Powodem do napisania tego tekstu, oprócz chęci podzielenia się własnymi doświadczeniami był również artykuł Danuty Zaremby „Względne spojrzenie na wartość bezwzględną” (Matematyka w szkole - nr specjalny, jesień 2001)

Inne spojrzenie na wartość bezwzględną

Pracując prawie 15 lat z dziećmi i młodzieżą (pracowałam również w szkole wieczorowej dla dorosłych) nauczyłam się jednego: najlepsze metody rozwiązywania zadań to te, które są najprostsze. Oczywiście, że problem jest: Co dla kogo jest proste?

Do dzisiaj staram się czasami jedno zadanie rozwiązać kilkoma sposobami. Bardzo często wywołuje to u jednych uczniów zdziwienie: „Po co? Przecież mamy już wynik!”, a u innych przekonanie, że: „..nauczyciel też człowiek -istota omylna pewnie chce wynik sprawdzić inną metodą.

Obecnie pracuję z młodzieżą w szkole ponadgimnazjalnej i częściej niż przed reforma systemu edukacyjnego borykam się z problemami zaległości z lat ubiegłych wśród uczniów. Część z tych zaległości udaje się nam uzupełnić, część... może kiedyś, może ktoś inny?

Wśród wielu pojęć z jakimi moi uczniowie nie radzili sobie na początku była wartość bezwzględna i zadania z nią związane. Ich mechaniczne zapamiętanie tego pojęcia niewiele miało wspólnego ze zrozumieniem definicji. Jednak uznając, że dobre i to udało mi się uzyskać nadspodziewane dobre efekty w rozwiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną metodą graficzną. Omawiając wykresy funkcji liniowych zawierających wartości bezwzględne zauważyłam, że już po kilku przykładach sporządzenie wykresu takiej funkcji nie stwarzało przeciętnemu uczniowi trudności. Postanowiłam wykorzystać tą umiejętność bo przecież od niej tylko krok do graficznego rozwiązywania równań.

Przykład 1: Rozwiąż równanie |x+1| = |2x-1|

Wystarczyło wytłumaczyć uczniom, że równanie | x +1| = | 2x −1| jest efektem porównania prawych stron układu równań
,

gdzie przyjmując pierwszą funkcję jako y = f(x) = | x +1|, oraz drugą funkcję jako y = g(x) = |2x −1| możemy ten układ rozwiązać graficznie.

A jak ? Rysując wykres funkcji f(x) = | x + 1|, a następnie innym kolorem wykres funkcji g(x) = | 2x − 1 |

i z wykresu odczytując współrzędne punktów wspólnych (to w tych punktach f(x) =g(x)) A = (0,1) i B = (2,3) ). Ponieważ niewiadomą w równaniu jest x, to rozwiązaniem równania są pierwsze współrzędne punktów A i B, x _A = 0 i x _B = 2 lub prościej x = 0 lub x = 2.

Rozwiązując równanie tą metodą, uczniowie muszą mieć dobrze opanowaną umiejętność sporządzania wykresów oraz wiedzieć, że moduł „wszystko, co jest pod osią OX, przenosi symetrycznie nad oś OX”. (O zgrozo co za język !!!)

Przykład 2:

Rozwiąż równanie | 3x + 4 | = 5

Rozwiązanie: -rysujemy wykres: f(x) = |3x+4|

-rysujemy wykres: g(x) = 5

Podobnie jak w poprzednim przykładzie odczytujemy wykresu współrzędne punktów w których f(x) = g(x) a za rozwiązanie równania przyjmujemy pierwsze współrzędne tych punktów czyli x = −3 lub x = −

Przykład 3:

Rozwiąż równanie | x −1| = x −1

Rozwiązanie - rysujemy wykres: f(x) = | x − 1|

- rysujemy wykres: g(x) = x −1

Z wykresów obu funkcji sporządzonych na jednym układzie XOY można stwierdzić, że dla x ≥ 1 punkty obu wykresów pokrywają się.

Wniosek: rozwiązaniem są wszystkie x ∈R takie, że x ≥ 1.

Problem, z którym uczeń ma duże trudności przy rozwiązywaniu takich równań jest właściwe użycie spójników logicznych „i” oraz „lub” - przecież na wykresie to szukamy punktów wspólnych wykresów jednej „i” drugiej funkcji. Natomiast wypisując ostateczne rozwiązanie między poszczególne pierwiastki równania wstawiamy spójnik „lub”.

Często popełnianym przez uczniów błędem jest pomijanie ujemnego pierwiastka w rozwiązaniu równań kwadratowych postaci
dla a >0. Uczniowie pierwiastkując obie strony równania zapominają, że
i gubią tym samym jeden pierwiastek.

Rozwiązanie tego typu równań np.
z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia:

pozwala mechanicznie zapamiętać metodę, ale nie bardzo przekonuje wszystkich uczniów.

Stwierdziłam, że przedstawiona poniżej graficzna ilustracja rozwiązania rozwiała ostatnie wątpliwości.

W podobny sposób tłumaczyłam błędy rozwiązania równania
dla a < 0 (tu a = −3):

Uczniowie często nie pamiętają, że: „pierwiastek z liczby ujemnej w zbiorze R nie istnieje”. Odpowiedź na pytanie: „czy znasz liczbę rzeczywistą podniesioną do potęgi drugiej, która jest ujemna” też nie zawsze kojarzy się uczniom z popełnionym błędem. Dobrze radzą sobie natomiast z wykresem funkcji f(x) = x² i g(x) = a gdzie a jest wartością stałą.

Po rozwiązaniu metodą graficzną układu równań

dla różnych a (odpowiednio a > 0, a = 0 i a < 0) liczba uczniów popełniających wspomniane błędy znacznie zmalała. Czy nie warto spróbować?

Alina Szołtysik

y

---