Analiza wahań sezonowych

Jednym z podstawowych zadań składnikowej analizy szeregów czasowych jest estymacja wahań sezonowych.

Do zjawisk sezonowych należą takie zjawiska, w rozwoju których występuje stały cykl zmian, powtarzający się bardziej lub mniej regularnie z miesiąca na miesiąc, z kwartału na kwartał itp.

U podstaw występowania sezonowości leżą tzw. podstawowe czynniki sezonowe. Przez te czynniki rozumieć należy czynniki klimatyczno-przyrodnicze oraz tzw. czynniki kalendarzowe.

Do najważniejszych należą: czas trwania dnia i nocy, temperatura oraz opady, a także następstwo pór roku.

Wpływają one na zachowanie człowieka kształtując w wielu przypadkach jego nawyki i zwyczaje. Można wymienić wiele zjawisk, które wykazują wahania sezonowe. Są to np.:

− zużycie energii elektrycznej czy cieplnej w gospodarstwach domowych,

− spożycie napojów chłodzących,

− produkcja odzieży sezonowej, akcesoriów do uprawiania sportów

− zbiory płodów rolnych,

− przetwórstwo owocowo-warzywne, itp.

Statystyczna analiza wahań sezonowych polega na pomiarze natężenia i kierunku fluktuacji sezonowych w poszczególnych podokresach składających się na roczny cykl tych wahań.

Sposób postępowania przy analizie wahań sezonowych zależy od dwóch czynników:

• typu modelu szeregu czasowego (addytywny lub multiplikatywny),

• występowania (bądź nie występowania) w szeregu czasowym tendencji rozwojowej.

Najczęściej stosowaną w tej analizie metodą jest metoda wskaźnikowa. Polega ona na wyznaczaniu dla poszczególnych faz cyklu wskaźników sezonowości.

Gdy amplitudy wahań badanego zjawiska (tj. różnice między rzeczywistymi wartościami tego zjawiska a odpowiadającymi im wartościami teoretycznymi uzyskanymi z modelu trendu) w analogicznych fazach cyklu są takie same (oczywiście w przybliżeniu) to mówimy o wahaniach bezwzględnie stałych. Jeśli natomiast amplitudy wahań zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku, to mówimy o wahaniach relatywnie stałych.

W pierwszym przypadku do opisu kształtowania się badanego zjawiska w czasie używa się modelu addytywnego w drugim zaś (zdecydowanie częściej) multiplikatywnego.

Ogólnie biorąc proces analizy wahań sezonowych obejmuje następujące etapy:

1. prezentacja graficzna szeregu czasowego,

2. wyodrębnienie w szeregu czasowym trendu czyli tendencji rozwojowej.

Można przy tym zastosować metodę średnich ruchomych lub metodę analityczną.

Szczególnie często jako aproksymantę trendu stosuje się funkcję liniową:

3. eliminacja trendu z szeregu czasowego.

• dla modelu addytywnego:

• dla modelu multiplikatywnego:

W wyniku eliminacji trendu otrzymujemy tzw. surowe odchylenia sezonowe.

4. obliczanie surowych wskaźników sezonowości ;

• dla modelu addytywnego:

gdzie: i - numer sezonu ( i = 1, 2, ..., m),

p - liczba lat badanych.

• dla modelu multiplikatywnego:

5. eliminacja wahań przypadkowych:

• dla modelu addytywnego:

• dla modelu multiplikatywnego:

6. obliczanie oczyszczonych wskaźników sezonowości:

• dla modelu addytywnego:

przy czym

• dla modelu multiplikatywnego:

przy czym

Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w %.

Obliczone w wyniku zastosowania przedstawionej procedury wskaźniki sezonowości mają prostą interpretację. I tak:

• 
  informują o ile jednostek mianowanych (np. zł, ton, itp.) zmienia się w poszczególnych sezonach poziom badanej zmiennej w porównaniu z zaobserwowaną w tych sezonach tendencją rozwojową.

• 
  pokazują natomiast o ile procent, na skutek występowania wahań sezonowych, poziom badanego zjawiska odchylał się w poszczególnych sezonach od poziomu określonego przez tendencję rozwojową.

Czasami może zdarzyć się, że w szeregu czasowym nie występuje trend.

Wówczas proces analizy wahań sezonowych znacznie się upraszcza i obejmuje następujące fazy:

1. obliczanie średniego poziomu badanej zmiennej w analizowanym przedziale czasowym:

2. obliczenie średnich poziomów badanej zmiennej dla jednoimiennych podokresów sezonowych:

3. obliczenie wskaźników sezonowości dla poszczególnych sezonów:

Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w procentach.

Oszacowane wskaźniki sezonowości można wykorzystać w prognozowaniu zmiennej sezonowej. Prognostyczną wartość tej zmiennej na okres prognozowany T_i wyznaczamy następująco:

• dla modelu addytywnego:
  

• dla modelu multiplikatywnego:
  

Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego można wprowadzić korektę obliczając wyrażenie:

gdzie:

− odchylenie standardowe składnika resztowego szeregu czasowego,

− wartości teoretyczne szeregu czasowego, przy czym:

lub

W rezultacie takiego postępowania otrzymujemy prognozę przedziałową zmiennej sezonowej w postaci:

>

Przykład 1.

