Iloczyn skalarny i wektorowy - przykłady wielkości skalarnych i wektorowych W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:  - wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami) - wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako strzałki)

Skalar jest to wielkość mechaniczna, którą można jednoznacznie określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej. Wektor jest to wielkość mechaniczna, którą można przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka mającego określony kierunek i zwrot. Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła, prędkość, przyspieszenie, np. siła działa w jakimś kierunku, prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu, rzut prędkości na wybrany kierunek, różnica temperatur, temperatura w °C, ładunek.
Skalary stosowane są do opisu wielkości bezkierunkowych - np. czas, temperatura, masa, czas, praca, energia, ciśnienie, gęstość.Wektor jest to wielkość posiadająca:- kierunek wektora stanowi prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora
- zwrot wektora określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest początkiem, a które końcem wektora.
- punkt przyłożenia , to nic innego tylko obiekt, do którego odnosi się nasz wektor.
- wartość symbolizuje intensywność wielkości, którą określa wektor W rzeczywistości, różnica między skalarami, a wektorami jest niekiedy dość subtelna. Łatwo jest określić, że coś jest wektorem wtedy, gdy ma więcej niż jeden wymiar. Jednak wielkość jednowymiarowa pod pewnym względami może być uznana zarówno za skalar jak i za wektor.  W sumie możemy powiedzieć, że jeżeli wektor pozbawimy kierunku i zwrotu, stanie się on skalarem.  Mnożenie skalarne wektorów Mnożenie skalarne wektorów jest działaniem na dwóch wektorach będących pod pewnym kątem do siebie.

Wynikiem mnożenia skalarnego jest liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego.
Mnożenie skalarne wektorów - przypadki szczególne

Iloczyn skalarny stanie się równy zero, gdy zachodzi przynajmniej jeden z przypadków

- którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy, 

- wektory są do siebie prostopadłe.

Jeżeli wektory wyjściowe są równoległe, to iloczyn skalarny jest równy po prostu iloczynowi ich długości. 

Dowolny wektor pomnożony skalarnie przez samego siebie da w wyniku kwadrat swojej wartości:

Interpretacja mnożenia skalarnego Iloczyn skalarny można zinterpretować także jako wartość iloczynu wartości wektorów przypadającą na ten sam kierunek. Inaczej mówiąc mnożąc przez siebie skalarnie wektory siły i długości dowiemy się pośrednio jak bardzo siła działa w kierunku wektora długości.
Jeszcze inaczej iloczyn skalarny można zinterpretować, jako wartość równą iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor.

Różniczka zupełna - zastosowanie w rachunku błędu Różniczka, różniczka funkcji y = f(x), jedno z najważniejszych pojęć rachunku różniczkowego i całkowego. Różniczka jest to przyrost dy zmiennej zależnej y lub przyrost df funkcji f(x), przy czym f(x) jest funkcją ciągłą oraz w każdym punkcie otoczenia punktu x_o istnieje jej pochodna. Różniczka równa jest iloczynowi pochodnej tej funkcji w danym punkcie x_o i przyrostu zmiennej niezależnej x - tj.
dy = df(x_o) = f '(x_o)dx. Różniczka zupełna, rozszerzenie pojęcia różniczki dla funkcji wielu zmiennych. Jeśli funkcją tą jest U(x₁, x₂,. .., x_n), i istnieją wszystkie pochodne cząstkowe
, gdzie i = 1,. .., n, to różniczką zupełną funkcji U nazywa się wyrażenie

Fizyczne zastosowania rachunku różniczkowego

Prędkość chwilowa jest pochodną drogi względem czasu

           
      
Przyspieszenie chwilowe jest pochodną prędkości względem czasu
                 

Ruch punktu materialnego

Punktem materialnym umownie nazywa się ciało posiadające masę, ale niemające objętości. Zatem ciało takie nie może obraca się wokół własnej osi ani wykonywać ruchu drgającego.

W opisie ruchu punku materialnego pojawiają się następujące wielkości: przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.

Prędkość określa szybkość zmiany położenia punku materialnego w danym czasie.

Prędkość jest wielkością wektorową. Wyróżnia się prędkość średnią i prędkość chwilową.

Prędkość średnia wyrażona jest wzorem:

Gdzie
to wektor przemieszczenia, a
to przedział czasu.

