POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 12 TEMAT : Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
Piotr Wysocki WYDZ. : M.-E ROK : II	DATA : OCENA :

0. Wstęp.

Celem przeprowadzonego doświadczenia było :

- wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności przez pomiar okresu

sprężystych drgań obrotowych. Moduł sztywności jest stałą charakteryzującą odporność

ciała na odkształcenia, a dokładniej na skręcanie.

1. Opis zjawiska fizycznego.

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. Siły te są w ciałach stałych na skutek małych odległości międzycząsteczkowych na tyle duże, że cząsteczki są dzięki temu uporządkowane, tworząc regularną strukturę przestrzenną, nazwaną siecią krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana w taki przypadku również węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły : przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem:

Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

,

gdzie  - kąt ścinania,

G - moment sztywności ,

τ - naprężenie styczne.

2. Zestaw przyrządów.

Wahadło torsyjne,

Miara milimetrowa,

Suwmiarka,

Waga laboratoryjna,

Elektroniczny licznik okresu i czasu.

Rys.1

3. Wzór końcowy.

Kiedy moment sił sprężystych przestaje być równoważony przez moment zewnętrzny, powoduje to drgania harmoniczne obrotowe, których moment kierujący zależy od modułu sztywności :

D =

Badanie modułu sztywności w tym doświadczeniu polega na pomiarze okresu drgań układu pomiarowego ( Rys.1 ).

T = 2

Ponieważ nie znamy momentu bezwładności tego układu, pomiar odbywa się dwukrotnie: raz bez tarczy dodatkowej K, a następnie wraz z tarczą dodatkową o okresie drgań

T₁ = 2
,

Otrzymujemy zatem :

D =

Moment bezwładności tarczy dodatkowej łatwo jest wyliczyć ze wzoru:

.

m - masa tarczy dodatkowej

l - długość drutu

d - średnica drutu

b - średnica tarczy dodatkowej

n - ilość drgań = 10

t₂ - czas n drgań tarczy dodatkowej

t₁ - czas n drgań tarczy

Dla zwiększenia dokładności pomiaru okresu mierzy się nie okres jednego drgania, lecz czas n ( w tym wypadku n=10 ) drgań. W rezultacie moduł sztywności można wyliczyć ze wzoru:

[N/m² ]

4. Tabelki pomiarów.

Długość drutu l:

Nr pomiaru:	l [mm]	Δl [mm]
1	646	1,0
Średnia	646	1,0

Średnica drutu d :

Nr pomiaru:	d [mm]	Δd [mm]
1	0,6	0,1
2	0,6	0,1
3	0,6	0,1
4	0,6	0,1
5	0,6	0,1
6	0,6	0,1
7	0,6	0,1
8	0,6	0,1
9	0,6	0,1
10	0,6	0,1
Średnia	0,6	0,1

Średnica tarczy dodatkowej b :

Nr pomiaru:	b [mm]	Δb [mm]
1	140	0,1
2	140	0,1
3	140	0,1
Średnia	140	0,1

Masa tarczy dodatkowej m

Nr pomiaru:	m. [g]	Δm. [g]
1	383,4	0,1
Średnia	383,4	0,1

Czas trwania drgań tarczy M.:

Nr pomiaru:	10T [s]	Δ10T [s]
1	78,317	0,0045
2	78,225	0,0051
3	78,245	0,0030
4	78,230	0,0046
5	78,389	0,0121
6	78,190	0,0088
7	78,242	0,0033
8	78,378	0,0109
9	78,300	0,0027
10	78,223	0,0053
Średnia	78,274	0,0060

Czas trwania drgań tarczy M. z tarczą dodatkową K:

Nr pomiaru:	10T [s]	Δ10T [s]
1	94,349	0,0004
2	94,374	0,0022
3	94,347	0,0006
4	94,367	0,0014
5	94,339	0,0014
6	94,374	0,0022
7	94,367	0,0014
8	94,332	0,0022
9	94,316	0,0039
10	94,366	0,0013
Średnia	94,353	0,0017

5. Przykładowe obliczenia.

Podstawiając do wzoru końcowego obliczamy wartość modułu sztywności :

[ N/m² ]

Zamieniając odpowiednio jednostki otrzymujemy :

G =
= 6,78325⋅10¹⁰ [N/m²]

G=678,325⋅10⁸ Pa.

6. Dyskusja błędów.

Do obliczenia błędu, z jakim wyznaczono moduł sztywności G, posłużę się metodą różniczki logarytmicznej. Oznaczając

c = t₂²-t ₁² oraz zakładając, że

Δt₁ = Δt

otrzymujemy :

Δc = 2t₂Δt₂ + 2t₁Δt₁ = 2Δt( t₂ + t₁ ).

Ponieważ na dokładność obliczeń wpływają pomiary : długości drutu, jego średnicy, średnicy tarczy dodatkowej, czasu trwania n drgań, błąd obliczymy ze wzoru :

= + 2 + + 4 + 2 , czyli :

= + 2 + + 4 + 2

Za Δm, Δb, Δl, Δd, Δt podstawiamy średnie błędy bezwzględne pomiarów, czyli :

Δk = , gdzie Δk_i = k - k_i ,

zaś k oznacza średnią arytmetyczną mierzonej wielkości.