Sprzedaż konserw rybnych (w tys. sztuk) w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 przedstawia następujący szereg czasowy:

Lata	Kwartały
		I	II	III	IV
2004 2005 2006	23,8 23,6 24,2	27,2 27,2 27,4	11,6 13,2 13,8	24,6 24,0 26,0

1. Przeprowadź analizę wahań sezonowych badanej zmiennej.

2. Oszacuj sprzedaż konserw rybnych w czwartym kwartale 2007 roku.

Rozwiązanie:

ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:

• stały poziom zmiennej (brak trendu),

• wahania sezonowe,

• wahania przypadkowe.

W związku z powyższym dla wyznaczenia wskaźników sezonowości zastosujemy metodę odchyleń od średnich.

Obliczamy więc:

a następnie:

Interpretacja:

Na skutek występowania wahań sezonowych sprzedaż konserw rybnych była większa od przeciętnej kwartalnej sprzedaży:

• w kwartale pierwszym o 7,42 %,

• w kwartale drugim o 22,73 %,

• w kwartale czwartym o 11,93 %,

mniejsza natomiast od tej przeciętnej była w kwartale trzecim aż o 42,08 %.

ad b) Prognozę konstruujemy korzystając ze wzoru:

stąd:

Interpretacja:

W czwartym kwartale 2007 roku można oczekiwać sprzedaży konserw na poziomie 24,87 tys. ton.

Przykład 2.

Produkcja pewnego wyrobu w tys. sztuk w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 kształtowała się w przedsiębiorstwie „M” w Poznaniu następująco:

Lata	Kwartały
		I	II	III	IV
2004 2005 2006	95 100 105	80 90 100	70 90 95	110 130 150

1. Przeprowadź analizę wahań sezonowych produkcji tego wyrobu.

2. Oszacuj przypuszczalne rozmiary produkcji tego wyrobu w III i IV kwartale 2007r.

Rozwiązanie:

ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:

• tendencja rozwojowa rosnąca,

• wahania sezonowe,

• wahania przypadkowe.

Przede wszystkim wyznaczamy tendencję rozwojową. Na podstawie wykresu można przyjąć, że będzie to tendencja liniowa.

Hipotetyczny model trendu ma postać:

W celu wyliczenia parametrów strukturalnych wykonujemy potrzebne obliczenia w tabeli roboczej:

Lata	Kwartały	yt	t	t^2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2004 2005 2006	I II III IV I II III IV I II III IV	95 80 70 110 100 90 90 130 105 100 95 150	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	1 4 9 15 25 36 49 64 81 100 121 144	95 160 210 440 500 540 630 1040 945 1000 1045 1800	81,73 85,28 88,83 92,38 95,93 99,48 103,03 106,58 110,13 113,68 117,23 120,78	116,24 93,81 78,80 119,07 104,24 90,47 87,35 121,97 95,34 87,97 81,04 124,19	86,00 77,36 73,17 112,42 100,95 90,24 84,87 129,70 115,89 103,12 96,56 146,98	81,00 6,97 10,05 5,86 0,90 0,06 26,32 0,09 118,59 9,73 2,43 9,12
X	X	1215	78	650	8405	X	X	X	271,12

Oceny parametrów strukturalnych obliczamy korzystając ze wzorów:

Mamy więc:

Zakładamy, że mamy do czynienia ze związkiem multiplikatywnym, stąd liczymy surowe odchylenia sezonowe według wzoru;

(kolumna 8 tabeli)

Wyliczone surowe odchylenia sezonowe porządkujemy według jednoimiennych podokresów w celu wyliczenia surowych wskaźników sezonowości:

Lata	Kwartały
		I	II	III	IV
2004 2005 2006	116,24 104,24 95,34	93,81 90,47 87,97	78,80 87,35 81,04	119,07 121,97 124,19
	105,27	90,75	82,40	121,74

W celu wyeliminowania wahań przypadkowych liczymy współczynnik korygujący:

(Uwaga: ponieważ wskaźniki podane były w % stąd w mianowniku mamy:
).

Obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości:

Interpretacja:

Produkcja badanego wyrobu ma zdecydowanie sezonowy charakter. Najwyższy poziom osiąga każdego roku w czwartym kwartale i jest wówczas przeciętnie o 21,69% wyższa od wartości wynikającej z tendencji rozwojowej.

Najniższy poziom osiąga produkcja w trzecim kwartale i jest niższa przeciętnie o 17,63 % od produkcji wyliczonej na podstawie funkcji trendu.

ad b) Budujemy prognozę.

W przypadku modelu multiplikatywnego korzystamy z relacji:
.

Dla kwartału III 2007 r. mamy: t = 15 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 0,8237 (w procentach było to 82,37 ).

Stąd:

Dla kwartału IV 2001 r. mamy: t = 16 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 1,2169 (w procentach było to 121,69).

Stąd:

Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego według wzoru:

gdzie:

Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że jeżeli kwartalna tendencja rozwojowa i natężenie wahań sezonowych zaobserwowane w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 utrzymają się nadal to produkcja w trzecim kwartale 2007 r. powinna być zawarta w przedziale < 106,26 - 5,21; 106,26 + 5,21 > tys. sztuk, a w kwartale czwartym 2007 r. w przedziale <164,26 - 5,21; 164,26 + 5,21> tys.sztuk.

11

---