METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TOK POSTĘPOWANIA
1)Dyskretyzacja - podział układu na skończoną liczbę elementów a) ciała 3D dzielimy powierzchniami b) ciała 2D dzielimy liniami
c)ciała 1D dzielimy punktami
2)Utworzenie globalnego układu współrzędnych dla danego układu
3)Lokalny układ współrzędnych dla poszczególnych elementów
4)Obliczenie macierzy sztywności [Ke] oraz wektora obciążeń węzłów [R] dla układów lokalnych
5)Transformacja powyższych wielkości dla układu globalnego {Re}= [θT] [Re]
[Ke] = [θT] [Ke] [θ]
6)Podbloki macierzy [Ke] - łączone w globalne macierze sztywności [K]
7)Podbloki wektora {Re} dodajemy w miejsce odpowiednich współrzędnych węzłowych k(i,j) będących węzłami układu, dodajemy wektory obciążeń węzłów R = ∑Rep + P
DEFINICJA WSPÓŁRZĘDNYCH kij MACIERZY ELEMENTU DLA RAMY PŁ.
kij - współczynnik macierzy elementu dla ramy płaskiej oznacza (uogólnioną) reakcję więzi „i” układu podstawowego spowodowaną jednostkowym przemieszczeniem w kierunku więzi „j” gdzie i,j = 1,2,.....n
Na podstawie twierdzenia o wzajemności prac Bettiego wykazuje się twierdzenie o wzajemności reakcji, czyli symetrię macierzy sztywności kij = kji
Równania kanoniczne :
K11*Y1 + K12*Y2 +.....+ K1n*Yn + R1p + R1t + R1Δ =0
..
.
.
Kn1*Y1 + Kn2*Y2 +.....+ Knn*Yn + Rnp + Rnt + RnΔ =0
RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ (Równania stanu obciąż. ; wirtualnego stanu przemieszczenia)
Pracą wirtualną nazywamy prace wykonaną przez uogólnione siły na odpowiednich przemieszczeniach wirtualnych. Podczas jej wykonywania uogólnione siły nie ulegają zmianie dlatego praca wirtualna wyraża się iloczynem sił uogólnionych i odpowiadających im prac wirtualnych. W = P*Δ
∑Pi yi (s) = ∫ (MΔdϕ + NΔds + TΔdh)ds
Praca obciążeń zewnętrznych na wirtualnych przemieszczeniach równa jest pracy sił wewnętrznych na wirtualnych odkształceniach
1δip = ∫(MiMp/EJ + NiNp/EA + k*TiTp/GA)ds.
dla układu kratowego
1δ1p = ∑ (zkzk/EkAk)*lk
zk , zk - siły w pręcie k
lk - długość pręta
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI UKŁADU
n = rp + 3z - (3 + p)
rp - liczba reakcji podporowych
z - liczba układów zamkniętych
p - liczba przegubów
Schemat obliczeniowy nazywamy statycznie wyznaczalnym wtedy gdy będziemy wstanie wyznaczyć siły wewnętrzne i reakcje w układzie na podstawie równań równowagi
∑X = 0
∑Y = 0
∑M = 0
RÓWNANIA 3 MOMENTÓW DLA BELKI CIĄGŁEJ
xk - 1lk' + 2xn(lk' + l'k + 1 ) + xk + 1l'k + 1 = Nkp
lk' = lk (Jc/Jk) ; Nkp = - 6EJc*(ϕ l1p + ϕ pip)
Linią wpływową wielkości „k” (reakcji lub siły wewnętrznej) nazywamy obraz graficzny zmiany tej wielkości w zależności od położenia siły jednostkowej.
Każda rzędna linii wpływu wskazuje na wartości reakcji lub siły wew. Która powstaje gdy nad tą rzędną znajduje się siła jednostkowa.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA PODANYCH WIELKOŚCI δik , δip
δik - przemieszczenie punktu pod obc. jednostkowym xk =1
δik = ∫(MiMk/EJ + NiNk/EA + k*TiTk/GA)ds.
δi1*x1 +δi2*x2 +.....+ δik*xk +δin*xn + δip = 0
suma przemieszczeń na kierunku „i” wywołana działaniem sił jednostkowych x1,x2,...xk = 1
δik - przemieszczenie wywołane siłą zewnętrzną (przemieszczenie punktu „i”)
δip = ∫(MiMp/EJ + NiNp/EA + k*TiTp/GA)ds.
KLASY UKŁADÓW STATYCZNIE WYZNACZALNYCH - SPOSOBY ICH ROZWIĄZANIA
Układy statycznie wyznaczalne
Belki-
o osi prostej
o osi zakrzywionej
o osi załamanej
ciągłe gerberowskie
Ramy-
rama trójprzegubowa
łuk
Kratownice
Układy złożone
typu ramowego
ramowo - kratowe
Układy statycznie wyznaczalne to takie w których przy zadanych obc. Wszystkie reakcje sił wew. można wyznaczyć z warunków równowagi.Jeśli tak nie jest nazywamy układ geometrycznie niewyznaczalnym.Stopień geom.Niewyznaczalności
ng = k + t k - liczba węzłów swobodnych ;
t- liczba niezależnych przesunięć.
