1. Wartość najbardziej prawdopodobna z szeregu n pomiarów jednakowo dokładnych i jej własności.

Wartością najbardziej prawdopodobna z szeregu n pomiarów jednakowo dokladnych jest średnia arytmetyczna gdy spełniony jest warunek [vv]=minim.

Utworzona funkcja w postaci sumy kwadratów poprawek

osiągnie minimum, gdy pierwsza pochodna funkcji f'(x) bedzie równa 0, a druga pochodna f''(x) bedzie dodatnia.

Pierwsza i druga pochodna funkcji f(x) przyjmuje postać:

Ponieważ n>0,więc f”(x)>0

Przyrównując pierwszą pochodną do zera otrzymamy:

Własności średniej arytmetycznej zgodnie z teorią Gaussa-Laplace'a:

Warunek Laplace'a: suma błędów pozornych równa się 0 ([v]=0)

Warunek Gaussa: suma kwadratów błędów pozornych równa się minimum [vv]=minim.

2. Na mapie w skali 1:1000 dokonać pomiaru powierzchni p=100cm kwadratowych. Obliczyć powierzchnię rzeczywistą oraz stałą C1 jeżeli wartość średniej liczby kółka całkującego przypadaja na ta powierzchnie n srednie = 998,7

3. Co to jest błąd libeli.

Bład libeli występuje w momenice kiedy płaszczyzna głównej libeli nie jest równolegla do płaszczyzny podstawy, na której libela jest osadzona, bład występuję jako kąt δ zawarty między kierunkiem pionu a osią pionową (osią obrotu) instrumentu. Korektę wzajemnego położenia wymienionych płaszczyzn można dokonać śrubami rektyfikacyjnymi, umieszczonymi przy podstawie. W celu wykrycia i usunięcia błędu libeli ustawiamy libelę wzdłuż prostej łączącej dwie śruby nastawcze i przez obrót tymi śrubami(równocześnie w przeciwnych kierunkach) doprowadzamy libelę do punktu głównego. Następnie należy obrócic alidadę wraz z libelą o 200 gradów (180 stopni). Ewentualna zmiana położenia pęcherzyka o n działek wskazuje na podwójny błąd libeli 2δ, którego połowę (n/2 usuwamy przez obrót śruby rektyfikacyjnej, a drugą połowę przez obrót tych samych śrub nastawczych uzyskując poziome położenie płaszczyzny podstawy.

Przewaga libeli jest to kąt środkowy oparty na łuku równym wartości interwału dwóch sąsiednich kresek podziału libeli. Innymi słowy jest to wartość kąta wychylenia osi libeli względem linii poziomej, przy zmianie polożenia pęcherzyka o jedną działkę.

Przewagę libeli wyraża zależność

b- długość łuku interwału (2mm)

r- promień krzywizny libeli

- radian wyrażony w decymiligradach (sekundach)

Zależność miedzy błędem libeli a przewagą libeli

Z przewagą libeli wiąże się pojęcie jej czułości. Czulośc libeli jest odwrotnie proporcjonalna do przewagi libeli.

4. Dokładność pomiaru różnicy wysokości niwelacji geometrycznej metodą w przód i ze środka

Dokładność pomiaru różnicy wysokości metodą „ze środka” wyrazimy jako błąd średni funkcji zapisanej w postaci wzoru

Będzie więc

Mając na uwadze oszacowaną wcześniej dokładność odczytu na łacie równą +/-1mm dla długości celowej nie przekraczającej 50 m przyjmujemy że

Wówczas

Jeżeli wykonamy dwukrotny pomiar różnicy wysokości na stanowisku, wówczas uzyskane wyniki ∆h' i ∆h” mogą się różnić na skutek nieuchronnego wpływu błędów przypadkowych pomiaru. Różnicę wynikającą z dwukrotnego pomiaru oszacujemy jako błąd funkcji dh=∆h'-∆h” czyli

Uwzględniając założenie że pomiary są jednakowo dokładne tzn.
otrzymamy

Dla dokładności odczytu m= +/- 1mm, wartość dh nie powinna przekroczyć +/- 2mm, maxymalnie +/- 3 mm. Dwukrotny pomiar pozwala wyznaczyć wartość najbardziej prawdopodobna mierzonej wielkości czyli średnią arytmetyczną
, której dokładność charakteryzuje błąd średni średniej arytmetycznej

Po podstawieniu za m
wartości błędu średniego pojedyńczego pomiaru, mamy

Biorąc pod uwagę oba rodzaje niwelacji można wnioskować ,że niwelacja metodą „ze środka” jest bardziej korzystna z punktu widzenia dokładności i wydajności , ponieważ jako stanowisko niwelatora wystarcza aby zniwelować odcinek podwójnej długości.

Na dokładnośc metody niwelacji „w przód” ma wpływ wiele błedów systematycznych i przypadkowych

m
- błąd średni pomiaru wysokości osi celowej niwelatora

m
- błąd średni odczytu na łacie

Istotnym wpływem ,który decyduje o dokładności pomierzonej różnicy wysokości jest błąd pomiaru wysokości instrumentu, który zwykle nie jest mniejszy niż +/- 5mm. W stosunku do drugiego z wymienionych błedów (błąd odczytu na łacie) przyjmiemy założenie że jego wartość oscyluje w granicach +/- 1mm pod warunkiem, że odległość niwelatora od łaty nie przekracza 50m. Wobec tego błąd średni pomierzonej różnicy wysokości metodą „w przód” wyniesie

5. Suma teoretyczna różnic wysokości w ciągu niwelacyjnym zamkniętym.
Podać wzór na odchyłkę max i podać symbole. (Uwzględnić czy każda różnica była po jednej czy po dwóch stronach niwelatora? )

Suma róznic wysokości w ciągu niwelacyjnym zamknietym:

Ciąg niwelacyjny nawiązany do jedego punktu jest ciągiem niwelacyjnym zamknietym, a punkty nawiązania są to punkty o znanej wysokości uznane z zalożenia jako punkty wzajemnie stałe.

Teoretycznie wyniki pomiaru tego ciągu powinny spełniac warunek

Wzór na odchyłkę max

- błąd pomiaru różnicy wysokości

- pierwiastek z ogólnej liczby stanowisk niwelatora

Jeżeli
(dwukrotny pomiar różnicy wysokości) wówczas wzór przyjmie uproszczony wzór

---