5.11.2009r.
Spóźniłam się 15 minut…
Fa(x)=ax(1-x)
Wprowadzone definicje:
1. Ciąg pkt nazywany jest trajektorią punktu x0
2. Jeżeli fa(x0)=x0, to pkt x0 nazywamy stałym odwzorowaniem fa (def. Pkt stałego)
3. Istnieje liczba naturalna p>1 taka ze xp=xf(x0) i xnie=fa(x0) dla 0<k<p to x0 nazywamy pkt okresowym o okresie p; wtedy ciąg {x0, fa(x0)….,fap(x0)} nazywamy okresową orbitą pkt x0;Fak oznacza k-krotnie złożenie funkcji fa.
Co się dzieje jeśli a nazelzy do roznych przedziałów? np.. a z przedziaalu [0,1], [1,3], a=3, a=1+pierw6.
Nastepuje bifurkacja podwojenia okresu.
Chaos deterministyczny
Kaskady feigenbauma.
Problem trzech ciał.
Zbiory fraktalne -
krzywa Kocha-ma nieskonczona długość
Lorenz - efekt motyla, prognozowanie pogody
Zbiór Cantora
Trojkat Sierpinskiego
Dywan Sierpinskiego
Gabka Mengera
Zbior Mandelbrota
Baseny pierwiastkow jedynki
W pewnych układach mechanicznych może pojawic się chaos deterministyczny i staje się dla nas to zjawiskiem przypadkowym. To stawia pod znakiem zapytania pytanie oo determinizm układów. Na ile można o nim mówić w przyrodzie.
10.12.2009r.
Ogolna teoria względności
Pkt wyjscia ogolnej teorii względności-wszystkie jej zalozenia opieraja się na obserwacji ze masa bezwladna jest rowna masie grawitacyjnej., eistein nie przyjal tego jako szczesliwy zbieg okoliczności ale jako zasade,podstawe swojej teorii. Masa grawitacyjna=masie bezwładnej- ma konsekwencje ze prowadzi do zasady równoważności-na podst obserwacji ruchu cial,czy innych zjawisk fiz,nie możemy odróżnić efektu, czy mamy do czynienia z układem który przyspiesza i w którym występują sily bezwladonosci czy mamy do czynienia z układem w jakims polu grawitacyjnym.
Zasada rownozwanosci stanowi podst ogolnej teorii wzgglednosci-na podstawie zadnych zjawisk fiz nie jestesmmy w stanie odróżnić ukladow.
Na tej podstawie można int pole sil jkako pole które jesst wywolane jakims ruchem przyspieszonym. Wedlug tej zasady względności te dwie syt-opis dzialania jednorodnego pola i sil potraktowania tego pola jako wywolanego ruchem pryzspieszonym tego układu względem drugiego,nie jesteśmy w stanie zdecydoowac który opis jest lepszy. Sta wnioskujemy ze to jednorodne pole graw jest równoważne polu odniesienia, przez zmiene jakiejs osi układu odniesienia. Zamiast mowic o dzialaniu jakis sil czy Pol grawitacyjnych możemy mowic o zakrzywieniu czasoprzestrzeni. Mamy jakas pewna przestzren, czasoprzestzren,współrzędne przestrzenne i współ.czasowa, z tym ze nie ejst to zwykla 4wymiarowa przestrzen euklidesowa ale jest to przestrzen rimanowska. Przestrzen rozna od zera. Ciezko jest sobie to wyobrazic. Ale My zyjemy w takiej czasoprzestrzeni. Nie dostrzegamy zakrzywienia czasoprzestrzeni.
Mamy do czynienia z takim obrazem rzeczywistości w którym można mowic o odkształceniach,o zakrzywieniu czasoprz przez dzialanie masy i energii które znajduja się w naszym swiecie. Ruchy cial które odbywaja się pod wpylwem dzialania sil bezwładności czy grawitacyjnych, w gruncie rzeczy można to interpretowac jako ruch po liniach,ktroe ww tej zakrzywionej czasoprz tworza najkrótsze drogi miedzy tymi punktami, linie które SA najkrótsze to llinie deogezyjne-odcinek,laczy 2 pkt. Ruch cial w tej czasoprzestrzeni odbywa Si epo liniach geodezyjnych, które lacza w najkrótszy sposób 2 pkty. Tutaj można patrzec na te rucchy p;od wpływem sil grawitacyjnych, nie pod wpływem dzialania jakis sil ale na ruchy które odbywaja się po liniach prostych. Kształt tych linii zalezy od rozmiesczenia masy w czsaoprz. \
Konsekwencje dla zjawisk zachodzących w przyrodzie-
-zakrzywianie promieni świetlnych pod wpływem dzialania pola grawitacyjnego. Dlaczego tor promienia swiatla jest zakrzywiony?-przykład rakiety poruszającej się ruchem swobodym w czasoprz. Ruch zmienia padanie swiatla, powstaje zakrzywienie linni swiatla. Kiedy rakiet znajduje się w polu grawitacyjnym jakiejs masy bądź SA wlaczone jej silniki nasteppuje zakrzywienie tych linni świetlnych. To nie promien switlny ulega zakrzywieniu ale czasoprzestrzen jest zakrzywiona i promien swiatla który porusza Si epo linni prostej, która jest geodezyjna. Takie zakrzywienie promieni świetlnych zaobserowanao m.in.. W 19 roku - jedno z pierwszych potwierdzen teorii wzgl einsteina. Zaobserwowano światło które powinno być za słońcem,ale promien przechodząc blisko słońca,ulegl zakrzywieniu i stad można było gwiazde obseerowac na ziemi. (soczewkowanie grawitacyjne-duze masy działają troche jak soczewka zmieniając tor promieni). Inne zjawisko- spowolnienie zegarow w pobliżu duzych mas-jak jesteśmy w podblizu duzej gwaizdy to zegary chodza wolniej. W pobliżu np..czarnej dziury.
