Szeregi: Niech (an)n(N będzie dowolnym ciągiem liczb rzecz. Szeregiem o wyraz an nazywamy ciąg Sn postaci S1=a1 itd. (oznaczenie szeregu) Liczbę Sk nazywamy k-tą sumą częściową szeregu.| Jeżeli istnieje gran (skończ lub nie) lim k->nsk Sk to nazywamy ją sumą szer. Jeżeli jest skończona to szer zb, jeżeli równa +nsk to rozb do nsk. Jeżeli Enskn=kan to nazywamy ją k-tą resztą szer Ensk n=1 an| War konieczny zb szer Jeżeli szer Ensk k=1 an jest zb to ciąg an jego wyrazów dązy do 0| Jeżeli ciągi an i bn różnią się tylko skończoną ilością wyrazów(czyli istnieją takie p,q(N że dla dow liczby k(N zachodzą ap+k=Bq+k) to szeregi Ean i Ebn są jednocześnie zb lub rzb.| Kryt porównawcze Jeżeli istnieje liczna n0 taka ze ciągi an i bn spełniają dla każdego n>n0 warunek 0<=an<=bn to ze zb szer bn wynika zb an, a z rzb an wynika rzb bn| Ciągi funkcyjne: Niech A(R będzie dowolnym niepustym zbiorem. Rozważmy ciąg funkcji (fn)n(N określonych na zbiorze A. Taki ciąg nazwiemy ciągiem f| Niech fn: A->R dla n(N powiemy że cf (fn) jest zb punktowo do funkcji f: A->N jeżeli dla każdego x(A zachodzi fn(x)->f(x)|Powiemy ze ciąg (fn) jest zb jednostajnie do funkcji f jeżeli sup x(A(|fn(x)-f(x)|)->0 wraz z n-> nsk Jednostajna zb implikuje zb punkt.| Niech x0(A,fn:A->R dla n(N.Jeżeli ciąg fn dązy jednostajnie do funkcji f na zbiorze A i dla każdego n(N funkcja fn jest ciągła w x0 wówczas f jest ciągła w x0.W szczególności granica jednostajnie zb ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Szeregi funkcyjne: Niech fn: A->R dla n(N rozważmy funkcję Sn dane wzorem Sn=f1+f2+…+fn zwane sumami częściowymi ciągu fn. Ciąg sum część. Nazwiemy szeregiem funkcyjnym o wryazach fn i oznaczymy przez E nsk n=1 fn. Powiemy że szereg jest zb(jednostajnie) do f jeżeli ciąg Sn jest zb (jednostajnie) do f na A.|Suma jednostajnie zb szeregu funkcji ciągłych jest Funkcją ciągłą|Weierstrassa rozważmy szereg funkcyjny E nsk n=1 fn Jeżeli istnieje c liczbowy an taki że dla każdego x(A i dla każdego n(N zachodzi |fn(x)|<=an to szereg E jest zb jednostajnie i bezwzględnie|Tw o całk szeregu wyraz po wyrazie Jeżeli szereg funkcyjnu Efn funkcji ciągłych na przedziale domkniętym [a,b] jest zb jednostajnie do f to szereg liczbowy E(cał a do b fn(x)dx) jest zb i jego suma jest równa cał a do b f(x)dx|Tw o różniczkowaniu szer wyr po wyr Jeżeli szer Funk Efn Funk różniczkowalnych na przedziale dom [a,b] jest zb do Funk f oraz szer pochodnych Ef`n jest jednostajnie zb na [a,b] to Ef`n(x)=f``(x)| Szer Potęgowe: Niech E nsk n=0 anx^n promieniem zb szer nazwiemy kres górny zbioru wartości bezwzględnych tych punktów R dla których szer jest zb R=sup{|x| : E anx^n jest szer zb}| Szer Eanx^n jest zawsze zb dla x=0 jeżeli 0<R<nsk wówczas szer jest zb w przedz (-R,R) i rzb w zbiorze(-nsk,-R)u(r,nsk). Jeżeli R=+nsk wówczas szer jest zb w całym R.|
