Politechnika Opolska

Wydział Edukacji Technicznej i Informatycznej

II LOG st. (sem. III) gr. proj. 1

Przedmiot: Podstawy stereomechaniki (projekt)

Projekt wytrzymałości belki drewnianej, wykonanej z drewna modrzewiowego.

Prowadzący: Wykonał:

dr hab. inż. Zdzisław Śloderbach ---

Opole 2010

Belki

Belki są to najprostsze układy prętowe. Jest to najstarszy, najprostszy układ prętowy, jednocześnie najczęściej spotykany w rozwiązaniach konstrukcyjnych. Najprostsza definicja belki brzmi, że jest to pręt właściwie podparty i obciążony siłami prostopadłymi lub ukośnymi do jego osi. Istnieją następujące typy belek:

-         belka swobodnie podparta bez wsporników,

-         belka swobodnie podparta ze wspornikami,

-         belka jednostronnie utwierdzona. (wspornik).

Belki swobodnie podparte spoczywają na podporach. Belki, które spoczywają na więcej niż dwóch podporach, i nie są nad tymi podporami rozcięte nazywają się belkami ciągłymi wieloprzęsłowymi. W zależności od przeznaczenia danego obiektu belki ciągłe mogą być kilku lub nawet kilkunastoprzęsłowe. Klasyczne belki ciągłe wieloprzęsłowe są układami statycznie niewyznaczalnymi - liczba reakcji na wielu podporach zawsze przewyższa liczbę równań równowagi - w rezultacie otrzymujemy zbyt wiele niewiadomych reakcji. Belkami „optycznie podobnymi” do klasycznych belek wieloprzęsłowych, statycznie wyznaczalnymi są tzw. belki Gerbera - są to belki wieloprzęsłowe przegubowe. Wystarczy do belek klasycznych dołożyć odpowiednią ilość przegubów - taką jaki jest stopień niewyznaczalności każdej z pokazanych belek:

ABY BELKĘ CIĄGŁĄ N-KROTNIE NIEWYZNACZALNĄ UCZYNIĆ WYZNACZALNĄ NALEŻY UMIEŚCIĆ W NIEJ N PRZEGUBÓW

 

W praktyce budowlanej belki wykonywane są z różnych materiałów (drewno, metale - głównie stal, materiały sztuczne). Często do konstruowania belek stosuje się beton - jednak zawsze w połączeniu z prętami ze stali, wytrzymałej zarówno na ściskanie jak i na rozciąganie (beton jest ok. 10-krotnie mniej wytrzymały na rozciąganie niż na ściskanie), umieszczanych obowiązkowo w strefie rozciąganej. Belki w ten sposób skonstruowane nazywamy belkami żelbetowymi.

Belki mogą być obciążone np. siłami skupionymi, momentami sił (gnącymi, skręcającymi, obrotowymi) oraz różnymi obciążeniami ( skupionymi, ciągłymi, powierzchniowymi).

Belkami są elementy takie jak: belki mostowe, elementy nośne mostów, belki stropowe - dwuteowniki przenoszące obciążenia stropu, osie wagonów, samochodów, czy np. wał łożyskowy w skrzyni biegów.

DANE DO PROJEKTU

Blat oraz podpory zostały wykonane z drewna świerkowego, którego wytrzymałość wynosi:

• na zginanie
  

• na ściskane
  

Oznaczenia:

- obciążenie ciągłe powierzchniowe
L - długość blatu

b - szerokość blatu

a - pole przekroju podpór

Zadania projektowe:

Zaprojektować belkę (półkę), która utrzyma obciążenie podane w zadaniu (
) , w tym celu musimy obliczyć:

• wytrzymałość blatu na zginanie- dobrać odpowiednią grubość drewna (g), żeby blat wytrzymał obciążenie podane w zadaniu.

• wytrzymałość podpór (nóg) na ściskanie- dobrać odpowiednią grubość nóg (a), aby zdołały unieść obciążenie
  . Przyjąć, że blat i podpory wykonane są z drewna modrzewiowego.

OBLICZENIA:

Aby blat wytrzymał dane obciążenie, powinien być spełniony warunek, że naprężenia zginające muszą być większe lub równe dopuszczalnym naprężeniom materiału z jakiego wykonany jest blat - w moim przypadku jest to drewno modrzewiowe.

Warunek wytrzymałości na zginanie ma postać:

gdzie:

-naprężenie zginające [MPa]

-moment gnący [Nm]

-wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie względem osi x,y,z[m³]

-naprężenia dopuszczalne (wytrzymałość) [MPa]

Aby obliczyć moment gnący maksymalny, gdy obciążona belka podparta jest na dwóch podporach stałych, trzeba wyznaczyć w nich reakcje.

Obliczenie reakcji Ra i Rb w podporach

Wykresy momentów gnących i sił tnących

q= 8
, l = 2m

Obliczanie momentu gnącego maksymalnego M_g(x)

Z tej zależności wynika, że:

- dla x=0 , otrzymamy Mg(x=0) = 0

- dla x=l , otrzymamy Mg(x=l) = 0

Wyciągam pochodną funkcji i przyrównuję ją do 0, żeby móc określić maksimum funkcji, czyli maksymalną wartość momentu gnącego.

