POMIAR KĄTÓW POZIOMYCH METODĄ SCHREIBERA

1. Wprowadzenie

Metoda Schreibera jest stosowana przy pomiarze kątów poziomych w triangulacji głównej. Program obserwacji ułożony jest według następujących założeń:

1. kąty na danym stanowisku mierzone są we wszystkich kombinacjach,

2. pomiar każdego kąta wykonywany jest na innym miejscu limbusa,

3. waga kąta wyrównanego równa się 12, a kierunku wyrównanego 24.

Zakładając, że na stanowisku mamy n kierunków (rys. 1), to ilość wszystkich kątów możliwych do pomierzenia wyniesie:

Rys. 1 mierzonych kątów na danym stanowisku

przez liczbę kątów niezależnych, otrzymamy ilość przesunięć limbusa, czyli ilość grup kątów niezależnych G. Kąty niezależne i ilość grup kątów niezależnych określone są oddzielnie dla parzystej (rys. 2) i nieparzystej (rys. 3) liczby kierunków n (tabela 1).

Rys. 2, n - parzyste Rys. 3, n - nieparzyste

Tabela 1

	G	ilość kątów w grupie	δ
n - parzyste	n - 1
n - nieparzyste	n

Gdyby kąty każdej grupy były mierzone w jednym poczecie, to liczba przestawień limbusa byłaby równa liczbie grup G. Ponieważ każdy kąt mierzony jest w s poczetach, a między poczetami limbus powinien być przestawiony o kąt
lub
(gdzie m - ilość mikroskopów),

wszystkich przestawień limbusa będzie:

s (n - 1) - dla n parzystego

sn - dla n nieparzystego

Stąd otrzymujemy, że przy przejściu od pomiaru kątów jednej grupy do drugiej, limbus powinien być przestawiony o kąt δ (tabela 1).

Ilość poczetów oblicza się w założeniu, że waga kąta wyrównanego rówa się 12. Mierzymy
kątów, z których każdy należy pomierzyć w s poczetach, zatem zrealizujemy
pomiarów kątowych. Przy n kierunkach chcemy znać wartość (n - 1) kątów. Na jeden kąt wypada więc
:
pomiarów kątowych. Przyjmując jako wagę kąta liczbę proporcjonalną do liczby pomiarów danego kąta, otrzymamy wzór na wagę kąta:
, stąd też otrzymamy ilość poczetów:
.

Ilości poczetów przyjętych dla poszczególnych ilości kierunków mierzonych na stanowisku przedstawia tabela 2.

Tabela 2

n	2	3	4	5	6	7	8	9
s	12	8	6	5	4	4	3	3
p	12	12	12	12,5	12	14	12	13,5

W celu wyeliminowania błędów systematycznych mikrometru i runu należy także przy obserwacjach kąta w poczetach stosować przesunięcie mikrometru obliczone według wzoru:
,

gdzie:

w - wartość mikrometru, s - ilość poczetów.

Przy pomiarze kątów metodą Schreibera w triangulacji głównej teodolitem typu Wild T3 wymagane są następujące kryteria:

Różnica dwóch koicydencji dla jednego nacelowania ........ Różnica między półpoczetami danego poczetu ................. Różnica między poczetami danego kąta ............................ Różnica między średnimi wartościami kąta obliczonymi z pomiaru bezpośredniego oraz sumy lub różnicy średnich dwóch kątów: dla stacji 3 kierunkowej ........................................ dla stacji 4 i 5 kierunkowej ................................... dla stacji 6 i 7 kierunkowej ................................... 5. Odchylenie wartości kątów obliczonych z poszczególnych poczetów od wartości kątów wyrównanych na stanowisku

≤ 3^cc ≤ 12^cc ≤ 12^cc ≤ 5^cc ≤ 6^cc ≤ 7^cc ≤ 9^cc

2. Ułożenie programu obserwacji

Plan obserwacji dla instrumentu Wild T3 z podziałem stopniowym i gradowym należy ułożyć na podstawie poniższych tabeli, które przedstawiają wartości określające nastawienie limbusa dla pierwszego kierunku. W celu nastawienia limbusa przy pomiarze kąta 2,3, należy do odpowiedniej wartości podanej w tabeli dodać kąt 1,2 (określony z dokłanością 10^c lub 10^'), przy pomiarze kąta 3,4 dodać kąt 1,3, itp.