Szereg Taylora: Jeżeli f jest n+1 krotnie różniczkowalna w przedz [a,b] a pkt x0,x( (a,b) x0=/x wtedy istnieje taki pkt c pomiędzy x0 i x że f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+f``(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f^(n+1)©(x-x0)^n+1/n!|Jeżeli w pewnym otoczeniu (x0-d,x0+d) punktu x0 wszystkie pochodne Funk f są wspólnie ograniczone wówczas Funk f można w tyn otoczeniu rozwinąć w szer Taylora. Całka podwójna Niech DcR^2 będzie obszarem domk. Powiemy że obszar D jest normalny względem osi OX jeśli D={(x,y)cR^2: a<=x<=b i g(x)<=y<=h(x)} gdzie g, h: [a,b]->R są ciągłe|Domknięty obszar D nazwiemy regularnym jeśli jest skończoną sumą obszarów normalnych względem którejś osi których wnętrza się parami przecinają|Niech D będzie Obsz Reg ograniczonym. Podziałem obszaru D nazwiemy każdą skończoną rodzinę obszarów domkniętych {D1,D2…Dk} spełniającą war:1.D1uD2..uDk=D, 2.intDi i IntDj=o/|δ(P)=max i=1…k δ(Di) nazwiemy średnicą podziału|Niech f:D->R będzie Funk określoną na Reg ogranicz Obsz D.Niech P={D1..,Dk} będzie dowolnym podziałem obszaru D. Wreszcie niech (pi)i=1…k będzie ciągiem pkt takich ze pici dla i=1…k.Liczbę En i=1 [f(pi)|Di|] nazwiemy sumą całkową Funk f na D związaną z podziałem P i wyborem pkt pośrednich (pi)|Jeżeli dla dowolnego ciągu podziałów PN obszaru D takiego że δ(Pn)->0 i przy dowolnym wyborze pkt pośrednich istnieje skończona granica odpowiednich sum całkowych to nazwiemy ją całką podwójną z f na D i oznacz symb całcałd f(x,y)dxdy|War koniecz cał Funkcja f całkowalna na obszarze D jest na tym obszarze ograniczona|War wystarcz Jeżeli Funk f jest ciągła na Reg Obsz D to jest całkowalna na tym Obsz|Własności c podwójnej: 1. Jeżeli f,g:D->R są całkowalne na Obsz Reg D to Funk f+g też 2.Jeżeli f(x,y)<=g(x,y) dla (x,y)cD to cał tez 3. Jeżeli Obsz D jest sumą dwóch Obsz D1 i D2 które nie mają wspólnych pkt wew to Funk f:D->R jest całkowalna na D jest całkowalna na D1iD2|Tw o zamianie zmiennych w cał podwój Jeżeli 1. Funk f(x,y) jest ciągła na Reg Obsz D 2.Przekształc ψ(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) odwzorowuje Reg Obsz Δ na D przy czym wnętrze Obsz Δ jest odwzorow wzajemnie jednoznacznie na wnętrze Obsz D 3. Funk x(u,v) i y(u,v) są kl C1 przy czym jakobian przekształć ψ jest różny od zera wew Δ to cał cał po D f(x,y)dxdy=cc poΔ f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv|Całka potrójna: Niech VcR^3 będzie obszarem domkniętym.powiemy że Obsz D jest normalny względem pł OXY jeśli V={(x,y,z)cR^3: (x,y)cD i K(x,y)<=z<=l(x,y)} gdzie D jest obsz Reg w R^2 a k,l:D-> są ciągłe|Jeżeli dla dowol ciągu podziałów Pn obszaru V takiego że δ(Pn)->0 i przy dowolnym wyborze pkt pośrednich istnieje skończona granica odpowiednich sum całkowych to nazwiemy ją całką potrójna z f na V i oznaczymy symb ccc po V f(z,y,z)dxdydz| War konieczny całkow Funk f, całkowalna na Obsz V jest na tym Obsz ograniczona|War wyst Jeżeli Funk f jest ciągła na Reg Obsz V to jest całkowalna na tym Obsz|Krzywa płaska: Niech x,y:[Alfa, beta]->R będą dwiema Funk ciągłymi.Zbiór T={(x(t),y(t)):Tc[A,B]} nazywamy krzywą płaską a przekszt ψ(t)=(x(t),y(t)) jej parametryzacją|
