Trygonometria sferyczna

Koło wielkie - ślad przecięcia płaszczyzny sfery płaszczyzną przechodzącą przez jej środek

Trójkąt sferyczny - powstaje z przecięcia trzech kół wielkich

Trójkąt biegunowy - wierzchołki trójkąta sferycznego są biegunami boków trójkąta biegunowego i odwrotnie.

Wzór cosinusowy:

cosa=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA

Wzór cosinusowo-sinusowy:

sina*cosB=cosb*sinc-sinb*cosc*cosA

Nadmiar sferyczny - suma kątów trójkąta sferycznego pomniejszona o 180°:

ε = (A+B+C) - 180°

ε = S/R², S - pole trójkąta sferycznego

ε = absinC/2R² - dla dł kilkadziesiąt km

Metoda additamentów (Soldnera)

Dane: A, B, C, a Szukane: b, c

1) a'=a - a³/6R² 2) b'=a' sinB/sina

3) b = b'+b³ /6R² = b'+(b')³/6R²

4) c'=a' sinC/sinA 5) c=c' + (c')³/6R².

Metoda Legandre'a

Dane: A, B, C, a Szukane: b, c

1) ε = (a²sinBsinC)/2R²sinA

2) A'=A-ε/3, B'=B-ε/3, C'=C-ε/3

3) b=asinB'/sinA' c=asinC'/sinA'

Geometria elipsoidy i współrzędne elipsoidalne

Elipsoida obrotowa definiowana jest parametry określające jej kształt i wielkość: duża półoś a i mała półoś b, spłaszczenie α oraz mimośród e². Zależności między parametrami: α=(a-b)/a, e²=(a²-b²)/a²,

e²= α(2- α), e'²=e²/(1-e²).

Współrzędne elipsoidalne:

L-długość geodezyjna-kąt dwuścienny między płaszczyzną południka 0˚a południkiem przechodzącym przez dany punkt.

B-szerokość geodezyjna-kąt między normalną do elipsoidy w punkcie P a płaszczyzną równika.

Przeliczanie współrzędnych:

X = U cosL Y = U sinL,

Szerokość zredukowana ψ - kąt między promieniem kuli przechodzącym przez punkt P₁ (będący rzutem na sferę o promieniu b punktu P), a płaszczyzną równika.

Zzred.=b sin(psi)

Szerokość geocentryczna ρ - kąt między prostą przechodzącą przez punkt P i środek elipsoidy a płaszczyzną równika.

tg ρ = (1-e²) tgB

Przekroje normalne - są to przekroje płaszczyzną zawierającą sobie normalną do powierzchni w danym punkcie. Wyróżnia się 2 przekroje główne: przekrój południkowy elipsoidy obrotowej płaszczyzną południka o minimalnym promieniu krzywizny M oraz przekrój poprzeczny płaszczyzną prostopadłą do południka o maksymalnym promieniu krzywizny N.

Krzywizna przekroju południkowego:

Krzywizna przekroju poprzecznego:

Średni promień krzywizny w punkcie:

Przeliczanie współrzędnych:

X = N cosB cosL Y = N cosB sinL

Z = N (1-e²) sinB

q=Ne²*sinB

B = arctg((Z+q)/pierw(X²+Y²))

L = arccos(X/pierw(X²+Y²))

Δr=r-NcosB

h = pierw(Δr²+Δz²), Δr=r-NcosB, r=pierw(X²+Y²) Δz=z-N(1-e²)sinB

Promień krzywizny dowolnego przekroju normalnego:

1/R_A = sin²A / N + cos²A / M, A - azymut

Wzajemne przekroje normalne: jeżeli w punkcie P₁ poprowadzimy przekrój normalny przechodzący przez punkt P₂, a przez P₂ przekrój normalny przechodzący przez P₁ to przekroje te będą wzajemnie normalne, których wzajemne położenie określają kąty ω₁ i ω₂ oraz ich maksymalna odległość na powierzchni elipsoidy.

Linia geodezyjna - jest to krzywa, charakteryzująca się tym, że i normalna główna w każdym jej punkcie jest jednocześnie normalną do danej powierzchni. Płaszczyzna ściśle styczna w każdym punkcie linii geodezyjnej zawiera normalną do powierzchni w tym punkcie.