Jeżeli ruch punktu materialnego odbywa się w ten sposób, że jego prędkość średnia w różnych przedziałach czasu nie je

st jednakowa, wtedy wprowadza się pojęcie prędkości chwilowej:

Gdy prędkość punktu zmienia się jednostajnie w czasie to porusza się ono ze stałym przyspieszeniem. Jeśli jest ono większe od zera to jest to ruch jednostajnie przyspieszony, a jeśli mniejsze to jednostajnie opóźniony.

Przyspieszenie można zdefiniować jako szybkość zmian prędkości ciała w czasie.

Przyspieszenie średnie można wyrazić wzorem:

I podobnie jak w przypadku prędkości, jeśli przyspieszenie zmienia się w czasie to konieczne jest wprowadzenie przyspieszenia chwilowego:

Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnie zmiennym to prędkość można zapisać jako:

Natomiast wektor położenia będzie opisany następującym równaniem:

W powyższych wzorach v
to prędkość początkowa, a r
to początkowe położenie.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu punku materialnego przyjmuje postać:

Ruch jednostajny po okręgu

Jeżeli prędkość kątowa punktu poruszającego się po okręgu nie zmienia się, to ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.

W ruchu jednostajnym po okręgu
ω  = const

oraz 

v = const (prędkość liniowa jest stała), a także
|v| = const.

Przykładem ruchu jednostajnego po okręgu może być ruch paproszka leżącego na obracającej się płycie gramofonowej, lub ruch obiektu leżącego na powierzchni obserwowany z bieguna ziemskiego w układzie nieobracającym się wraz z Ziemią (np. wtedy, gdy jedna oś układu odniesienia cały czas jest zwrócona na Słońce lub odległą gwiazdę).

Więcej o ruchu jednostajnym po okręgu

W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie (jako wektor) nie jest równe zero, mimo że wartość prędkości nie zmienia się. Z dwóch składowych przyspieszenia: stycznej i normalnej tylko jedna ma wartość zero.

- składowa styczna (zmieniająca wartość prędkości) ma wartość zero

- składowa normalna (zmieniająca kierunek prędkości) jest niezerowa

Jest tak, ponieważ kierunek prędkości ulega ciągłej zmianie - prędkość musi być ciągle zakrzywiana do środka okręgu.

Dlatego z ruchem jednostajnym po okręgu związana jest stała wartość przyspieszenia nazywanego przyspieszeniem dośrodkowym.

Pęd, zasada zachowania pędu Wzór na pęd

Pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości ciała.

Pęd jest wielkością wektorową.
Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości.

Jednostka pędu

Jednostką pędu w układzie SI jest: kilogram razy metr na sekundę.

[p] = kg • m/s

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania) zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

Czyli, zapisując to wzorami:

jeżeli F = 0, to p = const

Lub jeszcze inaczej:

Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z zewnątrz układu.

Prosty przykład zastosowania pojęcia pędu i zasady zachowania pędu

Jeżeli, stojąc sobie na bardzo śliskim lodzie i odepchniemy od siebie stojące też na tym lodzie sanki, to uzyskają one pęd w jedna stronę, ale my z kolei też zaczniemy ślizgać się po lodzie w kierunku przeciwnym. Opisany przykład ilustruje, tzw. zasadę odrzutu. 

Pęd niesiony przez sanki (w prawo) jest równy, co do wartości pędowi odbieranemu przez człowieka (w lewo).

Wynika stąd też, że zasadę zachowania pędu powinniśmy raczej zapisać wzorem ze strzałkami nad wektorami pędu i siły:

Praca, moc mechaniczna (różne przypadki)

Praca jest wielkością skalarną. Oznaczamy ją najczęściej literą W (z angielskiego Work - praca), rzadziej z łaciny L (Labor - praca). 

Nazywamy iloczyn skalarny siły F działającej na ciało i wektora przemieszczenia s, jaki ta siła wywołała:

Gdy działająca siła jest zgodna z kierunkiem przemieszczenia, cosinus we wzorze =1 i wzór można zapisać po prostu jako

F - siła, s - przesunięcie, W - praca

Gdy siła działa prostopadle do kierunku przemieszczenia, jej praca wynosi 0.

Jednostka pracy 

Jednostką pracy (tak jak i jednostką energii) jest dżul - J

1 J = 1 N · m = 1 kg · m² / s² = 1 kg · m²  · s^-2 

Praca = Siła · Przesunięcie_w kierunku siły

Moc mechaniczna

Moc mechaniczna jest pochodną pracy mechanicznej po czasie, czyli stosunkiem pracy mechanicznej do czasu, w jakim została ona wykonana. Jeszcze inaczej można powiedzieć, że jest ona strumieniem energii mechanicznej.

