Wstęp do ćwiczeń

:

Zadanie nr 1

1. Metoda najmniejszych kwadratów.
   Metoda najmniejszych kwadratów, metoda służąca do wyrównywania empirycznych szeregów statystycznych. Liczby występujące w takich szeregach są z reguły obarczane błędami losowymi. Przy pomocy metody najmniejszych kwadratów szeregi statystyczne oczyszcza się z błędów losowych.

Mając szereg punktów empirycznych (x₁,y₁), (x₂,y₂),....., (x_n,y_n) należy a priori ustalić postać funkcji Y=f(x,a,b,c,...), a następnie na podstawie punktów empirycznych tak dobrać wartości parametrów a,b,c..., aby funkcja Y=f(x,a,b,c,...) możliwie najlepiej "pasowała" do zaobserwowanych punktów (x_i,y_i).

Rozważania oparte na

2. Estymacja

Estymacją nazywamy szacowanie wartości parametrów, ewentualnie postaci rozkładu w populacji generalnej, na podstawie obserwacji uzyskanych w próbie losowej.

Błąd estymacji

Równanie ma postać ŷ_n+1 = f(x₊₁) ± E

Zadanie nr 1

Prognozowanie popytu

1. Prognozowanie - to przewidywanie przyszłości za pomocą narzędzi naukowych.

2. Prognoza - wynik prognozowania.

3. Dwa rodzaje prognoz :

4. - wygasłe ( gdy już ten czas minął, gdy ten popyt już jest nieaktualny)

5. - niewygasłe

Tydzień	I	II	III	IV	V	VI	VII
popyt	2	4	8	5	6	7	?

Modele:

1. Model naiwny przykład szeregu czasowego

Pn+1 = Pn

Przykład:

Pn+1 = 7

( ostatnia dana = następny popyt)

2. Model średniej arytmetycznej

P1 + P2 + P3 +…+ Pn

PSA = ----------------------------

n

Przykład :

2 + 4 + 8 + 5 + 6 + 7

PSA = ---------------------------- = 5,3

6

3. Model średniej ruchomej

( bierze się dany wycinek danych, najlepiej najświeższy np. 3 ostatnie i dzieli się ich sumę przez ich ilość)

5 + 6 + 7

PSR = ----------------- = 18/3 = 6

3

4. Model średniej ruchomej ważonej

( Nadajemy popytom wartości (wagi), najświeższe popyty mają największe wagi)

P1 x W1 + P2 x W2 + P3 x W3 + … + Pn x Wn

PRW = -----------------------------------------------------------

W1 + W2 +W3 + … + Wn

Przykład :

Tydzień	I	II	III	IV	V	VI	VII
popyt	2	4	8	5	6	7	?

Wagi : 1 2 3 4

1 x 8 + 2 x 5 + 3 x 6 = 4 x 7 64

PRW = ------------------------------------- = ------ = 6,4

1 + 2 + 3 + 4 10

Ćw. 1 Dokonaj prognozowanie czterema modelami na podstawie następującego szeregu czasowego. Do modelu średniej ruchomej przyjmij dane od 5- 10 tygodnia.

W modelu średniej ruchomej ważonej wagami mają być liczby od 1- 6 .

Tydzień	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV
popyt	48	37	33	44	48	49	44	43	36	44	44	46	41	??

1 )

Pn+1 = 41

2)

PSA = 557 / 13 = 42,8 ~ 43

3)

PSR = 264 / 6 = 44

4)

6 x 41 + 5 x 46 + 4 x 44 + 3 x 44 + 2 x 36 + 1 x 43

PRW = ------------------------------------------------------------- = 899 / 21 = 42,8 ~ 43

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Ćw. 2

Tydzień	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV
Popyt	0	0	2	0	1	0	1	0	2	0	0	0	0

Pn+1 = 0

PSA = 6 / 13 = 0,46 ~ 1

PSR = 4/6 = 0,6 ~ 1

PRW = 4/21 = 0,19 ~ 1

Wyróżniamy następujące rodzaje prognozowania :

A ) ilościowe - czyli takie, którym możemy wyrazić w sposób matematyczny

B ) jakościowe - czyli takie , którym możemy wyrazić w sposób opisowy.

Wyróżniamy następujące prognozy:

- krótkookresowe - wychodzą wówczas , gdy zachodzą zmiany ilościowe.

-średniookresowe - występują wówczas , gdy zachodzą zmiany ilościowe i jakościowe.

- długookresowe - występują wówczas, gdy zachodzą zmiany jakościowe.

Ocena jakości prognoz.

1. Do oceny pojedynczej prognozy stosujemy następujące narzędzia :

a) bezwzględny błąd prognozy

_

e= P - P

P - popyt rzeczywisty

_

P - prognoza popytu

np.

e = 51 - 44 ,9

e= 6,1

b) względny błąd prognozy

_

P - P

e= ---------

P

40 - 44,9

e= ------------ = ( w przybliżeniu) - 0,12

40

2. Do oceny trafności prognozy stosujemy następujące narzędzia

a) średni błąd prognozy

_ _ _ _

_ (P1 - P1) + (P2 - P2) + (P3 - P3) + … + (Pn - Pn)

e = -------------------------------------------------------------

n

( dotyczy , gdy mamy więcej prognoz)

b ) średni bezwzględny błąd prognozy

_ _ _ _

_ |P1 - P1| + |P2 - P2| + |P3 - P3| + … + |Pn - Pn|

d = -------------------------------------------------------------

n

c) średni względny błąd prognozy

_ _ _ _

| P1 - P1| | P2 - P2| |P3 - P3| |Pn - Pn|

----------- + ----------- + ---------- + + ----------

_ | P1 | | P2 | | P3 | … | Pn |

q = ---------------------------------------------------------------

n

d) standardowy błąd prognozy

Miesiąc	Prognoza eksperta A	Prognoza eksperta B	Popyt rzeczywisty	Bezwzględny błąd prognozy eksperta A	Bezwzględny błąd prognozy eksperta B	Względny błąd prognozy eksperta A	Względny błąd prognozy eksperta B
1.	112	98	100	-12	2	- 0,12	0,02
2.	105	108	110	5	2	0,045	0,018
3.	107	115	110	3	-5	0,027	-0,045
4.	115	118	120	5	2	0,041	0,016
5.	108	102	100	-8	-2	-0,08	-0,02
6.	105	95	90	-15	-5	-0,16	-0,05
7.	106	110	110	4	0	0,036	0
8.	115	115	120	5	5	0,041	0,041
9.	123	125	130	7	5	0,053	0,038
10.	110	112	110	0	-2	0	-0,018
11.	110	112	110	0	-2	0	-0,018
12.	114	120	120	6	0	0,05	0

a )średni błąd prognozy

ekspert A

_ -12 + 5 + 3 +(-8) + (-15) + 4 + 5 +7 + 6

e = -------------------------------------------------- = 0/ 12 = 0

12

ekspert B

_ 4 - 5 + 2 - 2 - 5 + 10 - 4 + 10

e = -------------------------------------- = 0/ 12 = 0

12

b ) średni bezwzględny błąd prognozy

ekspert A

_ 12 + 5 + 3 + 5 + 8 + 15 + 4 + 5 + 7 + 6

d = ----------------------------------------------- = 5,8

12

ekspert B

_ 2 + 2 + 5 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 0

d = ------------------------------------------------ = 32/12 = 2,6

12

c ) średni względny błąd prognozy

ekspert A

_ 0,653

q = ----- = 0,054

12

ekspert B

_ 0,284

q = ------ = 0,023

12

d ) standardowy błąd prognozy

ekspert A

ekspert B

str. 6

---