Temat: Reakcje podpór

1. Podstawy teoretyczne

Twierdzenia o rozkładzie prędkości bryły sztywnej.

1. Rzuty prędkości punktów bryły sztywnej na prostą (l) łączącą te punkty są sobie równe.

2. Końce wektorów prędkości punktów ciała sztywnego leżących na prostej (l) tworzą prostą (najczęściej to twierdzenie wykorzystujemy w przypadku gdy
   ).

Stopień swobody

• Każdy niezależny parametr potrzebny do opisu ruchu danego układu. Ruch swobodny płaski (tarcza w ruchu na płaszczyźnie): lss=3.

• Liczbą stopni swobody układu materialnego (tarcza sztywna, belka) nazywamy liczbę niezależnych parametrów, które należy określić, aby znać położenie każdego punktu tego układu w przestrzeni (na płaszczyźnie).

ruch płaski obrotowy (z 1 punktem uruchomienia) - 1 stopień swobody

ruch postępowy ma zadany kierunek ruchu - 1 stopień swobody

ciało nie może się obracać

1 punkt ma 2 stopnie swobody (współrzędne)

dowolny ruch ciała sztywnegomna płaszczyźnie - 3 stopnie swobody

ruch kulisty w przestrzeni - 3 stopni swobody

ruch dowolny w przestrzeni - 6 stopni swobody

Równowaga ciała => ciało jest nieruchome, nie zmienia położenia, spoczywa.

=> ciało sztywne jest równowadze, gdy każdy punkt tego ciała w każdej chwili trwania ruchu posiada zerowe prędkości wszystkich punktów: v=0

WARUNKI KONIECZNE I WYSTARCZAJĄCE RÓWNOWAGI CIAŁA

1. należy stwierdzić, że: w chwili t0 = 0, wektor VA = 0 dla każdego A należącego do V(?)

2. warunek konieczny: układ sił działających na ciało musi być równoważny układowi zerowemu

{U} = {0} wektor sumy = 0 i zarazem wektor M0 = 0

Jest to warunek konieczny i wystarczający równowagi układu sił

Układ sił działających na ciało swobodne (jest to układ wektorów zaczepionych) jest równoważny układowi zerowemu (tzn. jest w równowadze) jeżeli suma wszystkich sił tego układu jest wektorem zerowym oraz moment wszystkich sił tego układu względem dowolnie wybranego punktu jest wektorem zerowym.

TW. Jeżeli układ posiada wektor s=0 oraz wektor M0 = 0 to wektor momentu względem dowolnego punktu (O1, O2,...) jest zerowy: M01=M02=0

Równowaga sił - układ sił jest w równowadze, jeżeli przyłożony do ciała swobodnego nie zmienia jego położenia; taki układ sił jest równoważny układowi zerowemu.

Więzy - wszelkiego rodzaju ograniczenia nałożone na ruch ciała.

- to połączenia nieodkształcalne (sztywne) ciała sztywnego z układem odniesienia

Więzy są:

- gładkie (reakcja więzów nie wykonuje pracy w trakcie ruchu, np. ruch bez tarcia);

- stacjonarne (niezmienne w czasie);

- dwustronne (f(…)=0, tzn. można je zapisać w postaci równań);

- geometryczne (ograniczają położenie punktów ciała).

Rodzaje:

- podparcie przegubowo nieprzesuwne = przegub => unieruchomienie ciała w jednym punkcie względem układu odniesienia, zabiera 2 stopnie swobody

- podparcie przegubowo przesuwne => podpora zabierająca danemu punktowi 1 stopień swobody

Postulat o więzach.

1. Działania więzów można zastąpić odpowiednimi siłami, takimi, aby w ruchu ciała nic się nie zmieniło (zamiana więzów na odpowiednie siły nie wpływa na ruch ciała).

2. W ruchu konstrukcji (w równowadze, która jest szczególnym rodzajem ruchu) nic się nie zmieni, gdy więzy przyłożone do tej konstrukcji zastąpimy odpowiednimi (odpowiednio wyznaczonymi, obliczonymi) siłami zwanymi reakcjami (siłami biernymi).

Jeśli ciało poddane jest działaniu więzów, to zgodnie z postulatem o więzach zastępujemy je odpowiednimi siłami.

Ciało będzie swobodne, jeżeli wszystkie więzy zastąpimy siłami biernymi, czyli reakcjami.

Warunkiem koniecznym równowagi ciała (czyli warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił działających na to ciało) jest aby: układ sił czynnych i biernych był równoważny układowi zerowemu, tzn. aby wektor sumy = 0 oraz wektor M0 = 0.