Z pewnego pkt widzenia można zatem na pyt co to jest grawitacja można powiedziec ze grawitacja wynika ze zmiany krzywizny czasoprz aktora jest wywolana obecnością materii. Stad można powiedziec ze grawriacja nie jest to jakas sila która będzie działać na odległość,ale jest to zjawisko które będzie wiązało się z jakas zmiana w otoczeniu cialo cos tam. Grawitacja jest zwiazana ze struktura czasoprz. Ta zmiana tej krzywizny, czy grawitacji rozchodzi się od pkt do pktu w czasoprz i wiaze się z obecnością cial materialnych. Pole grawitacyjne opisane jest calkowiecie przez metryke czasoprzestrzeni-przez krzzywizne czasoprz, grawitacja polega w istocie przez zastapienie cech euklidesowych przez geometrie nieeuklidesowej. Stad u newtona grawitacja była pewna sila działają na odległość, u einsteina graw to zmiana …przestrzeni. Zalezy od zachodzacyh w danym pkt zjawisk fiz i kszttalt tej czasoprz zalezy od rozmieszczenia mas,cial materialnych. W pewnych sensie ciala materialne stwarzaja czasoprz. Grawitacja wynika z zakrzywienia czasoprzz, z samej geometrii czsoprz.
Z ogolnej teroii wzgl wynika to ze nie ma właściwie sensu rozpatrywania osobno czasu ,przestrzeni ,materii, one tworza nam pewna jedna strukture-te zakrzywiona czsoprz. Geometria czasoprz zalezy od tego jak umieszczone SA w niej masy, nie ma sensu rozpatrywana przsetzr pustej, oraz nie ma sensu rozpatrywania czasu i przestrz osobno-Te efekty relatywistyczne związane z poruszaniem się wzajemnym układów miedzy soba SA możliwe do zaobserowawania. Tworza jednolita czasoprz ktorej geometria zalezy od tego jak jest materiia rozmieszczona w tej czsoprz. Z tym ze my jako obserwatorzy inaczej odbieramy przestrzen i czs, wyraznie je oddzielamy. Z tym ze jest tak ze każdy z obesrwaatorow na swój uzytek będzie rozdzielac czs i przestrzen,każdy ma swoja wlsnoa przetsrzen i czas.
To jest pewien wazny wniosek wynikajacy z ogolnej teorii wzgl który może mieć znaczenie wtedy gdy probujemy tworzyc filozoficzne teorie czsu i przestrzeni. Wtedy keidy patrzymy poprzez ogolna teorie wzgl na czs i przestrz , tutaj SA one ze soba scisle związane.
-na podstawie tych rownan OTW można próbować tworzyc modele kosmologiczne. Szybko zauwazno ze te modele, które uzyskujemy na podst rownan OTW SA modelami niestacjonarnymi-te które zmieniaja się w czasie. Einstein poczatkowo nie bardzo chciał zaakceptowac taki model wszechsiwata,stad wprowadzil do swoich rownan stala która zapewniala ze wszechświat będzie niezmienny, ale pozniej to się zmienilo. Powstal standardowy model kosmologiczny, który zaczyna się od pewnej osobliwości kom osmologicznej, od pkt początkowego które pewne paramtery daza do nieskończoności, w pobliżu tej osobliwości załamują się prawa OTW. Od tego osobliwego pkt wszechświat się rozszerza, oziebia, spada w nim cisnienie, spada gęstość materii. W roznych momentach hsit wszech powstaja rozne układy najpierw czstkki elementarne,atomy, jadra pierwiastkow, pozneij zlozne struktur-gwiazdy, galaktyki. 13,5mld -jesteśmy teraz w tym okresie od stanu osobliwości początkowej nazywanej wielkim wybuchem. Powstaje pytanie o początek wszechświata. Oraz o dalsze losy wszechświata. Jak na razie SA 2 pesymistyczne scenariusze-albo wszech będzie się rozszerzac, albo zmniejszac.
