ZBIÓR - coś co zbieramy w jednym miejscu; ważne jest ograniczenie miejsca; pojęcie zbiory rozumiane jest intuicyjnie i sami musimy dojść do jego sformułowania, wypracowania podczas zaznajamiani dzieci ze zbiorami; to pojęcie w matematyce jest uznawane za pierwotnie i niedefiniowalne; można tutaj utworzyć wyjaśnienia od czasownika zbierać „tworzymy zbiór bo zbieramy jakieś elementy znajdujące się w różnych miejscach w jednym miejscu”; budując pojęcie zbioru musimy akcentować że elementy które go tworzą powinny być blisko siebie, powinniśmy je objąć wzrokiem a często też ograniczyć powierzchnię na której się znajduje kreską, pętlą itp. ELEMENT ZBIORU coś co jest w zbiorze. Zbiór A element e np. A={e}
ZBIORY POLICZALNE da się pliczyć ile jest elementów, zbiór skończony np. zbiór ołówków ZBIORY NIEPOLICZALNE nie można ich policzyć, nie ma sensu ich liczyć, zbiór nieskończony np. zbiór piasku, zbiór włosów Basi na głowie. PODZBIÓR musi pojawiać się druga cecha wspólna DZIAŁANIA NA ZBIORACH nie wszystkie reguły charakteryzujące działania na liczbach można przenieść do działań na zbiorach 1)ustalenie liczebności zbiorów poprzez przeliczanie jego elementów. Zbiór ma 7 elementów Porównywanie Porównywanie parami SUMA DWÓCH ZBIORÓW suma elementów dwóch zbiorów np. A i B: łączymy dwa zbiory: zbiór elementów należących do zbioru A lub należących do zbioru B. Zapis AuB oznacza łączenie zbiorów AiB RÓŻNICA ZBIORÓW to zbiór wszystkich elementów które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B zbiór; różnica zbiorów nie jest działaniem odwrotnym do sumy zbiorów, brak zależności, jakie zachodzą między dodawaniem i odejmowaniem; zbiór kół K i zbiór małych figur geometrycznych F. Różnicą zbiorów K i F nazwiemy zbiór tych wszystkich elementów ( w tym wypadku dużych kół), które należą do zbioru K i nie należą do zbioru K \ F=K' F\K=F' C zbiór małych kół MONOGRAFIA LICZBY to opis jednej konkretnej liczby; wprowadzenie liczby w ramach monografi liczby dokonuje się jej opis tak by w pełnej formie ukształtowała się w świadomości dziecka. CYFRA znak graficzny liczby, przy pomocy którego ją zapisujemy; więc słowo cyfra najczęściej stosujemy w połączeniu pisać; mamy 10 cyfr od 0 do 9; LICZBY NATURALNE 1,2,3,4,0,5,6,7,8,9 - 0 w środku, aby porównać, musi być odniesienie. ZASADY 1) „zasada jeden na jeden” polega ona na tym, że dz. przeliczając elementy powinno palcem dotykać danego elementu i wtedy wypowiadać właściwy liczebnik główny.2) „zasada kardynalności” oznacza, iż ostatni wypowiedziany liczebnik oznacza jednocześnie liczebność zbioru czyli odpowiada na pytanie: ile tu jest? 3)„zasada ustalonego porządku” oznacza ona, że w zbiorze który jest przeliczany muszę sobie ustalić miejsce od którego zaczynam i do którego zmierzam „zasada niezależności porządkowej” nie ma znaczenia, od której strony zaczniemy, ale musimy trzymać się obranej metody (od lewej do prawej lub na odwrót) „zasada abstrakcji” realizacja tej zasady polega na łącznym przeliczaniu niejednorodnych elementów (różniących się kształtem, wielkością, przeznaczeniem np. policz mi zabawki w koszu, nie: ile jest misiów, ile jest lalek- tylko mamy np. 7 zabawek)TRZY POZIOMY OPRACOWYWANIA KAŻDEGO NOWEGO ZAGADNIENIA we wczesnej edukacji matematycznej. I poziom - ENAKTYWNY - dziecko działa na konkretach, które może dotknąć, zobaczyć, przenieść, zgodnie ze sformułowanym przeliczeniem n-la (konkretnie doświadcza pewnych kwestii) np. w koszyku mamy 5 zabawek; prosimy dziecko żeby je przeliczyło powiedziało ile ich jest? Dz. widzi, dotyka wykłada i liczy; łatwiej mu jest