Prognozowanie ekonometryczne.

Etapem wieńczącym budowę modelu ekonometrycznego jest praktyczne wykorzystanie modelu, najczęściej w procesie predykcji. Predykcją ekonometryczną nazywamy proces wnioskowania w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego. Efektem predykcji jest oszacowanie nieznanej wartości zmiennej objaśnianej w okresie prognozowanym, zwane często prognozą.

Prognozy ekonometryczne mogą być punktowe lub przedziałowe. Prognoza punktowa y_τ jest liczbą, którą przyjmujemy za najlepszą ocenę wartości zmiennej objaśnianej w okresie prognozowanym.

Prognozę punktową wyznaczamy zgodnie ze wzorem:

y_τ = m_τ ∗ A

gdzie:

m_τ - to wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie τ spoza próby, a τ > n

A - oszacowania parametrów strukturalnych modelu przed standaryzacją,

lub podstawiając A = (Z^TZ)^-1Z^TY, ze wzoru

y_τ = m_τ(Z^TZ)^-1Z^TY

Prognoza przedziałowa jest przedziałem liczbowym, w którym z zadanym prawdopodobieństwem zawiera się nieznana wartość zmiennej objaśnianej Y w okresie τ.

W celu wyznaczenia prognozy przedziałowej zakładamy, że składnik losowy ξ ma rozkład normalny. Jeżeli przyjmujemy prawdopodobieństwo na poziomie β, to przedział ten jest równy <a, b>, a zatem

P(a ≤ y _τ≤ b) = β

gdzie:

a = y_τ - u_βS_yτ

b = y_τ - u_βS_yτ,

przy czym

y_τ - prognoza punktowa

S_yτ - średni błąd prognozy

u_β - wartość dystrybuanty rozkładu normalnego odpowiadająca wiarygodności β i odczytujemy ją z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego.

Dla prognozy wyznaczamy średni błąd prognozy S_yτ, który mówi nam o ile przeciętnie odchylić się może prognoza wartość zmiennej Y w okresie τ od rzeczywistej wartości zmiennej Y w tym okresie.

Średni błąd prognozy wyznaczamy ze wzoru

W naszym modelu posłużymy się prognozą punktową. W celu jej wyznaczenia wykorzystamy pojedynczą macierz brzegową postaci

Z^TZ Z^TY

P_τ =

-m_τ 0

Dla naszego modelu macierz Z^TZ wygląda następująco

10,000 1607,446 15647,000

Z^TZ = 1607,446 258474,399 2514581,183

15647,000 2514581,183 24626167,000

natomiast wektor Z^TY przyjmuje wartości

857,800

Z^TY = 138227,201

1313003,700

Przyjmujemy, że zmienne objaśniająca na 11-ty okres, tj. rok 2000, przyjmują wartości

m_τ = 1,000 160,341 1778

Zatem macierz brzegowa, którą będziemy przekształcać wygląda następująco:

10,000 1607,446 15647,000 857,800

1607,446 258474,399 2514581,183 138227,201

P_τ= 15647,000 2514581,183 24626167,000 1313003,700

-1,000 -160,341 -1778,000 0,000

Uzyskaliśmy wynik y_τ = 43,572.

Następnie zajmiemy się wyznaczeniem błędu szacunku.

Korzystając z wcześniejszych obliczeń wiemy, że S_ξ² = 30,826, natomiast (1 + m_τ(Z^TZ)^-1m_τ^T) wyznaczymy korzystając z macierzy brzegowej postaci:

Z^TZ m_τ^T

-m_τ 1

która dla naszego modelu przyjmuje wartości

10,000 1607,446 15647,000 857,800

1607,446 258474,399 2514581,183 138227,201

15647,000 2514581,183 24626167,000 1313003,700

-1,000 -160,341 -1778,000 1,000

1 + m_τ(Z^TZ)^-1m_τ^T = 1,420.

Stąd też

Oznacza to, że przewidywana ilość dzieci przebywających w żłobkach w roku 2000 wyniesie 43,572 tys. dzieci, jednak wielkość ta może się różnić od rzeczywistej przeciętnie o 6,616 tys. dzieci.

---