Są to równania na wektory, które dają 6 równań skalarnych w przestrzeni, a dla układu płaskiego 3 równania skalarne (2 współczynniki sumy i 1 momentu)

Równań skalarnych równowagi układów sił jest tyle, ile ciało posiada stopni swobody.

∑ X=0 ∑ MA=0 ∑ MA=0

∑ Y=0 ∑ MB=0 ∑ MB=0

∑ MO=0 ∑ SAB=0 ∑ MC=0ꗬ

Á

‥Еዸ¿ကЀ㸅橢橢Е刮赇
赇

ᴅ￿￿￿l¸¸¸¸¸¸¸Ì୸୸୸୸ஔ,Ì⋗Ɛௌ¸಄

಄಄಄ൟ&අ

Proszę ten wzór zapisać inaczej, bo na moim komputerze nic nie widzę.

එ∲∴∴∴∴∴∴$⑧Ƞ⚇F≘9¸඙ൟൟ඙඙≘ใ¸¸಄಄Û⊑ใใใ඙.¸

಄¸಄∲ใ඙∲ใˆใ໋Æ₢¸¸∲಄ீ갰堁絁LjÌબ୸෇Ⅎ∲⊧0⋗ⅆì⛍෇|⛍∲ใÌ̸¸¸¸Ùe

Aż do tego miejsca widzę tylko „prostokąty”

podpór można wyznaczyć z równań równowagi. Warunkami koniecznymi równowagi ciała są równania równowagi układu sił czynnych i biernych działających na ciało. Czyli są to warunki konieczne i wystarczające równowagi układu sił - warunki, które zapewniają nas, że układ sił jest równoważny układowi zerowemu. Aby mieć warunek wystarczający równowagi ciała, potrzebny jest jeszcze warunek początkowy, którym jest informacja, że więzy przyłożone do ciała odbierają mu wszystkie stopnie swobody (lss=0). Równań równowagi

Tu też czegoś nie widzę..................................................

swobody układu materialnego (tarcza sztywna, belka) nazywamy liczbę niezależnych parametrów, które należy określić, aby zn

a

ć położenie każdego punktu tego układu w przestrzeni (na płaszczyźnie).ruch płaski obrotowy (z 1 punktem uruchomienia) - 1 stopień swobodyruch postępowy ma zadany kie

r

unek ruchu - 1 stopie

ń swobody ciało niem

oże się obracać1 punkt

m

a 2 stopnie swobody (współrzędne)dowolny ruch ciała sztywnegomna płaszczyźnie - 3 stopnie swobodyruch kulisty w przesntu posiada kierunek prostopadły do płaszczyzny zawierającej siły, dlatego wyznaczanie trzeciej współrzędnej może odbyć się metodą „siła razy ramię” (ramię jest to odległość punktu od prostej wyznaczającej kierunek siły). W pozostałych przypadkach moment siły liczymy zgodnie z definicją iloczynu wektorowego.

Wszystkie obliczenia należy wykonywać z dokładnością do czterech cyfr znaczących.

2. Algorytm postępowania.

Warto myśleć aby się nie napracować! Każde równanie równowagi powinno zawierać - o ile jest to możliwe - tylko jedną reakcję (niewiadomą). Do wyznaczenie reakcji podpór dobieramy ten układ równań, który spełnia to kryterium. Staramy się dlatego tak budować równania, aby wyznaczane poszczególne reakcje nie zależały one od innych - nawet, jeżeli zostały wyliczone we wcześniejszym kroku (należy w maksymalnym stopniu wyeliminować możliwość popełnienia błędów rachunkowych i ich wpływ na dalsze obliczenia). Po wyznaczeniu wszystkich reakcji (koniecznie) dokonujemy sprawdzenia.

W algorytmie dla konkretnego zadania wybieramy taki układ równań (przed przystąpieniem do konkretnego rozpisywania tych równań, niezależnie od sposobu obciążenia konstrukcji), aby spełnić powyższe wymagania i aby mieć pewność, że ten układ jest najprostszym, dającym się najłatwiej rozwiązać.

3. Przykład liczbowy.

Do wyznaczenia reakcji podpór w powyższym przykładzie wykorzystamy równania:

Jest to najprostszy ze wszystkich możliwych układów równań: z każdego równania, które zawiera tylko jedną reakcję, obliczymy jej wartość niezależnie od wyników - poprawnych czy z błędami - innych reakcji.

Ad. 1)

Ad. 2)

Ad. 3)

Sprawdzenie:

?

---