to zrobić bo doświadcza. II poziom IKONICZNY -poziom obrazka, działamy na obrazie czyli jeszcze widzimy, ale już nie możemy manipulować (poziom planszy, podręcznika) III poziom ABSTRAKCYJNY - kiedy dziecko nie może manipulować, nie widzi konkretnego obrazka i musi odwołać się do swojej wyobraźni, czasem odtworzyć, przywołać pewne doświadczenia wykonane wcześniej na konkretach (poziom symbolu, cyfry, 3+2= w głowie musi przeliczyć). ASPEKT KARDYNALNY (inaczej mnogościowy) wyrażany jest przez określenie liczby elementów w zbiorze (czyli tzw. mocy zbioru), a więc dostrzeganie liczby w tym aspekcie wiąże się z odpowiedzią na pytanie: ile? Aby ukształtować liczbę w tym aspekcie dokonujemy dużej ilości ćwiczeń związanych z przeliczaniem (zgodnie z wcześniej wskazanymi zasadami zbiorów o danej liczbie elementów). I znowu to przeliczanie musi być dokonywane enaktywnie, ikonicznie a następnie na poziomie abstrakcyjnym. Poza liczbą 1 przy wprowadzaniu każdej kolejnej liczby pokazujemy, iż liczba większa bezpośrednio po niej następująca powstaje poprzez dołożenie jednego elementu do zbioru wcześniej przeliczanego ASPEKT PORZĄDKOWY (ORDYNALNY) jest on wyrażony przez określenie, który z kolei element danego zbioru jest wskazywany, wyodrębniany, analizowany (w zależności co robimy)czy też która liczba jest kolejna w jakimś ciągu liczbowym. Ukształtowanie tego aspektu wiąże się z budowaniem odpowiedzi: który z kolei. Do przeliczania wykorzystujemy liczebniki porządkowe, a budując polecenia do dziecka musimy wskazywać od jakiego miejsca ma dziecko zacząć przeliczać (np. jaki kolor ma 3 kwadrat od lewej strony). ASPEKT MIAROWY jego sens wiąż się ze stwierdzeniem ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa; ukazujemy to na liczbach w kolorach=> klocki CUISENAIRA, no osi liczbowej, a następnie w różnego typach pomiarach. Aspekt ten ma duże znaczenie w przygotowaniu dziecka późniejszego poznania liczb niecałkowitych czyli ułamków. Liczby w kolorach - środek dydaktyczny wprowadzony do polskiej matematyki przez prof. H. Moroza; mają charakter przestrzenny, mają długość, szerokość, wysokość. Wynik pomiaru zależy od miary=> im mniejsza miarka tym więcej razy wchodzi, mieści się. ASPEKT ALGEBRAICZNY wyraża się on początkowo rozkłądem liczb na skłądniki, a następnie składaniem składników, aby utworzyły wskazaną liczbę. Aspekt ten jest wprowadzającym do działań na liczbach przezde wszystkim do dodawania i ćwiczy myślenie analityczno- syntetyczne. KOLEJNE ETAPY PRZY MONOGRAFII LICZBY 1)utworzenie danej liczby poprzez powiększenie poznanej wcześniej o jeden: doliczenie, dołożenie czegoś 2)wyodrębnienie zbiorów o określonej liczbie elementów np. jeżeli pznajemy 5, to są to zbiory pięcioelementowe; przeliczanie tych zbiorów w celu utrwalenia aspektu kardynalnego 3)Określenie miejsca liczby w ciągu liczbowym i jej związku z liczbami sąsiednimi; wskazywanie np. piątego elementu w jakimś uporządkowanym układzie - aspekt porządkowy 4) określenie ile razy w pznanej wielkości np. 5 mieści się wielkość jednostkowa - aspekt mairowy 5)pisanie cyfr jako znaku graficznego danej liczby ze zwróceniem uwagi na sposób kreślenia i rozmieszczania poszczególnych elementów cyfr w kratkach; ćwiczenia kształtujące tę umiejętność 6) rozkłąd liczby na składniki; analizowanie, składanie danej liczby z różnych składników, syntetyzowanie; ćwiczenia w zapisie jednego i drugiego 5=4+1 analiza=>mamy wynik i szukamy liczb, na które można go rozłożyć; 4+1=5 synteza mamy liczby które składamy i szukamy i szukamy jaki mamy wynik 7) zastosowanie poznanej liczby w praktyce, w życiu oraz w rozwiązaniu zadań tekstowych. 