Przesówność lub nieprzesówność układu określamy na podstawie analizy kinematycznej. W tym celu zamieniamy wszystkie węzły (także podporowe) na przeguby.
a) Układ przegubowy ,geometrycznie niezmienny, nieprzesówny t = 0 ; ng = k
b) Układ jest chwiejny(geom. zmienny) ng = k + t
ns = rp + 3z - (3 + p)
ns>0 - układ geom.
niezmienny(chwilowo
zmienny)
ns=0 - układ niezmienny
ns<0 - układ chwiejny
KONCEPJA METODY PRZEMIESZCZEŃ (PEŁNEJ I UPROSZCZONEJ) - Dlaczego w metodzie uproszczonej wyróżniamy układy przesówne i nieprzesówne
Metoda przemieszczeń jest drugą (obok metody sił) metodą rozwiązywania układów prętowych w statyce budowli. Jest szczególnie korzystna dla układów zbudowanych z prętów prostoliniowych. W metodzie przemieszczeń rozpatrujemy każdy układ prętowy jako zbiór prętów i węzłów.
W metodzie pełnej
- Dla “r” węzłów swobodnych można napisać 3r równań równowagi
- W miejsce sił przywęzłowych wstawiamy wzory transformacyjne i otrzymujemy 3r równań liniowych, w których wystąpi 3r nieznanych składowych przemieszczeń
- Po rozwiązaniu otrzymamy niewiadome gometryczne u,v,ϕ pozwala to na wyznaczenie sił
Metoda uproszczona
- Traktujemy pręty jako nieściśliwe (pomijamy wpływ sił normalnych na odkształcenia)
- Pomijamy zmianę odległości między końcami pręta powodowane jego zakszywieniem
i j
i , Δl, j
- Wówczas przesunięcia pionowe vi można przyjąć róne 0 a przesunięcia poziome ui przyjąć można jako jednakowe.
- Ostatecznie niewiadomymi są tylko kąty obrotu ϕ
- Stopień geometrycznej niewyznaczalności n =k + t
k - liczba węzłów swobodnych
t - liczba niezależnych przesunięć
Wprowadzenie założeń upraszczających do metody przemmieszczeń powoduje podział układów na:
a) przesówne - niewiadomymi są kąty obrotu ϕ i niezależne przesunięcia u
b) nieprzesówne - niewiadomymi są jedynie kąty obrotu ϕ
DEFINICJA MZCIERZY SZTYWNOŚCI ELEMENTU BELKOWEGO MES-u
Istotą MES-u jest podział złożonego układu na skończoną liczbę elementów oraz analiza pojedynczego elementu,którego zachowanie określone jest przez skończoną liczbę parametrów a następnie ponowne “złożenie” wszystkich elementów celem badania reakcji.
1. dyskretyzacja układu-podział danego ciała na zbiur elementów skończonych połączonych węzłami
2. wprowadzenie globalnego układu współżędnych i układów lokalnych
3. oznaczenie współrzędnych węzłowych
4. zestawienie w tabeli danych geometrycznych i węzłów (cosinusów kierunkowych) w lokalnych układach K*U=R
K-macierz sztywności układu
R-uogólniony wektor-suma sił masowych
k11 k12 ...... k1n
k21 k22 ...... k2n
K= ..........................
kn1 kn2 ...... knn
SPOSÓB BADANIA PRZESÓWNOŚCI I NIEPRZESÓWNOŚCI UKŁADÓW RAMOWYCH W UPROSZCZONEJ METODZIE PRZEMIESZCZEŃ
SCHEMAT DO METODY SIŁ
1.stopień geometrycznej niewyznaczalności
n = rp + 3z - p - 3
2.modyfikacja układu do geometrycznie wyznaczalnego z siłą X1 (zastępujemy nadliczbową reakcję siłą X1)
3.obliczamy układ tylko z obciążeniami zewnętrznymi(reakcje ; wykresy momentów Mp)
4. obliczamy układ tylko z obciążeniem jednostkowym z X1 = 1 (reakcje ; wykresy momentów M1)
5.Równanie kanoniczne
δ11 * X1 + δ1p = 0
δ11-przemnożenie M1*M1
δ1p-przemnożenie M1*Mp
wyliczenie reakcji X1
6. obliczamy układ z wszyskimi obciążeniami
zewnętrzne + wyliczone X1
(reakcje ; wykresy M T N)
Kij -siła na kierunku współrzędnej uogólnionej „i”, spowodowana jednostkowym przemieszczeniem na kierunku współrzędnej uogólnionej „j”. Podczas gdy pozostałe przemieszczenia są równe 0
Rusztem płaskim nazywamy układ połączony z krzyżujących się belek leżących w jednej płaszczyźnie. Obciążenie rusztu skierowane jest prostopadle do płaszczyzny rusztu. Końce belek mogą być wolno podparte albo utwierdzone zupełnie lub sprężyście .
Ns= r+w-2b