Jakub Sito dr J. Girulska
II rok fizyki
czwartek 15:30
Ćwiczenie nr 59
REZONANS ELEKTROMAGNETYCZNY
I Zagadnienia teoretyczne.
Prądem zmiennym nazywamy prąd o zmieniającym się w czasie natężeniu. W przypadku, gdy średnia w czasie wartość natężenia prądu jest równa zeru, prąd nazywamy przemiennym. W praktyce najczęściej stosujemy prąd o natężeniu i napięciu zmieniającym się sinusoidalnie
Wielkości Ic, Uc nazywamy odpowiednio natężeniem i napięcim chwilowym, a wartościami szczytowymi tych wielkości I0, U0 ;
nazywamy częstością kołową lub pulsacją, ν=1/T - częstością lub częstotliwością, T - okresem, ωt - argumentem, ϕ - fazą początkową.
Jeżeli do zacisków układu (ryc.1) przyłożymy siłę elektromotoryczną (SEM) E=E0sinωt, to natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie związane z SEM następującą zależnością (1)
w której R - opór omowy, L - indukcyjność, C - pojemność, U różnica potencjałów na okładkach kondensatora, Es - siła elektromotoryczna samoindukcji cewki równa
Po pdstawieniu do (1) E = E0sinωt oraz Es=-L dI/dt otrzymamy
a następnie różniczkując po czasie (2):
Uwzględniając, że napięcie na okładkach kondensatora U związane jest z ładunkiem Q, znajdującym się na tych okładkach, zależnością
oraz, że
można zapisać
Podstawiając to do (2) otrzymamy równanie różniczkowe (3):
rozwiązania którego będziemy oczekiwać w postaci (4):
Podstawiając (3) i (4) i zakładając, że otrzymane w wyniku tego podstawienia równanie powinno być spełnione w dowolnej chwili czasu, otrzymamy dwa równania:
Podnosząc obustronnie powyższe równania do kwadratu i dodając stronami otrzymamy (5)
Wprowadzając
przy czym ZL i ZC nazywamy odpowiednio oporem indukcujnym i pojemnościowym, otrzymamy
Wielkość
nazywa się zawadą i reprezentuje sobą oporność (pozorną), jaką stawia prądowi zmiennemu połączona w szereg indukcyjność, pojemność i oporność omowa.
Ostatecznie równanie (5) można zapisać w postaci
Równanie to przedstawia prawo Ohma dla prądu zmiennego.
Na przykładzie zostanie wyrażone prawo Kirchhoffa w odniesieniu do prądów, zwane zwykle pierwszym prawem Kirchhoffa oraz prawo Kirchhoffa w odniesieniu do napięć, zwane zwykle drugim prawem Kirchhoffa.
W odniesieniu do obwodu prądu sinusoidalnego przedstawionego na rys.2 prawo Kirchhoffa względem prądów ma postać
czyli suma prądów skutecznych wpływających do węzła równa się sumie prądów skutecznych odpływających z węzła.
W odniesieniu do obwodu prądu sinusoidalnego przedstawionego na rys.3 prawo Kirchhoffa względem napięć ma postać
czyli suma wartości skutecznej napięć źródłowych (sił elektromotorycznych) występujących w oczku równa się sumie skutecznej napięć odbiorników wszystkich gałęzi wchodzących w skład oczka.
Obwód elektryczny składający się z kondensatora i cewki indukcyjnej (rys.4) nazywa się obwodem drgań, gdyż rozładowanie kondensatora przez cewkę ma charakter oscylacyjny. Jeżeli kondensator ma pojemność C faradów, a współczynnik samoindukcji cewki wynosi L henrów, to częstość drgań własnych f takiego obwodu wyraża wzór Thomsona:
|
|
|
Krzywa rezonansu - wykres przedstawiający zależność amplitudy drgań w obwodzie od częstotliwości generatora.
Rezonans - zjawisko pobudzania układu drgającego do drgań, których amplituda i energia mogą być nieporównywalnie duże w stosunku do czynnika wymuszającego drgania, gdy częstotliwość wymuszająca jest zbliżona doczęstotliwości własnej układu.