4 kierunki (n = 4)

σ = 30^o, δ =10^o, μ = 20”

Kąt	Poczety							Kierunek	2	3	4
		1	2	3	4	5	6		1	I	II	III
1,2	0^o	30^o	60^o	90^o	120^o	150^o		2		III	II
1,3	10	40	70	100	130	160		3			I
1,4	20	50	80	110	140	170
2,3	20	50	80	110	140	170
2,4	10	40	70	100	130	160
3,4	0	30	60	90	120	150
Nast. mikr.	10”	30”	50”	70”	90”	110”

σ = 33.3^g, δ =11.1^g, μ = 1.7^c

Kąt	Poczety
		1	2	3	4	5	6
1,2	0.0^g	33.3^g	66.7^g	100.0^g	133.3^g	166.7^g
1,3	11.1	44.4	77.8	111.1	144.4	177.8
1,4	22.2	55.6	88.9	122.2	155.6	188.9
2,3	22.2	55.6	88.9	122.2	155.6	188.9
2,4	11.1	44.4	77.8	111.1	144.4	177.8
3,4	0.0	33.3	66.7	100.0	133.3	166.7
Nast. mikr.	0.8^c	2.5^c	4.2^c	5.9^c	7.6^c	9.3^c

5 kierunków (n = 5)

σ = 36^o, δ =7^o12', μ = 24”

Kąt	Poczety						Kier.	2	3	4	5
		1	2	3	4	5		1	I	II	III	IV
1,2	0^o00'	36^o00'	72^o00'	108^o00'	144^o00'		2		III	IV	V
1,3	7 12	43 12	79 12	115 12	151 12		3			V	I
1,4	14 24	50 24	86 24	122 24	158 24		4				II
1,5	21 36	57 36	95 36	129 36	165 36
2,3	14 24	50 24	86 24	122 24	128 24
2,4	21 36	57 36	93 36	129 36	165 36
2,5	28 48	64 48	100 48	136 48	172 48
3,4	28 48	64 48	100 48	136 48	172 48
3,5	0 00	36 00	72 00	108 00	144 00
4,5	7 12	43 12	79 12	115 12	151 12
Nast. mikr.	12”	36”	60”	84”	108”

σ = 40^g, δ =8^g, μ = 2^c

Kąt	Poczety
		1	2	3	4	5
1,2	0^g	40^g	80^g	120^g	160^g
1,3	8	48	88	128	168
1,4	16	56	96	136	176
1,5	24	64	104	144	184
2,3	16	56	96	136	176
2,4	24	64	104	144	184
2,5	32	72	112	152	192
3,4	32	72	112	152	192
3,5	0	40	80	120	160
4,5	8	48	88	128	168
Nast. mikr.	1,0^c	3,0^c	5,0^c	7,0^c	9,0^c

3. Wyrównanie stacyjne i obliczenie błędów

Wyrównanie obserwacji wykonanych we wszystkich kombinacjach można przeprowadzić dla kierunków lub kątów metodą zawarunkowaną, lub metodą obserwacji pośrednich. Rozpatrzymy metodę pośrenią, wyrównując zaobserwowane kąty.