Obliczamy teraz po kolei błąd pomiaru każdej wielkości ( pomiary pobierane są z tabelki ) :

a.) masa,

m = 383,4g Δm = 0.1 g

= 0.000260

b.) średnica tarczy dodatkowej,

b₁ = 140,0 mm Δb₁=0,1 mm

b₂ = 140,0 mm Δb₂= 0,1 mm

b₃ = 140,0 mm Δb₃ = 0,1 mm

= 0,0007

c.) długość drutu,

l = 646 mm Δl = 1 mm

=0,0015

d.) średnica drutu,

d₁ = 0,6 mm

d₂ = 0,6 mm

d₃ = 0,6 mm

d₄ = 0,6 mm

d₅ = 0,6 mm Δd = 0,1 mm

d₆ = 0,6 mm

d₇ = 0,6 mm

d₈ = 0,6 mm

d₉ = 0,6 mm

d₁₀ = 0,6 mm

= 0,16

e.) czas trwania n drgań,

zał. Δt₁ = Δt

Δt₁ = 0,0045 s

Δt₂ = 0,0051 s

Δt₃ = 0,0030 s

Δt₄ = 0,0046 s

Δt₅ = 0,0121 s

Δt₆ = 0,0088 s

Δt₇ = 0,0033 s

Δt₈ = 0,0109 s

Δt₉ = 0,0027 s

Δt₁₀= 0,0053 s

Δt = 0,06/10=0,0060 s

t₁-t = 94,353-78,274 = 16,079 s

= 0,00037

Mając teraz wszystkie dane obliczamy :

= 0,000260 + 2⋅0,0007 + 0,0015 + 4⋅0,16 + 2⋅0,00037 = 0,6439

Błąd bezwzględny wynosi :

ε = 64,39 *

Jak widać największy błąd do końcowego wyniku (pomimo dokładnego przyrządu pomiarowego) wniósł pomiar średnicy badanego drutu. Co do średnicy, to spowodowała to stosunkowo mała wartość wielkości mierzonej (0,6 mm) oraz to, że we wzorze końcowym wielkość ta występowała aż w czwartej potędze.

Porównanie obliczonego modułu sprężystości z wartościami tablicowymi:

Wartość modułu sprężystości obliczona ze wzoru:

G=678,325⋅10⁸ [Pa]

Wartość modułu sprężystości odczytana z tablic:

G=770⋅10⁸ [Pa]

7. Uwagi i wnioski.

Największy wpływ na błąd wyznaczenia G miał błąd pomiaru średnicy drutu - wynosił 16 % oraz błąd pomiaru długości drutu 0,15 %. Przy obliczaniu błędów należy też wspomnieć o niedoskonałości przyrządów, choć tym razem były one dość dokładne.

Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności walca - gdyż w naszym ćwiczeniu tarcza dodatkowa miała taki kształt.

Wychodząc ze wzoru na energię kinetyczną w ruchu obrotowym

K_obr = + + ...

oraz wiedząc, że v = ωr, otrzymujemy wzór :

K_obr = ω²/2 ( r₁²Δm₁ + r₂²Δm₂ + ...).

Wielkość w nawiasach nie zależy od prędkości ruchu, lecz charakteryzuje opór bezwładny ciała ruchu obrotowym : im większa jest ta wielkość, tym więcej energii trzeba zużyć dla nadania ciału danej prędkości kątowej. Wielkość ta nazywa się momentem bezwładności ciała :

I = r₁²Δm₁ + r₂²Δm₂ + ...

zaś wyrażenie r²Δm - momentem bezwładności punktu. Moment bezwładności I można przedstawić także w innej formie :

I = ∫ r² dm

Dla uproszczenia obliczmy moment bezwładności płaskiego dysku o promieniu r względem osi prostopadłej do płaszczyzny dysku i przechodzącej przez jego środek. Bierzemy zatem pod uwagę przekrój walca ( płaszczyznę ), gdyż każdy „przekrój” będzie się charakteryzował taką sama bezwładnością - odpowiednie punkty równo oddalone od osi obrotu. Masa wynosi

m = ρV = ρ*πr² , gdzie

ρ - gęstość materiału, z którego zrobiony jest dysk,

V - w tym przypadku pole płaskiego dysku (koła), zaś ogólniej bierze się objętość bryły ( we wzorze znajdowałyby się wtedy całki potrójne ).

Rys.1a

x dx

r

Masa pierścienia elementarnego o promieniu x wynosić będzie dm = ρ*2πxdx. Moment bezwładności tego pierścienia dI₁ = dm*x² . Moment bezwładności całego dysku wyrażać się będzie wzorem :

I₁ = = = = 2πρ*( 1/4 x⁴ )^r₀ = 1/2πρ*r⁴

Podstawiając wzór na masę otrzymujemy :

I₁ = 1/2 mr²

---