1) DIAGRAM KOŁOWY: ćwiczenia na utrwalanie dodawania i odejmowania lub mnożenia i dzielenia. 2) OŚ LICZBOWA i obłoczki nad nią lub pod nią, wyniki zaznaczamy na osi.3) GRAFY dwa kółczeka i strzałeczka - wyeksponować strzałkę, która wskazuje kierunek działań=> kilka kółeczek i strzałeczek w jednym szeregu i tylko np. na górze strzałki=>graf z dwoma kółeczkami i strzałki na dole i górze=> więcej grafów w szeregu.4) DRZEWKO MATEMATYCZNE szuakmy wyniku=> utrudniamy =>szukamy znaku=> drzewko dwupoziomowe. 5) TABLEKI FUNKCYJNE otwarte, zamknięte 6) ZBIORY 7)KWIATKI MATEMATYCZNE zaczynamy od zaznaczonego płatka poruszamy się jak pszczółki; pszczółka usiąść może dopiero wtedy gdy dojdziesz do wyniku; co trzeba zrobić aby przejść z płatka na płatek KLOCKI CUIZINERA PRZYKŁADY ASPEKT MIAROWY dz. powinny się pobawić, ponazywać kolory, podotykać; dzi ukłądają klocki od największego do najmniejszego, i na odwrót, każdy następny klocek różni się od swojego poprzednika o jeden biały klocek *podniejście najdłuższy klocek jaki ma kolor? Jaką ma wartość? * po działaniach oswajających przechodzimy do działań połóż kolcek czerwony a nad nim klocek biały; ile razy w czerwonym klocku mieści się klocek biały? ASPEKT ALGEBRAICZNY * spróbuj zastąpić klocek o wartości 5 dwoma różnymi innymi klockami 4+1 ale 1+4 też naprzemienność, 2+3, 3+2 * spróbuj zastąpić klocek 5 dowolnymi klockami *dywanik liczbowy, jeden pod drugim - kto ułoży najdłuższy dywanik, wykańczamy dywanik frędzelkmai białymi czyli 1; dywanik musi być równy; np. 5=3=2, 5=2+3 itd. ASPEKT SYNTETYCZNY *złóż dwa klocki, które będą tak samo długie jak 5; „na zasadzie prób i błędów”; mierzymy klockiem 5 inne klocki, na zasadzie intuicji, przykładać, składać; DZIAŁANIA ANALITYCZNE daną liczbę rozkłądamy na liczby mniejsze, które dodane dadzą nam tą liczbę DZIAŁANIA SYNTETYCZNE składamy jakąś liczbę, aby uzyskać wynik, dobieramy liczby aby uzyskać wynik. FORMUŁA MATEMATYCZNA jest symbolicznym przedstawieniem działania arytmetycznego (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia) za pomocą słów lub cyfr i znaków matematycznych: dodać (plus+), odjąć (minus -), znaku mnożenia (*), znaku dzielenia (:) oraz znaku równości (=).. Formuła matematyczna tworzy się stopniowo w umysłach dzieci. Dzieci wykonują czynności pod kierunkiem nauczyciela DODAWANIE zgodnie z zasadą stopniowania trudności do wprowadzania formuły można przystąpić wówczas, gdy dzieci mają już elementarne pojęcie liczby i jej symbolu (cyfry), umiejętność wykonywania działań na zbiorach bez zapisu oraz poznały już znak równości przy porównywaniu mocy zbiorów za pomocą liczb. 1.dokladanie, dosuwanie => dużo; odsuwanie, zabieranie => mniej - za każdym razem dz. przelicza tak jak umie 2. dz. samo dokłada, odsuwa, kieruje się zasadą: muszę je policzyć wszystkie 3. liczenie palców 4. doliczanie i odliczanie => dwie kostki - ile jest raze,? Zabieranie kasztanów - ile zostało 5. liczenie w pamięci ETAP I materiał jednorodny; wyeksponowana czynność => dosuwanie, dochodzenie, dostawianie, dosypywanie; dz. może narysować znak + w zeszycie wykorzystując naturalną kratkę ETAP II materiał niejednorodny (różnorodny z wszystkimi elementami) np. do 2 aut dojeżdżają 2 motory; w pytaniu musi pojawić się uogólnienie: ile pojazdów jest na parkingu? Dz. odpowiadają uogólnieniem również; mocno wyeksponować czynność. ETAP III pojawia się inny czasownik, nie ma dojechać, dołożyć=> pojawia się zrobić, zerwać, kupić; nie ma czasownika sugerującego powiększania, przybywania; różnorodne