Dla stanowiska o 4 kierunkach otrzymamy 3 kąty wyrównane, które oznaczymy:

[1,2] [1,3] [1,4]

oraz 6 kątów obserwowanych jako wartości średnie z 6 poczetów:

(1,2) (1,3) (1,4)

(2,3) (2,4)

(3,4)

Określając poprawki do zaobserwowanych kątów przez:

v_1,2 v_1,3 v_1,4

v_2,3 v_2,4

v_3,4

Otrzymamy 6 następujących równań błędów:

v_1,2 = [1,2] - (1,2)

v_1,3 = [1,3] - (1,3)

v_1,4 = [1,4] - (1,4)

v_2,3 = - [1,2] + [1,3] - (2,3)

v_2,4 = - [1,2] + [1,4] - (2,4)

v_3,4 = - [1,3] + [1,4] - (3,4)

Współczynniki przy niewiadomych [1,2], [1,3] i [1,4] wynoszą +1 lub -1.

Otrzymujemy 3 równania normalne:

I 3 [1,2] -1 [1,3] -1 [1,4] = (1,2) - (2,3) - (2,4)

II -1 [1,2] +3 [1,3] -1 [1,4] = (1,3) + (2,3) - (3,4)

III -1 [1,2] -1 [1,3] +3 [1,4] = (1,4) + (2,4) + (3,4)

z których określimy niewiadome, czyli wartości kątów wyrównanych:

[1,2] =

[1,3] =

[1,4] =

Oznaczając:

[1,2] = [2] - [1]

[1,3] = [3] - [1]

[1,4] = [4] - [1]

otrzymamy wzory na kierunki wyrównane: [1], [2], [3] i [4]:

[1] =

[2] =

[3] =

[4] =

Z powyzszego wyrównania otrzymujemy niezależnie wyrównane kąty, jak również niezależnie wyrównane kierunki. Czyli wyniki z wyrównania stacyjnego mogą być włączane do wyrównania sieci triangulacyjnej i traktowane jako wielkości obserwowane.

Średni błąd pomiaru kąta pomierzonego w jednym poczecie można obliczyć kilkoma sposobami:

1. na podstawie różnic w - m_w

2. na podstawie różnic d - m_d

3. na podstawie różnic v - m_v

4. na podstawie różnic u - m_u

gdzie:

w - różnica między wartością kąta średniego z s poczetów a kątem zaobserwowanym w jednym poczecie: w_i,k = (i,k) - (i,k)_i;

d - różnica między półpoczetami pomiar kąta „tam” i „z powrotem”;

v - różnica między kątem wyrównanym a kątem średnim z poczetów:

v_i,k = [i,k] - (i,k);

u - różnica między kątem wyrównanym a kątem zaobserwowanym w jednym poczecie: u_i,k = [i,k] - (i,k)_i.

Dwie pierwsze grupy różnic są niezależne od kąta wyrównywanego, dwie następne są odchyłkami od kąta wyrównanego.

Wyprowadzenie wzorów dla obliczenia powyższych błędów opiera się na określeniu liczby spostrzeżeń nadliczbowych.

Określenie błędu m_w:

m_w =
.

Określenie błędu m_d:

m_d =
.

Określenie błędu m_v:

m_v =
.

Określenie błędu m_u:

m_u =
.

Średni błąd kąta wyrównanego m_o obliczamy ze wzoru:

m_o =
.

W założeniu metody Schreibera wynika, że waga p kąta wyrównanego wynosi 12, czyli p =
. Znając średni błąd kąta pomierzonego w jednym poczecie m_v z wagą p = 1, średni błąd kąta możemy również określić ze wzoru:

m_o =

3

Pomiar kątów poziomych metodą Schreibera

2

1

1

Natomiast kątów koniecznych do zaobserwowania będzie: n - 1.

Ilość nadliczbowych obserwacji otrzymamy z różnicy:
- (n-1) =

W celu spełnienia drugiego warunku, obserwacje należy przeprowadzić w taki sposób, aby na tym samym miejscu limbusa były mierzone kąty niezależne. Dzieląc liczbę

4

2

3

1

2

3

4

5

6

3

4

5

---