MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ ZE
STATYSTYKI Z DEMOGRAFIĄ
(część II)
KWARTYLE
(WARTOŚCI ĆWIARTKOWE)
Kwartyl pierwszy (Q1) dzieli uporządkowany szereg wartości na dwie części tak, że ¼ jednostek zbiorowości przyjmuje wartości nie wyższe niż wartość Q1, a ¾ jednostek zbiorowości ma wartości nie niższe od wartości Q1.
Kwartyl trzeci (Q3) dzieli uporządkowany szereg wartości na dwie części tak, że ¾ jednostek zbiorowości przyjmuje wartości nie wyższe niż wartość Q3, a ¼ jednostek zbiorowości ma wartości nie niższe od wartości Q3.
α) KWARTYL PIERWSZY - Q1
Kwartyl pierwszy (Q1) szczegółowego szeregu wartości cechy o parzystej liczbie jednostek jest równy medianie pierwszej połowy tego szeregu:
x1, x2,...,
Kwartyl pierwszy (Q1) szczegółowego szeregu wartości cechy o nieparzystej liczbie jednostek także jest równy medianie pierwszej połowy tego szeregu:
x1, x2,...,
Aby wyznaczyć kwartyl pierwszy (Q1)
w szeregu rozdzielczym punktowym należy najpierw ustalić jego miejsce (pozycję) wg wzorów:
, gdy N jest parzyste;
, gdy N jest nieparzyste;
Następnie wskazujemy wartość kwartyla pierwszego (Q1) w oparciu o informacje zawarte w liczebności skumulowanej (nicum). Miejsce kwartyla pierwszego (MQ1) znajduje się w najmniejszym nicum spełniającym warunek:
Kwartylem pierwszym (Q1) będzie wówczas wartość cechy xi odpowiadająca ustalonej liczebności skumulowanej (nicum):
Jeżeli MMe jest nieparzyste oraz jeżeli MMe jest parzyste a MQ1 < nicum, to kwartylem pierwszym (Q1) będzie wówczas wartość cechy xi odpowiadająca ustalonej liczebności skumulowanej nicum :
Natomiast jeżeli MMe jest parzyste
a MQ1 = nicum , to kwartylem pierwszym (Q1) będzie wówczas średnia arytmetyczna wartości cechy xi odpowiadającej ustalonej liczebności skumulowanej nicum oraz wartości cechy xi+1:
Przykład 1:
xi |
ni |
nicum |
20 |
6 |
6 |
Q1 = 25 |
9 |
15 |
30 |
13 |
28 |
35 |
11 |
39 |
40 |
5 |
44 |
Razem |
|
|
MMe = , MQ1 =
MQ1 < n2cum , MMe jest parzyste, Q1 = 25.
25% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 25 i 75% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 25.
Przykład 2:
xi |
ni |
nicum |
20 |
6 |
6 |
Q1= 25 |
9 |
15 |
30 |
18 |
33 |
35 |
15 |
48 |
40 |
10 |
58 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= ,
MQ1= n2cum , MMe jest nieparzyste, Q1 = 25.
25% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 25 i 75% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 25.
Przykład 3:
xi |
ni |
nicum |
20 |
6 |
6 |
25 |
9 |
15 |
30 |
18 |
33 |
35 |
15 |
48 |
40 |
12 |
60 |
Razem |
|
|
MMe = , MQ1= , MQ1= n2cum ,
MMe jest parzyste, Q1 = .
25% badanych przyjmuje wartości cechy mniejsze niż 27,5 i 75% badanych przyjmuje wartości większe niż 27,5.
Miejsce kwartyli w szeregach rozdzielczych przedziałowych
Kwartyl pierwszy i kwartyl trzeci wyznaczamy podobnie jak kwartyl 2 (czyli medianę) pamiętając w jakich proporcjach dzielą one zbiorowość.
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych pomocną może być tabela,
w której zestawiono miejsca kwartyli.
kwartyl |
miejsce kwartyla |
|
|
dla liczebności ( |
dla częstości ( |
kwartyl 1 (Q1) |
|
|
kwartyl 2 (Q2) |
|
|
kwartyl 3 (Q3) |
|
|
W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego, ponieważ niemożliwe jest dokładne wyznaczenie kwartyla pierwszego (Q1), można jedynie w oparciu o informacje zawarte w liczebności skumulowanej oraz miejsce kwartyla pierwszego wskazać przedział kwartyla pierwszego, a następnie przybliżoną jego wartość obliczyć ze wzoru:
, gdzie:
x0 - dolna granica przedziału,w którym występuje kwartyl pierwszy, n0 - liczebność przedziału kwartyla pierwszego,
MQ1 - miejsce kwartyla pierwszego,
c0 - rozpiętość przedziału kwartyla pierwszego,
nicum - 1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział kwartyla pierwszego.
Na przykład:
xi |
ni |
nicum |
20 -25 |
6 |
6 |
Q1 25 - 30 |
9 |
15 |
30 - 35 |
13 |
28 |
35 - 40 |
11 |
39 |
40 - 45 |
5 |
44 |
Razem |
|
|
MQ1 = ,
x0 = 25
c0 = 30 - 25 = 5
nicum-1 = 6
n0 = 9
25% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 27,78 i 75% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 27,78.