Szczegolna i ogolna teoria wzglednmosci daja opis ruchow roznych obiektow pod wpływem dzialania roznych sil. I zależności pomiedzy tymi teoriami SA takie ze najbardziej ogolna jest OTW, która stara się ujac to co dzieje się w rzeczywistej czsoprz zawierającej obiekty, a kiedy usunie się te obiekty mamy STW-kiedy nie ma krzywizny,kiedy mamy czasoprz niezakrzywiona. Ale nie zalezy pozbywac się teorii newtona, ponieważ wtedy kiedy mamy do czynienia z małymi prędkościami, które SA dostapne naszej potocznej obserwacji i małymi masami to my tych efektow nie widzimy i szczegolna teroia wzgl przechodzi w mechaanike newtonowska. Równania, transformacje Lorenza dla układów które poruszaja się z niewielkimi prędkościami przechodza w transformacje Galileusza i można posługiwać się mechanika newtona. To jest zależność miedzy tymi 3 teoriam
Implikacje które wynikaja z teromdynamiki-
Nauka o cieple. Poczatkowo termodynamika powstala jako fenomenologiczna nauka mowiaca o przepływie ciepla,o tym jak cieplo przepływa miedzy roznymi cialami. Nasze obserwacje pokazuja ze cieplo zawsze idzie od ciala cieplejszego do zimniejszego. Ta obserwacja, jest pewna zasada-II zasada termodynamiki. I zasada-zasada zachowania energii-w odosobnionym układzie energia nie ulega zmniejszeniu, energia jest stala ale może zmieniac swe formy. Może być przeksztalcona np.. w cieplo. II zasada-cieplo zawsze przepływa z ciala o temp wyższej do ciala o temp niższej.
Z chwila keidy poznanao budowe materii, kiedy sstwoerdzono ze ma ona budowe atomowa, to zjawiska związane z cieplem zaczeto wiazac z energia czastek które tworza dany układ. Usunieto cieplika:D
Z energia ruchu czasteczek zaczeto wiazac cos.
Problem-jeżeli patrzymy na zjawsika termodynamiczne, na cciala zlozone z czasteczek których ruch jest związany z temp danego ciala to te zjawiska termo znajduja swoje wyjaśnienie mechaniczne, w postaci zjawisk dot.ruchu czast z których sklada się materia. Teoretycznie można by było do opisu zachowania się cial można wykorzystac mechanike newtonowska.problem-jeżeli parzymy na te zjawsika z pukntu widzeni przepływu ruchu czasteczek, to pomijając pewne trudności rachunkowe, napotykamy na paradoks-w mech newtona nie ma znaczenia keirunek upływu czasu. Równania mech newtona nie zmieniaja się wtedy gdy odwrócimy keirunek upływu czasu. W zjawiskach termo tak nie jest. II zasada mowi ze cieplo przechodzi w jedna str. Kiedy wyrównają się temp nie będzie możliwości wymiany ciepla. Ale jeżeli patrzymy ze oziębianie się jednego ciala polega na przekazywaniu energii kinetycznej czasteczek nnie widac powodu dla którego czast z ciala zimn przekazuja swoja en do ciala cieplejszego. Z pkt widzenia mikroskopowego, wtedy gdy patrzymy na zjawiska cieplne, powinniśmy mieć możliwość odwracania tych zjawisk w czasie.
Pojecia- przetrzen fazowa-abstrakcyjna przestrzen matematyczna ktorej pkty daja nam pelna info o stanie danego układu, czastki z ktorej sklada się układ. Jeżeli mamy jedna czast w przestrzeni 3wymiarowej i ona się jakos w niej porusza to stan tej czastki opisay jest przez podanie jej położenia i pedu w danym czasie. Dla jedej czastki przestrzen będzie 6 wymiarowa, ktorej polozenie w przestrzeni daje pelny opis stanu czastki, tego co w danym momencie z dana czastka się dzieje. Trajektoria czastki jest pelna linia w tej 6 wymiarowej przestrzeni, z kasztraltu tej linii można wnioskwoac co dzieje się z czastka. Ale co jeśli układ sklada się z większej ilości czastek-pprzestzren o 12 wymiarach dla 2 czastek, kiedy mamy czast n to przestrzen fazowa sklada się z 6*n. ale okazuje się ze z pewnego pktu wwidzenia wprowadzenie tej przestrzeni fazowej wprowadza wygodny formalizm w opisie. Jeżeli mamy pewne układy dynamiczne, możemy je podzielic na 2 klasy-układy zachowawcze-maja stala energie, układy dysypatywne-energia maleje. Przykładem takiego układu zachowawczego byloby wahadlo matematyczne. Wahadlo na które nie działają żadne sily np..cisnienie.
Pole powierzchni dla układów zachowawczych nie zmienia się, jest stale, dla układów dysypatywnych pole powierzchni maleje.