Więc,

- dla x=
, otrzymamy Mg_(x=
) =

Mg_(x=
) =

=

=
= 4 kN
m = 4000 N
m

Obliczenie wskaźnika wytrzymałości na zginanie

Do obliczenia grubości blatu potrzebny jest również wskaźnik wytrzymałości na zginanie, który można odczytać z tablic, jest on liczbowo równy:

Po podstawieniu do wzoru na g wzorów na
i
otrzymujemy wzór na grubość blatu:

_g
k_g

_{g =}

_{g max} =

_{g max} =

k_g

Po przekształceniu powyższego wzoru otrzymujemy:

Obliczenie grubości blatu:

M_{g max} = 4000 N∙m = 4∙10⁶ N∙mm

b = 0,5 m = 500 mm = 5∙10² mm

k_g = 63 MPa = 63

28,14 mm ≈ 3 cm

Warunek wytrzymałości na zginanie:

_{g max}
k_g [MPa]

_{g max} =

60,62

63

Maksymalne naprężenie zginające jest mniejsze od dopuszczalnego, więc oznacza to, że warunek wytrzymałości materiału na zginanie jest spełniony. Blat o grubości co najmniej 28,14mm wytrzyma dane obciążenie.

Dla bezpieczeństwa przyjmuję, że grubość blatu g = 4 cm aby blat był w stanie wytrzymać większe obciążenie.

Siły tnące w blacie

Siły tnące wyrażone są jako pochodna momentu gnącego:

Można zauważyć, że:

8000N

-8000N

Rozkład sił tnących w belce podpartej dwoma podporami stałymi przedstawiony jest jako drugi rysunek na str. 5

W przypadku, gdy na belkę podparta dwiema podporami stałymi położymy obciążenie stałe, to blat będzie zginany, a nogi półki będą ściskane.

Warunek wytrzymałości na ściskanie

A=a^a

gdzie:

-naprężenie ściskające [Pa]

-ciężar zastępczy [N]

-pole przekroju podpory [m²]

-grubość boku podpory [m]

-naprężenie dopuszczalne na ściskanie [Pa]

Z racji tego, że belka rozpatrywana w zadaniu posiada cztery podpory, wzór przybierze postać:

Po przekształceniu wzoru otrzymujemy wzór na grubość boku podpory a.

Q = q_p ∙ l ∙ b = 16∙10³N = 16kN = 1,6T

K_c = 52 MPa = 52

Sprawdzenie warunku wytrzymałości na ściskanie nóg

Warunek wytrzymałości:

_c
k_g [MPa]

49,4

_c (50MPa)
k_g (52MPa)

Maksymalne naprężenie ściskające
_c jest mniejsze od dopuszczalnego naprężenia ściskającego k_c, oznacza to, że warunek wytrzymałości materiału na ściskanie jest spełniony. Z tego wynika, że nogi o przekroju kwadratowym i grubości a, równe co najmniej 9mm wytrzyma dane obciążenie q_p = 1,6 tony. Dla bezpieczeństwa przyjmuję grubość nóg a = 5cm. Dzięki temu będzie możliwość położenia ciężaru większego niż 1600kg bez przykrych konsekwencji. Należy również zwrócić uwagę na fakt, że nogi ściskane pod wpływem obciążenia ulegną wypatrzeniu, a im grubsze nogi, tym mniejsze ryzyko uszkodzenia (złamania) nogi. Do granicy bezpieczeństwa należy uwzględnić również obciążenie samego blatu działającego na nogi. Więc podpory muszą wytrzymać zarówno obciążenie blatu jak i postawionego na nim np. towaru.

PODSUMOWANIE

Wysokość nóg półki ustalam na 50 cm z uwagi na fakt, że żeby położyć na blat 1,6 tony towaru, biorąc za przykład worki z cementem, każdy po 50kg (32 worki), to trzeba ułożyć 6 warstw po 5 worków każda i 2 worki w 7-mej warstwie. 50 cm przyjąłem dlatego, aby łatwiej było sięgnąć ostatnie partie worków jak i podnieść te z samego dołu.

Grubość blatu g musi być równa lub większa:

jednak ze względu na to, że chwilowe obciążenia działające na blat mogą być większe (np. gdy będziemy kładli ciężar na półce) przyjmuję, że:

grubość podpór a musi być równa lub większa:

jednak ze względu na dość dużą długość nóg, która wynosi 50 cm, istnieje możliwość wyboczenia nóg które może prowadzić do ich złamania, dlatego przyjmuje, że:

Na rysunku, na następnej stronie, umieszczam ostateczny rysunek półki wraz z wszystkimi wymiarami potrzebnymi do jej skonstruowania.

Projekt i wymiary belki drewnianej, wykonanej z drewna modrzewiowego.

*Wszystkie wymiary podane są w [cm]

Q

B

A

y

x

x

L

R_A

R_B

T

0

l

M_g

A

B

L

L/2

0

1

---