β) KWARTYL TRZECI - Q3
Kwartyl trzeci (Q3) szczegółowego szeregu wartości cechy
o parzystej liczbie jednostek jest równy medianie drugiej połowy tego szeregu:
Kwartyl trzeci (Q3) szczegółowego szeregu wartości cechy
o nieparzystej liczbie jednostek także jest równy medianie drugiej połowy tego szeregu:
Aby wyznaczyć kwartyl trzeci (Q3) w szeregu punktowym należy najpierw ustalić jego miejsce wg wzorów:
, gdy N jest parzyste,
, gdy N jest nieparzyste.
Następnie wskazujemy następnie wartość kwartyla trzeciego (Q3)
w oparciu o informacje zawarte w liczebności skumulowanej (nicum).
Miejsce kwartyla trzeciego (MQ3) znajduje się
w najmniejszym nicum spełniającym warunek:
Kwartylem trzecim (Q3) będzie wówczas wartość cechy xi odpowiadająca ustalonej liczebności skumulowanej (nicum):
Jeżeli MMe jest nieparzyste oraz jeżeli MMe jest parzyste
a MQ3 < nicum, to kwartylem trzecim (Q3) będzie wówczas wartość cechy xi odpowiadająca ustalonej liczebności skumulowanej nicum:
Natomiast jeżeli MMe jest parzyste a MQ3 = nicum, to kwartylem trzecim (Q3) będzie wówczas średnia arytmetyczna wartości cechy xi odpowiadającej ustalonej liczebności skumulowanej nicum oraz wartości cechy xi+1:
Przykład 1:
xi |
ni |
nicum |
20 |
6 |
6 |
25 |
9 |
15 |
30 |
13 |
28 |
Q3 = 35 |
11 |
39 |
40 |
5 |
44 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= .
MQ3 = MQ1 + MMe = 11 + 22 = 33, bo N jest parzyste.
MQ3 < n4cum , MMe jest parzyste, Q3 = 35.
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 35 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 35.
Przykład 2:
xi |
ni |
nicum |
20 |
6 |
6 |
25 |
9 |
15 |
30 |
13 |
28 |
Q3 = 35 |
11 |
39 |
40 |
2 |
41 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= .
MQ3 = MQ1 + MMe - 1 = 11 + 21 - 1 = 31, bo N jest nieparzyste.
MQ3 < n4cum , MMe jest nieparzyste, Q3 = 35.
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 35 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 35.
Przykład 3:
xi |
ni |
nicum |
20 |
5 |
5 |
25 |
7 |
12 |
30 |
11 |
23 |
Q3 = 35 |
15 |
38 |
40 |
6 |
44 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= .
MQ3 = MQ1 + MMe = 11 + 22 = 33, bo N jest parzyste.
MQ3 < n4cum , MMe jest parzyste, Q3 = 35.
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 35 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 35.
Przykład 4:
xi |
ni |
nicum |
20 |
5 |
5 |
25 |
7 |
12 |
30 |
11 |
23 |
35 |
14 |
37 |
40 |
12 |
49 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= .
MQ3 = MQ1 + MMe - 1 = 13 + 25 - 1 = 37, bo N jest nieparzyste.
MQ3 = n4cum , MMe jest nieparzyste, Q3 =35.
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 35 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 35.
Przykład 5:
xi |
ni |
nicum |
20 |
5 |
5 |
25 |
7 |
12 |
30 |
10 |
22 |
35 |
16 |
38 |
40 |
13 |
51 |
Razem |
|
|
MMe= , MQ1= .
MQ3 = MQ1 + MMe - 1= 13 + 26 - 1 = 38, bo N jest nieparzyste.
MQ3 = n4cum , MMe jest parzyste, Q3=
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 37,5 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 37,5.
Natomiast w przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego, ponieważ niemożliwe jest dokładne wyznaczenie kwartyla trzeciego (Q3), można jedynie w oparciu o informacje zawarte w liczebności skumulowanej (nicum) oraz miejsce kwartyla trzeciego , wskazać przedział kwartyla trzeciego (Q3), a następnie przybliżoną jego wartość obliczyć ze wzoru:
, gdzie:
x0 - dolna granica przedziału, w którym występuje kwartyl trzeci, n0 - liczebność przedziału kwartyla trzeciego,
MQ3 - miejsce kwartyla trzeciego,
c0 - rozpiętość przedziału kwartyla trzeciego,
nicum - 1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział kwartyla trzeciego.
Na przykład:
xi |
ni |
nicum |
20 - 25 |
6 |
6 |
25 - 30 |
9 |
15 |
30 - 35 |
13 |
28 |
Q3 35 - 40 |
11 |
39 |
40 - 45 |
5 |
44 |
Razem |
N = 44 |
|
Na przykład:
MQ3 = , .
x0 = 35
c0 = 40 - 35 = 5
nicum-1 = 28
n0 = 11
75% badanych przyjmuje wartości cechy nie większe niż 37,27 i 25% badanych przyjmuje wartości nie mniejsze niż 37,27.
Kwartyle możemy również wyznaczyć graficznie tak, jak to pokazano na rysunku:
Wyszukiwarka