Współczynnik dobroci oscylatora:
II Pomiary
Na samym początku zmontowaliśmy szeregowy obwód rezonansowy dla indukcyjności cewki L=0,05 H. Zmieniając częstotliwość generatora znaleźliśmy taką, przy której wskazania woltomierza były najmniejsze. Następnie badaliśmy zależność napięcia i natężenia prądu przy różnych częstotliwościach. Podobny pomiar przeprowadziliśmy dla układu przy indukcyjności L=0,01 H. Następnie zmontowaliśmy równoległy obwód rezonansowy według podanego schematu dla indukcyjności L=0,007 H. Znaleźliśmy częstotliwość, przy której wskazania woltomierza były największe i analogicznie do poprzedniego układu - badaliśmy zależność napięcia i natężenia prądu przy różnych częstościach. Identyczny pomiar przeprowadziliśmy przy indukcyjności L=0,002H. Po przeprowadzeniu ćwiczenia zmierzyliśmy wartość oporu indukcyjności użytej w ćwiczeniu.
III Opracowanie wyników pomiaru
Sporządziłem wykresy zależności zawady od częstości prądu zarówno dla układu równoległego, jak i dla układu szeregowego.
Na jednym układzie współrzędnych znalazły się dwa wykresy - dla różnych indukcyjności użytych w doświadczeniu.
Zawadę obliczyłem ze wzoru:
szeregowy obwód rezonansowy (1)
|
równoległy układ rezonansowy (2) |
||||||
L=0,05 H |
L=0,01 H |
L=0,007 H |
L=0,002 H |
||||
ω [Hz] |
z [Ω] |
ω [Hz] |
z [Ω] |
ω [Hz] |
z [Ω] |
ω [Hz] |
z [Ω] |
350 |
0,334 |
600 |
0,226 |
350 |
0,025 |
60 |
0,0115 |
360 |
0,319 |
650 |
0,204 |
380 |
0,028 |
62 |
0,0120 |
370 |
0,305 |
700 |
0,185 |
400 |
0,030 |
64 |
0,0125 |
380 |
0,291 |
750 |
0,166 |
420 |
0,033 |
66 |
0,0129 |
390 |
0,278 |
800 |
0,149 |
440 |
0,036 |
68 |
0,0135 |
400 |
0,267 |
850 |
0,133 |
460 |
0,039 |
70 |
0,0139 |
410 |
0,258 |
900 |
0,121 |
480 |
0,043 |
72 |
0,0146 |
420 |
0,248 |
950 |
0,108 |
500 |
0,048 |
74 |
0,0152 |
430 |
0,235 |
100 |
0,098 |
520 |
0,052 |
76 |
0,0161 |
440 |
0,223 |
1050 |
0,088 |
540 |
0,057 |
78 |
0,0169 |
450 |
0,214 |
1100 |
0,080 |
560 |
0,063 |
80 |
0,0178 |
460 |
0,203 |
1150 |
0,071 |
580 |
0,069 |
85 |
0,0204 |
500 |
0,165 |
1200 |
0,062 |
600 |
0,074 |
90 |
0,0230 |
550 |
0,122 |
1250 |
0,054 |
620 |
0,077 |
95 |
0,0264 |
600 |
0,087 |
1300 |
0,046 |
640 |
0,079 |
100 |
0,0296 |
650 |
0,058 |
1350 |
0,040 |
660 |
0,078 |
110 |
0,0371 |
700 |
0,042 |
1400 |
0,033 |
680 |
0,077 |
115 |
0,0406 |
750 |
0,044 |
1450 |
0,028 |
700 |
0,074 |
120 |
0,0429 |
800 |
0,065 |
1500 |
0,023 |
720 |
0,070 |
125 |
0,0428 |
850 |
0,088 |
1550 |
0,018 |
740 |
0,065 |
130 |
0,0410 |
900 |
0,110 |
1600 |
0,019 |
760 |
0,060 |
140 |
0,0342 |
950 |
0,135 |
1700 |
0,024 |
780 |
0,055 |
150 |
0,0279 |
1000 |
0,153 |
1750 |
0,029 |
800 |
0,051 |
160 |
0,0228 |
1050 |
0,175 |
1800 |
0,041 |
850 |
0,043 |
170 |
0,0189 |
1100 |
0,201 |
1850 |
0,042 |
900 |
0,037 |
180 |
0,0165 |
1150 |
0,219 |
1900 |
0,043 |
950 |
0,033 |
190 |
0,0146 |
1200 |
0,239 |
1950 |
0,048 |
1000 |
0,030 |
200 |
0,0132 |
1250 |
0,261 |
2000 |
0,053 |
1100 |
0,027 |
|
|
1300 |
0,284 |
2100 |
0,078 |
1200 |
0,021 |
|
|
1350 |
0,307 |
2200 |
0,098 |
1300 |
0,018 |
|
|
1400 |
0,354 |
2300 |
0,142 |
1400 |
0,016 |
|
|
|
|
|
|
1500 |
0,014 |
|
|
Szeregowy układ rezonansowy
Za pomocą wzoru Thomsona obliczono wartość pojemności kondensatora:
|
2) L=0,01 H ω=1550 Hz
|
Jak widać żadna z uzyskanych pojemności nie odpowiada wartości podanej przez producenta. Nawet 0% błąd, do którego przyznaje się producent jest zbyt dużą rozbieżnością.