elementy do przeliczania ODEJMOWANIE JEST ODWROTNYM DZIAŁANIEM DODAWANIA. ETAP I materiał jednolity, jednorodny; mocno wyeksponowana czynność; odwoływać się do wcześniejszych wiadomości; szukamy czasownika blisku słowu odjąć: odjechać, odsunąć, odciąć, odlecieć, odebrać odpłynąc; na poziomie słownym wprowadzamy określenia; na poziomie ikonicznym widzimy na obrazku, już nie manipulujemy, możemy skreślić, wygumować, wyciąć żeby pokazać dzieciom. Sposób symboliczny zapis 5-2=3 ETAP II materiał nejednorodny, różny pomieszany; wyeksponowana czynność: zjadły, odjechały, odsunięto; pokazać na przykładzie (poziom enaktywny), poziom ikoniczny pokazać na obrazku, skreślić; później pojawia się zapis. ETAP III różnorodny materiał zadanie z ukrytą niewiadoą. ZADANIA TEKSTOWE O CZYM POWINNY BYĆ? Treść powinna nawiązywać do rzeczywistości, w któ®ej dziecko żyje; pozwala to łatwiej integrować matematykę z innymi przedmiotami a poza tym pokazuje że matematyka jest w życiu potrzebna, jest obecna jesteśmy zmuszeni z niej korzystać. Zadania mają być realistyczne czyli mają pokazywać rzeczywistość taką jaką ona jest. TYPY ZADAŃ TEKSTOWYCH 1)wg M. LASOCKIEJ 3 kategorie *ze względu na liczbę działań wymaganych do rozwiązania zadania; wyróżnia zadania tekstowe proste, do rozwiązania któ®ych potrzebne jest jedno działanie oraz zadania złożóne do rozwiązania których potrzebne są co najmniej dwa działania; nowa podstawa programowa narzuca rozwiązywanie przede wszystkim zadań prostych, jednodziałaniowych, natomiast dla uczniów zdolnych postuluje się wprowadzać dodatkowo zadania złożone *układ danych w tekście zadania - w tym kryterium wyróżnia się o uporządkowanym układzie danych i o nieuporządkowanym układzie danych; w pierwszym przypadku: ada zrobiła z 7 kasztanów 4 kotki i 2 pieski; ile zwierzatek zrobiła? Spisujemy dane tak jak w tekście 4+2=6. zadania o uporządowanym układzie danych to takie, w których z treści zadania wynika wprost jaka formuła matematyczna powinna być zastosowana do rozwiązania zadania.W drugim przypadku ada zrobiła z kasztanów 6 zwierzątek w tym były 2 pieski a reszta to kotki. Ile było kotków? 2+?=6; 6-2=? Zadanie o nieuporządowanych danych to takie w których do rozwiązania formuły matematycznej dochodzimy poprzez przestawienie danych w tekście czasem także zastosowania równania. *sposoby wyrażania danych matematycznych - rozróżnia się tu zadania: arytmetyczne gdzie formuła rozwiązania wprost wynika z treści zadania i algebraiczne (z tym zawoluowanym)które rozwiązywane są przy pomocy równań; we wczesnej edukacji one się pojawiają w bardziej zawoluowanej formie: okienka, grafu. WG MARII POTEMKOWSKIEJ tworzy typologię zadań tekstowych typu problemowego; zadania o problemach zamkniętych i otwartych; zadania zamknięte mają jedną bądź nieco większą ale określoną liczbę rozwiązań np.2; natomiast w zadaniach otwartych występuje duża często nieograniczona liczba poprawnych odpowiedzi np. basia ma 7 lat. A jej brat mateusz jest od niej starszy; ile lat może mieć mateusz? ZADANIA CELOWO ŹLE SFORMUŁOWANE: *zadania zawierające sprzeczne dane *zadania w których występuje nadmiar danych; dają się rozwiązać nawet wtedy gdy zrezygnujemy z niektóych danych; *zadania w których wystąpuje niedomiar danych; na podstawie tego co powiedziano w zadaniu nie da się odpowiedzieć na postawione pytanie. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TREŚCIĄ: przekształcanie zadania - oznacza zastąpienie danego zadania taki który ma nieco zmodyfikowany charakter; samodzielne układanie zadań; rozwiązywanie zadań tekstowych;
|
|