Twierdzenie Clairauta:

Iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej w każdym jej punkcie jest wielkością stałą;

r₁ sinA₁ = r₂ sin A₂ = const

Długość linii geodezyjnej:

Do 60km: S = Ms(B1-B2), Ms = M(Bśr)

60-750km: S = (M1+4Ms+M2 / 6 * (B2-B1)

Pow. 750km: S = całka(od B1 do B2) MdB

Metoda Clarka - obliczanie współrzędnych końca linii geodezyjnej, długości linii geodezyjnej i azymutu końca linii.

1) poprowadzenie prostopadłej do południka danego punktu P1 przechodzącą przez szukany punkt P2, uzyskując punkt pomocniczy C. Trójkąt P1P2C rozwiązujemy na kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny w punkcie P1. Obliczamy nadmiar sferyczny:

ε = (s₁₂²sinA₁₂cosA₁₂) / (2MN)

2) Dla punktu P1 z TW sinusów dla trójkąta płaskiego obliczamy u i v:

u = s₁₂ cos(A₁₂ - 2/3 ε) v = s₁₂ sin(A₁₂ - 1/3 ε)

[Bs = B₁ + (1/2*u)/(M₁)]

3) Dla punktu C w połowie odcinka u obieramy punkt S: B_C = B₁ + u/M_S.

[M_c ,N_c]

4) Przez punkty leżące na równoleżniku punktu P2 prowadzimy normalne. Punkty C1, P2 i Bn rzutujemy na kulę o promieniu N₂, której środek znajduje się w punkcie O₂. Obliczamy szerokość geodezyjną B₂:

5) Obliczamy nadmiar sferyczny w trójkącie biegunowym ω: ω = B_C - B₂, a potem przyrost długości geodezyjnej:

L₂ = L₁ + ΔL

6) Obliczamy γ z TW sinusów dla trójkąta płaskiego: γ = ΔL sin(B₂+2/3 ω)

7) A₂₁ = 270 + γ - (90 + ε - A₁₂)

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH W GEODEZJI:

Konwencjonalny Układ Ziemski:

1)początek układu w środku mas Ziemi

2)oś podstawowa z - średnia oś obrotu

3)oś drugorzędna x - przecięcie płaszczyzny średniego równika z płaszczyzną średniego południka Greenwich

4) oś trzeciorzędna y w układzie ortogonalnym prawoskrętnym

Lokalny Układ Współrzędnych Astronomicznych:

1)środek układu w punkcie P

2) oś podstawowa z - normalna do powierzchni poziomej w punkcie P (Wp=const)

3)oś drugorzędna x - północny kierunek stycznej do powierzchni ekwipotencjalnej w punkcie P w płaszczyźnie południka astronomicznego

4)oś trzeciorzędna y - ortogonalna w układzie lewoskrętnym.

Współrzędne astronomiczne Φ-szerokość, Λ-długość. Są one określone przez normalną do powierzchni ekwipotencjalnej oraz kierunek osi obrotu Ziemi. Można je wyznaczyć z pomiarów. Płaszczyzna południka astronomicznego punktu P definiowana jest przez wektor g w punkcie P (normalna do pow ekwip) i prostą równoległą do osi obrotu Ziemi przechodzącą przez P (kierunek osi Z). Trzecią współrzędną(W) jest wartość potencjału, której nie można określić w drodze bezpośredniego pomiaru. Wyznacza się różnicę potencjałów względem powierzchni geoidy.

Globalny Układ Geodezyjny

1)początek w środku geometrycznym geoidy

2)oś podstawowa z -oś obrotu elipsoidy a

3)oś drugorzędna x - przecięcie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny średniego równika z płaszczyzną średniego południka Greenwich

4)oś trzeciorzędna y - ortogonalna w układzie prawoskrętnym

Układ ten związany jest z elipsoidą GRS-80 (Geocentryczny Układ Odniesienia)

Lokalny Układ Geodezyjny:

1)środek w punkcie P

2)oś podstawowa z - normalna do elipsoidy w punkcie P

3)oś drugorzędna x - północny kierunek prostopadły do osi z w płaszczyźnie południka geodezyjnego punktu P

4)oś trzeciorzędna y - ortogonalna w układzie lewoskrętnym

Współrzędne geodezyjne B-szerokość,

L-długość, określone są przez normalną do elipsoidy (kierunek wektora γ) oraz kierunek osi obrotu elipsoidy.

