1)Wyznacz wartość kapitału 10 000 złożonego na okres 10 lat do banku, który daje 9% kapitalizacji prostej w ciągu roku. K10 = 10 000 (1,09 *10)=
2)Jaki kapitał należy złożyć do banku, który daje 9% kapitalizacji prostej w ciągu roku, aby po 5 latach otrzymać 2 840 4350= K0 (1,09 *5)
3)Jaka roczna stopa procentowa zapewni wzrost kapitału z 10 000 do 15 000 po 5 latach ,przy kapitalizacji prostej 15 000=10 000 (1+5i)
4)Wyznacz wartość kapitału 10 000 złożonego do banku na 6 lat, przy kapitalizacji prostej jeśli: w pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 9%, w dwóch kolejnych latach 8%, a w pozostałych 7%
K6=10 000(1+0,09)(1+2*0,08)(1+3*0,07)=
5)Kapitał 600 podlegał oprocentowaniu przez: a)36 dni b)2 lata i 120 dni c)3 lata i 60 dni Oblicz wartość kapitału końcowego,jeżeli i=10 %
a)KK=500(1+(36/360)*0,1)=
b)KK=500(1+(2*120/360)*0,10)=
c)KK=500(1+(3*60/360)*0,1)=
6)Na ile lat należy zainwestować kapitał ,aby przy rocznej stopie 5% i kapitalizacji prostej uległ on podwojeniu K0(1+it)=2K0 t=1/i
1) Kwotę 2 000 zainwestowano na 4 lata przy oprocentowaniu złożonym,które wynosi 8%rocznie. Wyznacz wartość końcową kapitału K4 =2 000(1+0,08)^4=
2)Jakiej wielkości kapitał należy zainwestować ,aby po 5 latach z roczną stopą 5% ,przy kapitalizacji złożonej ,uzyskać kwotę 1 000 1 000= K0(1+0,05)^5
3)Jaka stopa procentowa zapewniła w ciągu 4 lat wzrost kapitału z 5 200 do 6 201,10, przy kapitalizacji złożonej 6 201,10 =5 200 (1+ i)^4
4)Oblicz do jakiej kwoty wzrośnie po 5 latach kapitał 600, jeżeli oprocentowanie wynosi : pierwszym roku 6%, w drugim 5,5%, a w trzech ostatnich latach 4% K5=600(1,06)(1,055)(1,04)^3
5)Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał wysokości 3 000 ,złożony na 3 lata,jeżeli roczna stopa wynosi 6%,a odsetki kapitalizowane są: a)co pół roku ;b)kwartalnie ;c)miesięcznie ;d)codziennie
a) K6= 3 000( 1+ (0,06/2))^6=
b) K12=3 000(1+(0,06/4))^12=
c) K36=3 000(1+(0,06/12))^36=
d) KK=3 000( 1 +(0,06/360))^(3*360)=
6)Na jaki czas należy złożyć kapitał oprocentowany według stopy 8%, przy kapitalizacji złożonej rocznej , aby podwoił on swoja wartość K0(1+ i)^t= 2 K0 t=log2/log(1+i)
7)Kapitał 5 000 złożono do banku. Porównaj wielkość końcowa tego kapitału po 10,20,30,40 i 50 latach przy oprocentowaniu prostym i oprocentowaniu złożonym. Stopa procentowa jest równa i=4%
Kn oprocentowanie proste oprocentowanie złożone
10 5000(1+0,04 *10) 5000(1+0,04)^10
20 5000(1+0,04 *20 5000(1+0,04)^20 .....itd
1)Efektywna stopa procentowa jest równa i=10%. Jaka jest dzisiejsza wartość kapitału ,który za 3 lata wzrośnie do 13 310? K0=13 310(1/1,1)^3=
2)Oblicz efektywną stopę dyskontowa d równoważną efektywnej stopie procentowej i=10%.Jaka jest dzisiejsza wartość kapitału,który za rok wyniesie 1? d= i/(i+1)=.... K0=1-d=....
3)Mając dany czynnik dyskontujący v=0,95 wyznacz stopy d oraz i d=1-v =... i= d/(1-d)=...