Moc mechaniczna ma podstawowe znaczenie w maszynoznawstwie i w energetyce. Jest ona jedną z postaci mocy (strumienia energii) w procesach konwersji energii, np. w elektrowniach, siłowniach i silnikach cieplnych, elektrowniach i siłowniach wiatrowych i wodnych, itp.

Zasady dynamiki Newtona, siły bezwładności

Bo w skrócie można opisać wzajemne usytuowanie zasad tak:
- 1 - sza zasada dynamiki formułuje niezbędne warunki, w których możliwe jest poprawne sformułowanie 2 giej zasady dynamiki Newtona.
- 2 - ga zasada dynamiki jest celem całej owej konstrukcji z tymi zasadami - daje nam ona możliwość przewidywania, jaki będzie ruch ciał w ustalonych warunkach. 
- 3 - cia zasada dynamiki Newtona jest dodatkiem do pierwszych dwóch zasad, umożliwiającym rozpatrywanie nie tylko pojedynczych ciał i działających na nie sił, ale całych układów oddziaływujących obiektów. 

I zasada dynamiki
I zasada dynamiki może być (jest) formułowana na kilka sposobów. Najczęściej ma ona postać:

Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. 

Bardziej poprawnym (od strony zwrócenia uwagi na istotę tego prawa) sformułowaniem jest:

Istnieje taki układ odniesienia, w którym 
- jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. 

Druga zasada dynamiki Newtona

Drugą zasadę dynamiki można właściwie traktować też jako sposób na zdefiniowanie siły. Treść drugiej zasady dynamiki brzmi:
Przyspieszenie, jakie nadaje niezrównoważona siła F  ciału o masie m jest wprost proporcjonalne do tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Ponieważ zarówno przyspieszenie jak i prędkość są wielkościami wektorowymi, to precyzyjniej byłoby przedstawić II zasadę dynamiki w postaci wzoru ze strzałkami nad symbolem siły i symbolem przyspieszenia.
Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora siły.

Trzecia zasada dynamiki Newtona
Trzecia zasada dynamiki mówi o wzajemności oddziaływań. Jest ona często nazywana zasadą akcji i reakcji. 

Sformułowanie III zasady dynamiki:

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F_AB, to ciało B działa na ciało A siłą F_BA, o takim samym kierunku i wartości jak F_AB, ale przeciwnym zwrocie.

Da się to zapisać wzorem:

Z III zasady dynamiki wynika, że siły zawsze występują parami (wyjątkiem są siły bezwładności, ale one nie są prawdziwymi siłami, tylko sztucznie wprowadzoną do obliczeń poprawką ułatwiającą stosowanie zasad dynamiki w pewnych sytuacjach).

Trzecia zasada dynamiki wynika i jest ściśle powiązana z zasadą zachowania pędu. 

Siła bezwładności

Siła bezwładności nie jest zwykłą siłą. Właściwie można by nawet powiedzieć, że w ogóle nie jest siłą. Bo  nie wynika ona z żadnego oddziaływania między ciałami (a przecież definiowaliśmy siłę jako miarę oddziaływania). Jeszcze inaczej można by powiedzieć, że jest ona siłą pozorną.

Siła bezwładności jest efektem wynikającym z samego przyspieszenia układu odniesienia.

Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem przyspieszonym względem otoczenia, wtedy z jego poziomu ciała w tym otoczeniu też poruszają się ruchem przyspieszonym (tylko skierowanym przeciwnie). Wygląda to tak samo jakby działała na nie jakaś siła. I właśnie sztucznie przypisana temu ruchowi siła jest siłą bezwładności.

Jak z tego wynika:
Siła bezwładności pojawia się tylko w nieinercjalnych układach odniesienia.

Wzór na siłę bezwładności

Siła bezwładności jest równa:

Minus we wzorze bierze się z faktu, że siła bezwładności działa przeciwnie do przyspieszenia układu nieinercjalnego.

Przykłady siły bezwładności

Siły bezwładności pojawiają się w różnych sytuacjach. Oto przykłady:
- Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel
- Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód (lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca pasażerem do przodu
- Siła odśrodkowa - gdy siedzimy na wirującej karuzeli siła bezwładności (nazywana w tym przypadku "siłą odśrodkową") wypycha nas i przedmioty przez nas trzymane na zewnątrz okręgu.
- Siła Coriolisa - siła ta jest nieco podobna do siły odśrodkowej i pojawia się, gdy opisujemy ruch ciała z poziomu obracającego się układu odniesienia

Siła bezwładności - podsumowanie

Siła bezwładności pojawia się zawsze, gdy przechodzimy z opisem do układu nieinercjalnego. Jest ona efektem ruchu samego układu odniesienia i, w odróżnieniu od pozostałych sił, nie wynika z jakiegoś nowego oddziaływania. Siła bezwładności dołączona do równania II zasady dynamiki powoduje zmianę opisu sytuacji - o ile w układzie inercjalnym ciało widziane było jako pozostające w ruchu, to w układzie nieinercjalnym będzie ono w spoczynku.

