Rachunek kwantyfikatorów

Ani rachunek zdań, ani rachunek nazw, ani nawet rachunek zbiorów nie potrafią zdać sprawy z relacji zachodzących pomiędzy pewnymi typami zdań oraz z niezawodności pewnych typów rozumowań. Nie są, na przykład, w stanie udowodnić, że jeżeli prawdziwe jest zdanie:

Istnieją uczciwi policjanci.

to prawdziwe muszą być też zdania:

Istnieją policjanci.

Istnieją uczciwi ludzie.

W związku z tymi brakami, wprowadzony został rachunek kwantyfikatorów.

∀ - kwantyfikator ogólny. ∀x - dla każdego „x”

∃ - kwantyfikator szczegółowy. ∃x - dla pewnego „x” (co najmniej jednego)

P, Q, R, S, T... - zmienne predykatowe (funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych).

a, b, c, d, e... - stałe indywiduowe (reprezentujące imiona własne).

x, y, z... - zmienne indywiduowe.

Przykłady:

P(a) - Lech Kaczyński chrapie.

R (a,b) - 6 dzieli się przez 3.

S (a,b,c) - Toruń leży bliżej Bałtyku niż Poznań.

P(x) - x chrapie.

R (x,y) - x dzieli się przez y. funkcje zdaniowe (nie mają wartości logicznej, ale mogą ją

S (x,y,x) - x leży bliżej y niż z. Zyskać, gdy w miejsce zmiennych podstawimy stałe)

zmienna wolna - zmienna nie związana przez żaden kwantyfikator

Ktoś jest konserwatystą. ∃x P(x)

Każdy jest konserwatystą. ∀x P(x)

Nie każdy jest konserwatystą. ∼∀x P(x)

Zapis praw kwadratu logicznego w rachunku kwantyfikatorów:

Każde P jest Q. ∀x [P(x) → Q(x)]

Żadne P nie jest Q. ∀x [P(x) → ∼Q(x)]

Niektóre P są Q. ∃x [P(x) ∧ Q(x)]

Niektóre P nie są Q ∃x [P(x) ∧ ∼Q(x)]

Prawa kwadratu logicznego mogą być różnie interpretowane w rachunku kwantyfikatorów, w zależności od tego, jak traktuje się zdania zawierające nazwy puste:

• interpretacja słaba (hipotetyczna) pozostawia prawa kwadratu logicznego w niezmienionej formie:

zdanie ogólnotwierdzące - ∀x [P(x) → Q(x)] - Każdy prymas USA ma brodę.

zdanie ogólnoprzeczące - ∀x [P(x) → ∼Q(x)] - Żaden prymas USA nie ma brody.

Oba powyższe przykłady zdań ogólnych, zawierających nazwy puste, są w tej interpretacji uznawane za prawdziwe, w związku z czym nie jest zachowana relacja wynikania (tzw. „pustospełnienie”). Podobnie, w interpretacji słabej nie są zachowane relacje dopełnienia i wynikania - pozostaje tylko sprzeczność „po przekątnych” (vide: kwadrat logiczny).

• interpretacja mocna zakłada, że w zdaniach ogólnych nie twierdzi się tylko tego, że przedmiot, który ma własność P, ma też własność Q, ale:

zdanie ogólnotwierdzące - ∃x [P(x)] ∧ ∀x [P(x) → Q(x)]

zdanie ogólnoprzeczące - ∃x [P(x)] ∧ ∀x [P(x) → ∼Q(x)]

Do obydwu wyrażeń dodany został warunek, który gwarantuje wyłączenie nazw pustych z „obiegu”. Interpretacja mocna zachowuje wszystkie prawa kwadratu logicznego - poza sprzecznością. Wydaje się więc, że nie da się utrzymać praw kwadratu logicznego w rachunku kwantyfikatorów.

• Niektórzy próbują „ratować” zależności kwadratu logicznego w rachunku kwantyfikatorów za pomocą presupozycji. Twierdzą oni, że prawa kwadratu logicznego mogą się odnosić tylko do zdań sensownych, a nie do wypowiedzi niedorzecznych, jakimi są dla nich zdania zawierające nazwy puste.

∃x / ∀x - zmienne objęte kwantyfikatorem

∀x [P(x) → Q(x)] - zmienne związane kwantyfikatorem (znajdujące się w jego zasięgu)

∀x [P(x) → Q(x)] ∧ R(x) - zmienna wolna

Jeżeli w danej formule co najmniej jedna zmienna jest wolna, to formuła ta nie reprezentuje zdania, a funkcję zdaniową, której nie przysługuje wartość logiczna. Funkcja zdaniowa może stać się zdaniem, gdy:

• zastąpi się zmienne wolne wyrażeniami (x jest autorem y → Miłosz jest autorem „Ziemi Urlo”)

• zwiąże się zmienne kwantyfikatorami (x jest autorem y → ∀x ∃y [x jest autorem y])

• wymiesza się dwa powyższe sposoby (x jest autorem y → ∃x [x jest autorem „Ziemi Urlo”])

Funkcję zdaniową wtedy można nazwać prawdziwą, gdy prawdziwe jest jej domknięcie (zdanie, które powstaje z funkcji zdaniowej przez związanie wszystkich jej zmiennych ogólnym kwantyfikatorem).

Niektórzy zoologowie (P) boją się (R) wszystkich drapieżników (Q).

∃x [P(x) ∧ (Q(y) → R(x,y))]

LOGIKA

---