4)Podaj wartość bieżącą kapitału ,który złożony do banku przy stopie i=8%, po 5 latach wyniósł
50 000 K0= 50 000(1/1,08)^5 =
5)Pan K. zawarł umowę z bankiem na mocy której ,otrzyma 10 000 po 2 latach od zawarcia um. ,jeżeli wpłaci 3000 od razu ,3 000 po roku od zawarcia um. oraz pewna sumę pieniędzy 5 lat po zawarciu um. Oblicz wpłatę na koniec 5 roku ,jeżeli i= 10%
I wszystkie pieniądze w t=2 : 10 000=3 000(1+i)^2 +3 000(1+i) + X*(1/1,1)^3 X=...
II wszystkie pieniądze w t=5: 10 000(1+i)^3= 3 000(1+i)^5+3 000(1+i)^4 +X X=...
1)Intensywność oprocentowania jest równe δ=11%.Jaka będzie wartość przyszła kapitału 1 000 po 5 latach
Kt = K0 *e δ* t =1 000*e0,11*5 =
2)Intensywność oprocentowania jest równe 6% Ile wynosi efektywna stopa procentowa i?
i= e δ -1= 2,77 0,06 -1=...
3)Jaka jest intensywność oprocentowania ,jeżeli kapitał 4 000 przy ciągłej kapitalizacji wzrósł po 4 latach
do 6 000
6 000=4 000 e4*δ ; e4*δ =3/2 ;ln e4*δ =ln3/2 ;ln e=1 więc 4δ =ln3/2 ;δ=1/4 ln 3/2=...,bo δ=(1/n) ln(Kn/K0 )
4)Po ilu latach kapitał wysokości 1 000wzrośnie do 3 000,przy kapitalizacji ciągłej zgodnie z natężeniem δ=10% 3 000=1 000e^(0,1*t) ;3=e0,1 *t ; ln 3= ln e0,1 *t ;; ln3=0,1t*ln e ;ln3=0,1t ; t=10*ln3
5) Podaj wartość kapitału jednostkowego po roku i po 3 latach ,jeżeli intensywność oprocentowania jest równe δt=(1/1+t) w chwili t. Jaka jest wartość kapitału początkowego 1 000 po 3 latach ,oprocentowanego zgodnie z intensywność δt
a(3)=e^(0∫3(dt/1+t ))=e^[ ln(1+t)]03 =(e^ln4-(e^ln1)=e^ln4=4 ,po 3 latach z 1złmamay 4zł ,więc
Po 3 latach : 1 000*a(3)=1 000*4 =4 000
1)Oblicz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na koniec każdego roku (z dołu) ,w ratach wysokości 100zł, przy stałej stopie procentowej i=5%
PV= 100*an =100*a10=... FV= 100*sn =100*s10=...
2)Oblicz wartość bieżąca i skumulowana renty płatnej przez 10 lat na początek każdego roku (z góry) ,w ratach wysokości 100zł, przy stopie procentowej i=5%
PV= 100*an =100*(1+i)a10=... FV= 100*sn =100*(1+i)s10=...
3)Wartość bieżąca renty płatnej na końcu każdego roku przez 5 lat , wynosi 3 000. Oblicz wielkość raty,jeżeli i=10% 3 000= X*a5 ;X=...
4)Wartość bieżąca renty płatnej na początek każdego roku przez 5 lat , wynosi 3 000. Oblicz wielkość raty,jeżeli i=10% 3 000= X*a5 ; 3 000=X*(1+i) * a5 ;X=...
5)Jednorazowa wpłata na konto banku kwoty 1 000,daje możliwość uzyskania regularnych wpłat po 100 na koniec każdego roku tak długo ,jak to jest możliwe. Ostatnia wpłata będzie powiększona o pozostała mniejszą płatność. Wyznacz liczbę wpłat,jeśli i=6%
1 000= 100*an ; an =10 ; a15 =9,7122≈10 więc n=15,tyle starczy przez 15 lat
6)Pracownik w wieku 40 lat zamierza przystąpić do funduszu emerytalnego wpłacając 1 000 na początku każdego roku przez 25 lat. Począwszy od 65 roku życia planuje dokonać 15 corocznych stałych wypłat na początek każdego roku Wyznacz wysokość każdej wypłaty, jeżeli efektywna stopa procentowa w całym okresie wynosi 8%
1 000*s25 =X*a15 ;1 000*(1+i)s25 =X*(1+i)a15 ; X=1 000*( s25 / a15)=.8540,92 ; 8540,92/12 ≈700zł
1)Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej,płatnej na koniec każdego roku ,w ratach wysokości 100 ,przy stałej stopie i=5% 100 *a∞=100 *(1/i)=...
