną informacją. Informacja związana jest ze wszystkimi prążkami powstającego widma, a amplituda prążka nośnej przyjmuje wartość proporcjonalną do J₀ ( β ). Wynika stąd, że w odniesieniu do modulacji częstotliwości nie można zastosować pojęcia górnej lub dolnej wstęgi bocznej. Należy ponadto pamiętać, że z racji przebiegu funkcji Bessela, widmo jest niesymetryczne względem prążka środkowego f_o .

2 . Zadania pomiarowe.

Układ pomiarowy jest przedstawiony na rysunku 6.

Rys.6. Schemat układu pomiarowego toru nadawczego radiotelefonu FM-302

W układzie pomiarowym pracuje morski radiotelefon UKF, typu FM - 302, analizator widma, miernik dewiacji, miernik zniekształceń oraz generator m.cz. i woltomierz. Radiotelefon jest obciążony sztucznym obciążeniem. Przed przystąpieniem do pomiarów należy sprawdzić, czy tor pomiarowy nie został w którymś miejscu rozłączony (szczególnie odłączenie sztucznego obciążenia !)

W ćwiczeniu należy wykonać następujące pomiary:

1. zmierzyć zależność dewiacji od poziomu sygnału wejściowego (m.cz.). W pomiarze należy ustawić

częstotliwość generatora m.cz. równą 1 kHz.

2. zmierzyć zależność dewiacji częstotliwości od częstotliwości generatora modulującego (m.cz.) . Po -

ziom napięcia ustawić stały, o wartości zapewniającej liniową modulację (określić na podstawie wyni -

ków pomiarów z punktu 1.)

3. zaobserwować zmiany widma wyjściowego w zależności od zmian wartości wskaźnika dewiacji. W

szczególności określić wartość wskaźnika dewiacji, dla których pojawiają się prążki boczne, znika

nośna, znikają prążki 1-go, 2-go i 3-go rzędu. Zanotować wartości parametrów modulacji i zare -

jestrować kształt widma dla poszczególnych przypadków (postępować wg wskazówek prowadzącego)

3. Opracowanie wyników

1. Wykonać wykresy zależności z punktów 1 i 2 .

2. Porównać wartości β otrzymane w punkcie 3 dla poszczególnych przypadków, z wartościami

wynikającymi z przebiegu funkcji Bessela, sformułować wnioski.

Uwaga! Opracowanie ćwiczenia (sprawozdanie) należy przygotować własnoręcznie na papierze formatu A4. W przypadku zamieszczania w sprawozdaniu zdjęć przebiegów z oscyloskopu należy dopilnować, aby były one poprawne technicznie i uzupełnione o odpowiedni układ współrzędnych!

4. Pytania kontrolne

1. Podać definicje podstawowych parametrów emisji FM

2. Scharakteryzować główne cechy emisji F3

3. Wyjaśnić zmiany widma emisji F3 w zależności od zmian warunków modulacji .

4. Na podstawie pomiarów wyjaśnić sposób definiowania szerokości pasma emisji FM

5. Wskazać wpływ układów korekty sygnału wejściowego w torze nadawczym (preemfaza, ograni -

czenie dynamiki, ograniczenie pasma m.cz.) na uzyskane wyniki pomiarów.

5. Literatura

1. A. Górski : „Okrętowe systemy i urządzenia nadawcze” - podręcznik

2. B.P. Lahti : „ Teoria sygnałów i układów telekomunikacyjnych - podręcznik

3. L. Knoch, T. Ekiert : „Modulacja i detekcja” - podręcznik

4. Notatki z wykładów !!

1

Miernik

zniekształceń

Miernik

dewiacji

Analizator

widma

Sztuczne

obciążenie

radiotelefon

FM- 302

Woltomierz

cyfrowy

Generator

M.Cz.

B ≈ 22kHz

B ≈ 24kHz

f_o

f

f_o

B ≈ 25kHz

f

f

f

f_o

f_o

f_o

f_o

f

f

2π f _o

C

D

---