Całka krzywoli nieskier: Jeżeli dla dowol ciągu podziałów takiego że ciąg średnic dąży do 0, i przy dowol wyborze pkt pośrednich ciąg ospowiadających sum całkowych dązy do granicy S wówczas tę granicę oznaczymy symb S=c po k f(x,y)dl i nazwiemy c nieskier krzywolin z Funk f po krzywej K| Cał Krzy Skier:dowolnego norm ciągu podziałów Pn i przy dow wyb pkt pośród istnieje skoń granic ciągu Sn określ jak powyż sum to liczbę tę nazy c k s pary Funk P i Q po łukuT. Poch cz: Niech f:D->r niech D będzie otoczeniem pkt(x0,y0) Granice lim hdo0 f(x0+h,y0)-(f(x0,y0)/h (jeśli istnieje) jedziemy nazywać poch cząstk funk f po pierwszej zmiennej w pkt (x0,y0).Liczb|Powiemy ze Funk f:D->r ma max lok w pkt pcD jeżeli istnieje takie otocz C pkt p ze f(p)>=f(q) dla qcDiV|Powiemy ze funk f:D->R ma mak Lol właściwe w pkt pcD jeżeli istnieje takie otocz V pkt p ze f(p)>f(q) dla qcDiV/{p} |Powiemy ze Funk f:D->R ma max absolut w pkt pcD jeżeli f(p)>=f(q) dla qcD|War koniecz ist ekstremum Niech f:D->R niech D będzie otocz pkt (x0,y0) Jeżeli Funk f ma w (x0,y0) pochodne cz i ma w tym pkt max lok to f`x(x0,y0)=f`y(x0,y0)=0| war wystarcz istnienia ekstra Niech f posiada ciąłe pochodne cz drugiego rzędu na pewnym otocz otwartym D pkt(x0,y0). Jeżeli1. f`x(x0,y0)=0, f`y(x0,y0)=0 a wyrónzik w(x0,y0)>0 to Funk f ma w (x0,y0) ekst lok właściwe||Różniczka zup Funk: Niech f:D->R niech D będzie otocz pkt (x0,y0).Funk liniową A(x,y)=ax+by spełniająca war lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y)-f(x0,y0)-A(x-x0,y-y0)/Pierw((x-x0)^2+(y-y0)^2=0 nazwywamy różniczką zup Funk f w (x0,y0).Funkcja jest wtedy różniczkowalna w pkt (x0,y0)|Jeżeli Funk lin A(xy)-ax+by jest różnczką zup Funk f w (x0,y0) to f posiada w tym pkt pochodne cz równe f`x(x0,y0)=a f`y(x0,y0)=b|Funk uwikłana: Niech F:D->R gdzie D jest zbiorem otwartym w R^2. Każdą Funk ciągłą y=y(x) określoną na pewnym przedziale IcR taką że F(x,y(x))=0 dla xci nazwiemy funk uwikł daną równaniem F(x,y)=0|Tw o istnieniu funk uwikł Jeżeli F jest kl C1 w pewnym otocz pkt (x0,y0) oraz F(x0,y0)=0 i F`y(x0,y0)=/0 to na pewnym otocz pkt x0 istnieje doładnie jedna Funk dana równaniem F(x,y)=0 i spełniająca war y(x0)=y0 funk ta ma ciągłą poch określoną wzorem y`(x)=-F`x(x,y(x))/F`y(x,y(x))|War wyst istnienia ekstremum Funk uwikł Jeżeli F jest Funk klasy C2 na pewnym otocz pkt (x0,y0) oraz 1.F( x0 , y0)=0 2.F`x(x0,y0)=0 3.F`y(x0,y0)=/0 4.I(x0,y0)=-F``xx(x0,y0)/F`y(x0,y0)=/0 to Funk uwikł y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 i spełniająca warunek y(x0)=y0 ma w pkt x0 ekstrem lok y0.Jest to max gdy I(x0,y0)<0 i min gdy I(x0,y0)>0.