2)Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej,płatnej na początek każdego roku ,w ratach wysokości 100 ,przy stałej stopie i=5% 100 *a∞=100 *(1+i/i)=...
3) Wyznacz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na koniec każdego roku (z dołu) ,w ratach rosnących 1,2,3 ,...Stopa procentowa jest równa i=5%
A=[(1+i)an-10 vn]/i=[(1+i)a10 -10 v10]/i=... ;S=(1+i)n A=...
4)Wyznacz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na koniec każdego roku (z dołu) ,jeżeli pierwsza rata wynosi 100 ,a każda następna jest większa o 200. Stopa procentowa jest równa i=5%
A=P*an +Q*( an -nvn)/i=1 000*a10+200*( a10 -nv10)/0,05=... ;S=(1+i)n A=(1+i)10 A=...
5)Wyznacz wartość bieżącą i skumulowaną renty płatnej przez 10 lat na koniec każdego roku (z dołu) ,jeżeli pierwsza rata wynosi 100 ,a następne raty są o 4%większe .Stopa procentowa i= 7%
A=[1-((1+k)/(1+i))n]/(i-k)=1 000[1-(1,04/1,07)20]/(0,07-0,04)=... (rosnąca w sposób geometryczny)
6) Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej,płatnej z dołu ,w ratach rosnących 1,2,3,4.... Stopa procentowa i=5% A=P/i+Q/i2 =1/0,05+1/0,052 =....(rosnąca w sposób arytmetyczny)
7) Oblicz wartość bieżącą renty wieczystej,płatnej z dołu ,w ratach rosnących Pierwsza rata jest równa 100 ,a każda następna jest o 10 zł większa Stopa procentowa i=5% A=100/0,05+10/0,052 =.
8)Wyznacz wartość bieżąca renty płatnej z dołu ,której raty rosną o jedna jednostkę od 1do 10 ,a naste pnie są stałe .Łączna liczba rat wynosi 25. Stopa procentowa i=4% WB=WB1+v10WB2=([1,04a10-10v10]/0,04)+v10*10a15= .... ;zauważ ,że P=Q=1 ,to ładniej WBRA= [(1+i)an-nvn]/i
1)Bank oferuje zakup bonu pieniężnego,który zapewnia właścicielowi bezterminowo stałe odsetki w wysokości 100.Jaka jest maksymalna cena tego bonu ,przy którym zakup jest opłacalny,jeżeli roczna stopa procentowa jest równa 4% WB=100 *a∞=100 *1/i=100*1/0,04=...
2) Pewien inwestor zgromadził kapitał wysokości 100 000 i wykupił polisę ,która zapewnia rocznie 6% stopę zwrotu z inwestycji tego kapitału. Na jak duże raty renty wieczystej (płatnej z dołu) z tego kapitału może liczyć inwestor 100 000=X *a∞=X/i X=....
3) Nieruchomość została wydzierżawiona na 12lat W umowie dzierżawnej zastrzeżono zmianę wysokości czynszu co 4 lata .Przez pierwsze 4lata będzie on wynosił 3 000 rocznie ,płatne na początku roku ,później 4 000 i przez ostatnie 4 lata 5 000 Oszacować wartość dochowa tej nieruchomości ,przy założeniu stopy procentowej 10% WB=3 000a4+4 000v4a4+5 000v8a4 =1 000a4 (3+4v4+5v8 )=...
4) Przewiduje się ,że dochód netto z pewnej nieruchomości na koniec roku wyniesie5 000 ,a w kolejnych 4 latach będzie wzrastał o 2%. Nieruchomość ta ,może być odsprzedana na koniec szóstego roku za kwotę 10 000 .Jaka wartość ma dzisiaj ta nieruchomość ,jeżeli akceptowana przez nabywców wysokość stopy procentowej jest równa 6% WB=WB1+10v6=5[1-(1,02/1,06)5]/(0,06-0,02)=...