Następnie obliczono wartości zawady dla częstości rezonansowej.
Zawada szeregowego obwodu rezonansowego wynosi:
Dla (1) L= 0,05 H, C=1, Rl = 32,6Ω , ω=700 Hz:
Dla (2) L= 0,01 H, C=1, Rl = 28,7Ω , ω=1550 Hz:
Natomiast licząc zawadę ze wzoru na prawo Ohma otrzymujemy:
dla (1)
dla (2)
Dla obwodu równoległego wzór na zwadę jest inny i ma postać:
dla (3) L= 0,007 H, C=10, Rl = 8,5Ω , ω=640 Hz:
dla (4) L= 0,002 H, C=10, Rl = 4,7Ω , ω=1200 Hz:
Wykorzystując wzór na prawo Ohma mamy:
dla (3)
dla (4)
IV Ocena błędów
Błędy pomiarowe obliczono metodą różniczki zupełnej. Ponieważ praktycznie obliczenia stosuje się wyłącznie do obliczenia zawady wykresu, to tylko dla tej wartości obliczono błąd. Dla obliczenia innych wartości (zawad z podanych wzorów) przyjęto, że wszystkie wartości liczbowe zmiennych w tym wzorze podane są dokładnie i są pozbawione błędów pomiarowych.
Zawadę do wykresów obliczam za pomocą wzoru na prawo Ohma:
Błąd dla poszczególnych punktów zamieszczono w Tabeli 1 i 2. Błąd dla zawady wyszedł mały i trudno byłoby umieścić go na wykresie.
V Wnioski
Porównując wynik pojemności kondensatora jaką obliczono ze wzoru Thomsona, wyszła ona o wiele wyższa od wartości podanej przez producenta. Błąd mógł wyniknąć podczas przeprowadzania doświadczenia. Przyjmując za stałą wartość indukcyjności, widzimy ze wzoru Thomsona, że wpływ na wielkości pojemności ma tylko częstotliwość. Generator częstotliwości nie miał zbytnio dokładnej skali. Dla niektórych wartości częstotliwości dokładność ta mogła sięgać 20 Hz, dla innych 50 Hz. Dodatkowo pewną rolę mógł odegrać tu błąd paralaksy. Biorąc pod uwagę fakt, iż pojemność była podana w to w przypadku tak małych liczb drobne zmiany częstotliwości lub jej niedokładne odczytanie mogły mieć istotne znaczenie dla czynnika końcowego.
Zaskakujący był czynnik zawady uzyskany za pomocą wzoru podanego w sprawozdaniu, w porównaniu z wartością otrzymaną z prawa Ohma. Wielokrotnie analizowano ten wzór i nie można było dopatrzyć się żadnych nieścisłości. Dlatego założono, że uzyskana wartość jest wartością pożądaną i istotny jest tutaj kontrast między tą wartością, a uzyskaną z prawa Ohma.
Porównując zawady przy szeregowym obwodzie rezonansowym widzimy znaczne różnice między wielkościami uzyskanymi dwoma różnymi metodami. O wiele bardziej zbieżne są wartości zawady przy równoległym połączeniu. Takie różnice wynikają zapewne ze sposobu połączenia składowych elementów.
Interesująco przedstawiają się również wykresy badanych układów. Szeregowy obwód rezonansowy o pewnej częstości drgań posiada najmniejszą zawadę, czyli spadek napięcia na elementach jest najmniejszy. Całkiem odwrotnie sprawa wygląda w przypadku układu równoległego. Dla częstości rezonansowej zawada jest największa, czyli największy spadek napięcia przepływającego prądu.
Porównując dla różnych indukcyjności w obrębie jednego obwodu, widać że zmniejszenie indukcyjności w układzie szeregowym zmniejsza minimalną wartość zawady, a w układzie równoległym zmniejsza maksymalną zawadę.
3