Płaszczyzna południka geodezyjnego punktu P zdefiniowana jest przez wektor γ w punkcie P oraz prostą przechodzącą przez punkt P równoległą do osi obrotu elipsoidy.

X = N cosB cosL Y = N cosB sinL

Z = N (1-e²) sinB

Zewnętrzne pole grawitacyjne Ziemi - na punkt P o jednostkowej masie m=1, znajdujący się w zewnętrznym polu grawitacyjnym Ziemi działa siła przyciągania oraz siła odśrodkowa, prostopadła do osi obrotu Ziemi. Wypadkową tych sił jest siła ciężkości, której przyspieszenie w danym punkcie wynosi:

Gdzie G-stałą grawitacji, M-masa Ziemi,

ω-prędkość kątowa ruchu wirowego,

ρ-odległość od osi obrotu

Zewnętrznym polem grawitacyjnym nazywamy przestrzeń otaczającą Ziemię wraz z jej powierzchnią, w której na każdy punkt P działa siła ciężkości. Pole to nie jest stacjonarne, siła ciężkości w danym punkcie jest zmienna w czasie.

Potencjał siły ciężkości - pole grawitacyjne opisuje się funkcją skalarną zwaną potencjałem siły ciężkości lub potencjałem grawitacyjnym, której pochodne cząstkowe są równe trzem składowym wektora siły ciężkości g. Potencjał ten można podzielić na potencjał siły przyciągania i potencjał siły odśrodkowej, który w sumie daje potencjał grawitacyjny:

Grad(w)=(gx, gy, gz) = g

Równanie Laplace'a i Poissona:

Pierwsze pochodne potencjału grawitacyjnego są równe składowym wektora przyspieszenia (j/w). Różniczkując te składowe otrzymuje siędrugie pochodne, których suma równa się:

Zω² dla punktów z zewnętrznym polu graw

-4πGσ+Zω² wewnątrz Ziemi

Elementy geometrii pola siły ciężkości

Pole siły ciężkości może być geometrycznie przedstawione w postaci rodziny powierzchni ekwipotencjalnych oraz rodzinę linii pola - linii pionu, których kierunek jest zadany przez kierunek wektora siły ciężkości g. Są to linie prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych (krzywe przestrzenne, do których wektor g jest styczny).

Wysokość ortometryczna jest mierzona wzdłuż linii pionu od punktu na powierzchni Ziemi do punktu geoidy.

Kierunek wektora przyspieszenia siły ciężkości można wyznaczyć jako prostopadły do płaszczyzny stycznej do spoziomowanej libelli. Libella określa powierzchnię ekwipotencjalną w danym punkcie. Powierzchnie ekwipotencjalne nie są wzajemnie równoległe, przez każdy punkt przechodzi tylko jedna powierzchnia ekwipotencjalna.

Metoda średniej szerokości Gausa

B=(B1+B2)/2; L=(L1+L2)/2;

ΔL=L2-L1; ΔB=B2-B1; M; N; p=∆B”/(1)*{1+C(3)+D(4)} q=∆B”/(2)*{1+(S/24)-D(5)} S_1-2=pierw(p²+q²); A_sr=arctg(q/p); ΔA=∆L”*sinB*{1+C(6)+d(7)};

A_1-2= A_sr - ∆A/2; A₂₁=A_sr+∆A/2±180°; M1; MS; M2; S_m=((M₁+4*M_S+M₂)/6)* ΔB;

η=(e' )² cos² B; v² = 1+η²; (1) = ρ^" /M;

(2)=ρ^" /N; (3) = (3* tg²B + 2η² + 2)/24;

(4) =η2* (tg² B -4η² tg² B - η² - 1)/8v⁴

(5) = (1 + η² - 9η² tg² B)/24v²

(6) = v²/12; (7) = (3 +8 η² + η⁴)/24v⁴

C = [(ΔL^" cosB)/ρ"]² ; S = [(ΔL^" sinB)/ρ"]²

D = (ΔB^"/ρ")²

---