1) (Jak długo będzie spłacany kredyt) Chcemy zaciągnąć kredyt wysokości 10 000 Miesięcznie jesteśmy w stanie spłacić 400.Jak długo potrwa spłacanie kredytu,jeżeli efektywna roczna stopa procentowa jest równa 12,68%,a raty płacimy na koniec miesiąca (1+i)= (1+j)12 ;1,1268=(1+j)12 stąd j= 1% ;
10 000=400an ;an =25 Z tablicy3 odczytujemy,że przy stopie r=1% an>25 przy n=29 ;29/12=2lata i 5 m
2) (Jakie będą raty kredytu) Chcemy zaciągnąć kredyt wysokości 10 000 na okres 5 lat. Kredyt oprocentowany jest 12% w skali roku. Czy stać nas będzie na spłaty rat kredytu , a zatem jaka będzie wielkość spłacanych rat,jeżeli raty płacimy na koniec roku 10 000=Xa5 X=10 000/a5 X=...
3) (Jakiej wysokości jest kredyt) Sąsiad spłaca kredyt przez 3 lata w ratach miesięcznych wysokości 300.Jakiej wysokości wziął kredyt ,jeżeli efektywna miesięczna stopa procentowa wynosi 1%,a raty płacone są na koniec miesiąca n=12*3=36 ;K36=300a5 =....
4) (Jakie jest oprocentowanie kredytu) Kredyt wysokości 10 000 ma być spłacony przez 3 lata w ratach wysokości 4 000 ,na koniec każdego roku(n). Jakie jest oprocentowanie kredytu? 10 000=4 000a3 ; a3=2,5 Z tablicy3 odczytujemy dla n=3 stopę prawie 10 %
5) (ile pozostało do spłacenia kredytu) Kredyt jest spłacany przez 10 lat w ratach wysokości 1 000 zł ,na koniec każdego roku. Roczna efektywna stopa 12% a)Jaka jest wysokość kredytu? b)ile zostało do spłacenia kredytu po roku spłacania? c) Po ilu latach zostanie spłacona połowa kredytu?
a)K=1 000 a10 =... b)B1= 1 000 a9=... c)1/2K=2825 ;2835=1 000 a K ;aK=2,825 ;K=4 ;10 -4 =6 lat
6) Kredyt jest spłacany w 10 ratach wysokości 2 000 na koniec każdego roku .Oblicz metoda prospektywną i retrospektywna wielkość kredytu pozostałą do spłacenia po wpłaceniu 5 raty ,gdy i= 10%
MP: n= 10-5 = 5 ; B5=2 000a5=7,582 MR: K=2 000a10=12 289,2 ; B5=12 289,2(1,1)^5 =2 000s5=7582
7) Zbudować tablicę amortyzacyjną kredytu w wysokości 1 000 spłacanego w 4 równych ratach ,na koniec roku ,przy i=8% ; rata (R)=1 000/a4=1 000/3,3121=301.92 ; odsetki w 1 racie I1=iK=0,08*1 000=80
część główna w racie P1=R1-I1=221,92 ;pozostała do spłacenia część główna B1=K-P1=778,08 I2=iB2
8)Kredyt jest spłacany ratami wysokości 300 na koniec każdego roku przez nieznany okres czasu. Wielkość odsetek w 3 racie wynosi 200 .Znajdź wielkość kapitału głównego w 6 racie (I=odsetki ;P=spłacone raty) 300 = I3+P3 ;300=I6+P6 ;I3=300(1-v2)=200 stąd v=0,5774 ;P6=300v5=300*0,5774^5=19,25
1)Udzielono kredytu wysokości 10 000 Kredyt jest spłacany w 4 ratach płatnych na koniec roku .Raty kapitałowe (części główne) płatne w kolejnych latach wynoszą P1=2 000,P2=3 00,P3=4 000 P4=1 000. wyznacz wysokość rat kredytu oraz wielkość zapłaconych odsetek ,jeżeli i=8%
(B=wielkość kredytu ,która pozostanie po wpłaceniu k-tej raty)