Drgania harmoniczne

Szczególnym rodzajem drgań są drgania harmoniczne, tj. okresowe, o stałej amplitudzie, opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane do opisu wielu drgań rzeczywistych jako ich przybliżenie (lub poprzez rozkład na nie).

Najprostsze równanie opisujące drgania harmoniczne (dla ciężarka zawieszonego na sprężynie) ma postać:

mx'' (t) + kx(t) = 0.

Rozwiązaniem jest funkcja

x(t)=Asinωt+ϕ₀,

gdzie A - amplituda drgań, ω = 2πν = (k/m)^0.5, ω - częstość kołowa (ν - częstość drgań), k - współczynnik sprężystości, m - masa ciała, ϕ₀ - faza początkowa. Ze względu na fizykę procesów wyróżnia się drgania mechaniczne i elektryczne.

Drgania tłumione

Amplituda drgań tłumionych maleje na skutek oporów ośrodka, w którym zachodzą drgania.
Drgania tłumione opisuje równanie:

,
gdzie: δ - współczynnik tłumienia. Zależność wychylenia x od czasu dla drgań tłumionych przedstawiona została na rysunku:

Równanie płaskiej fali harmonicznej - wielkości opisujące ruch falowy

Najprostsza fala to tzw. fala harmoniczna płaska. Drgania dla takiej fali są sinusoidalną funkcją czasu - inaczej mówiąc: każdy punkt ośrodka wykonuje drgania harmoniczne (sinusoidalne). Dla takiej fali można dobrze określić dwa ważne parametry:
- długość fali  λ
- okres fali T, lub częstotliwość fali f

Długość fali

Długość fali widoczna jest najlepiej wtedy, gdy na chwilę "zatrzymamy" falę w jej ruchu - sfotografujemy ją.

Wtedy długością będzie najmniejsza odległość między dwoma punktami fali, różniącymi się o dokładnie jeden cykl tych drgań - np. pomiędzy dwoma najbliższymi szczytami fali, ew. "dołami" fali. Może to być też odległość między punktami, które akurat nie ulegają w danej chwili wychyleniu. 

Okres fali

Okres fali jest wielkością, którą najlepiej widać, gdy skupimy się na drganiu jednego konkretnego punktu ośrodka. Na rysunku niżej czerwony koralik jest pobudzany przez falę do drgań  góra - dół. Okres tych drgań wynosi 1,5 s, co oznacza, że czas, po jakim koralik wykona jedno pełne drganie wynosi właśnie 1,5 s.

Okresem fali nazywamy czas, w którym punkt ośrodka wykonuje jedno pełne drganie.Okres drgań wyrażamy w sekundach. 

Częstotliwość drgań fali

Częstotliwość drgań jest ściśle związana z okresem. 

Częstotliwość równa jest ilości drgań, jakie wykonują punkty ośrodka w ciągu jednostki czasu (najczęściej 1s).

Częstotliwość jest odwrotnością okresu:

Równanie harmonicznej fali płaskiej
s = A sin (ω t - k x + φ₀)

λ - długość fali (w układzie SI w metrach - m)
φ₀ - faza początkowa (wielkość niemianowana)
A - amplituda fali (jednostka tej wielkości zależy od rodzaju fali i od sposobu jej opisu -np. dla fal dźwiękowych może to być ciśnienie akustyczne, i wtedy wyraża się w paskalach)
ω  - częstość kołowa 
(jednostka w układzie SI: 1/s = s^-1)

ω = 2 π f  

T - okres drgań
(jednostka w układzie SI: sekunda - s)
f - częstotliwość 
(jednostka w układzie SI:  Hz = 1/s = s^-1)
k - liczba falowa
(jednostka w układzie SI: 1/m = m^-1)

Stosuje się też pojęcie "wektora falowego" - dla fali rozchodzącej się w trzech wymiarach. Wektor falowy ma kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali i wartość daną przez k. 

Równanie fali łączy w jedno dwa wymiary związane z ruchem falowym
- zmienność w czasie (w sinusie człon ω t )
- zmienność w przestrzeni (w sinusie człon k x )

---