B1=10 000-2 000=8 000 ; I1=i*K R1=P1+I1
B2=8 000-3 000 =5 000 ; I2=i*B1 R2=P2+I2
B3=5 000-4 000=1 000 I3=i*B2 R3=P3+I3
B4=0 I4=i *B3 R4=P4+I4
2)Udzielono kredytu wysokości 30 000 ,ze stopą i=9%.Kredyt ma być spłacony w ciągu 5 lat ,w ratach płatnych na koniec roku. Raty kapitałowe tego kredytu są stałe i wynoszą P= 6 000. Podaj harmonogram spłat tego kredytu. P=30 000/5 ;Ik=iK(1-(k-1)/n=...np.I2=0,09*30 000(1-1/5)=2160 ;wielkość zapłaconych odsetek I=Ki*(n+1)/2=2700*(5+1)/2= 8100
3) Udzielono kredytu wysokości 12 000 Kredyt jest spłacany w ciągu 10 lat, w jednakowych ratach kapitałowych płatnych na końcu każdego miesiąca. Roczna nominalna stopa dla tego kredytu wynosi i(12)=12%. Podaj łączną stopę zapłaconych odsetek oraz koszt tego kredytu.n rat: 10*12=120 ;rata kapitałowa: P=12 000/120 = 100 ; I=Kj*(n+1)/2=12 000*0,01*(121/2)=7260 ;j=1% ;koszt kredytu:1+i=(1+j)^12 i=12,86
4) Udzielono kredytu wysokości 12 000 na okres 1 roku .Kredyt ma być spłacony w dwóch ratach 6 000 i 8 000 płatnych na koniec półrocza i koniec roku. a)ile wynosi nominalna stopa tego kredytu b)oszacować koszt tego kredytu c)rozpisać harmonogram spłat
a)j-stopa półroczna ;12 000= 6 000v + 8 000 v2 ; 4v2+3v-6=0 ;∆=105 v=0,9059 ;1/(1+j)= 0,9059; j=10,4%*2
b)koszt kredytu=efektywna stopa roczna tego kredytu 1+i=(1+j)^2 i=21,88
c)R (rata)->I (odsetki w racie)->P (część główna w racie)->B (pozostała do spłacenia część główna)
UWAGA: R=wielkość kredytu/an I=1-=... P ( Tabela 1 ) vn = B ( tabela 3 ) an=.....
1) Spółka zobowiązała się wypłacić z akcji na koniec każdego roku ,dywidendę o stałej wysokości 10 zł. Ile warte są akcje ,jeżeli stopa zwrotu wynosi i=5% P=D/i=10/0,05=200
2) Dywidenda z pewnej akcji w pierwszym roku wynosi 10 zł ,a w następnych latach dywidendy rosną w tempie 18% Ile warte są akcje sp. przy stopie zwrotu i=12% P=D/(i-g)=10/(0,18-0,12)=166,679 m.Gordona
3)Ubiegłoroczna dywidenda była równa 15 Zakłada się ,ze przez 3 kolejna lata dywidendy będą rosły w tempie 20% ,a później ustabilizują się na poziomie 5% w skali roku .Przewidywana stopa i=12% .Oblicz cene akcji. D1=15*1,2=18 ; D2=18*1,2=21,6 ;D3=21,6 *1,2 =25,92 stąd P1=18/1,12+21,6/1,12^2+25,92/ 1,12^3=51,74 dalej D4=25,92*1,05=27,22 stąd P2= D4/(i-g)=388,86 ostatecznie cena akcji wynosi P=P1+v3 P2=328,52 Model 2 faz
4) Inwestorzy ,którzy zainwestowali w akcje pewnej sp. spodziewają się ,że dywidendy przez nią wypłacane będą wzrastać o 15 % rocznie przez najbliższe 5 lat, a potem wypłaty dywidend będą rosnąć o 2% Jaka jest wartość bieżąca tych akcji, jeżeli ostatnia dywidenda wypłacona przez ta sp. wynosiła D=10 ,a stopa zwrotu i=10% D1=D(1+g)=10*1,15=11,50 ;P=D1*[1-(1+g/1+i)n ]/(i-g)=11,5*[1-(1,15/1,1)n ]/(0,1-0,15)
D5=D(1+g)^4=... D6=D5*(1+w)=D5*1,02=... P2=D6/(i-w)=... P= P1+v5P2=...
1)Jaka jest wartość obligacji o trzyletnim terminie wykupu,wartości nominalnej 100 równej cenie wykupu,stałym oprocentowaniu r=16%, odsetkach płaconych co rok? Stopa zwrotu dla tej obligacji i= 12%
(P=wartość/cena obligacji;i=stopa %,techniczna ;C=cena wykupu ;F=cena nominalna)
F=C=100 ; P=Fr* a3 +C v3
2) Ile warta jest 2-letnia obligacja o stałym oprocentowaniu 14% i odsetkach płaconych co pół roku? Wartość nominalna tej obligacji wynosi 1 000 ,a stopa zwrotu -10.25% r1=(√ (1,14)-1)*100%=6,8% ; j=(√ (1,1025)-1)*100%=5% F=C = 1 000,wiec P=Fr1* a4 + 1 000 v4 (<-dla j)=1064
3) pięcioletnia obligacja o wartości nominalnej 100, stopie kuponowej kwartalnej r(4)=12%,odsetkach płaconych co kwartał, została wykupiona za 105 ,przy stopie zwrotu efektywnej półrocznej i(2)=16,32%.Wyznacz cene obligacji. r=r(4)/4=3% ; (1+j)^2= (1+i(2)/2) stąd j=4% ;P=Fr*a20+105 v20(<-dla j=4%)=3*13,590+105*0,4564=89
4) Dana jest obligacja bez kuponów odsetkowych, której do terminu wykupu pozostało 4 lata. Wartość nominalna tej obligacji wynosi 1 000 ,a stopa zwrotu i=11%. ile warta jest obligacja
P=1 000*v4(dla i=11%)=659
5)Na rynku są 2 obligacje bez kuponów odsetkowych:2 i 3 letnie o wartości nominalnej 1 000. Które z tych obligacji mają większą cenę,jeżeli stopa zwrotu dla obligacji 2 letniej wynosi 8% ,a dla 3 letniej 12%
P1=1 000v2 (dla0,08)=857 ;P2= 1 000v3(dla 0,12)=712 Odp :dwuletnie
6) Cena rocznych obligacji skarbowych bez kuponów odsetkowych wynosi 890. Wartość nominalna tych obligacji jest równa wartości wykupu i wynosi 1 000 Jaka jest stopa zwrotu dla tych obligacji
890=1 000v1=1 000/(1+i) 1+i=1 000/890 stąd i=12,36%
7) Piętnastoletnia obligacja o cenie nominalnej 100, wypłacająca odsetki na koniec każdego roku ,wysokości r= 10%, została wykupiona za cenę 92 .Wyznacz stopę zwrotu i dla tej obligacji.
C=F i=[g-(s/n)]/[1+((n+1)/2n )*S] ,gdzie: n-liczba kuponów ;g= (F/C)*r ;S=(P-C)/C stąd
i=[0,1-(-0,08/15)]/[1+((15+1)/2*15 )*(-0,08)]=11%
8)Dwuletnia obligacja o cenie nominalnej F 100 ,cenie wykupu C 110 ,wypłacająca odsetki na koniec każdego kwartału ,została kupiona za cenę P 120 .Wyznacz stopę zwrotu i dla tej obligacji ,jeżeli r (4) =12%
n=2*4=8 ; r= r(4)/4=3% ;liczymy j do wzoru na i z zad. wyżej -> j=1,5% ; (1+j)^4=1+i stąd
i=[(1,015)^4-1] *100=6,13%
1)Jakie jest prawdopodobieństwo przeżycia więcej niż 5 lat kobiet będących w wieku 20 lat
KpX=(lX+K)/lX=5p20=l25/l20=98898/99033
2)Jakie jest prawdopodobieństwo zgonu za rok kobiety w wieku 20 lat?
qX=dX/lX= d21/l20=28/99033
inne wzory na prawdopodobieństwo : ze przeżyjemy 1 rok pX=1-qX
śmierci przed upływem k-lat KqX=1-KpX