Zadanie 1.

a) Wyznacz macierz Leontiewa trójgałęziowego układu gospodarczego wiedząc, że macierz struktury kosztów tego układu ma postać

oraz że współczynnik materiałochłonności gałęzi II wynosi 0,7.

b) Oblicz rentowność gałęzi III, wiedząc, że produkcja globalna tej gałęzi wynosi 300 jp., a fundusz płac jest cztery razy większy od zysku.

c) Oblicz wartość produkcji końcowej całego układu gospodarczego, jeśli wiadomo, że wektor produktu globalnego ma postać X = [100  260  100]^T.

Zadanie 2.

Racjonalna dzienna dieta dorosłej kobiety musi zawierać co najmniej 20 mg witaminy PP, co najmniej 100 mg magnezu i co najwyżej 2200 kcal. 1 kg wątróbek drobiowych zawiera 10 mg witaminy PP, 5 mg magnezu i ma wartość kaloryczną 250 kcal. 1 tabliczka (100 g) czekolady zawiera 3 mg witaminy PP, 70 mg magnezu i ma wartość kaloryczną 450 kcal. Kilogram wątróbek kosztuje 10 zł, a tabliczka czekolady 3 zł.

a)      Ułóż zadanie programowania liniowego opisujące jadłospis, który pozwoli zaspokoić wymienione wyżej wymagania dietetyczne przy jak najniższym koszcie.

b)      Sprawdź, czy jadłospis złożony z 3 kg wątróbek drobiowych i 2 tabliczek czekolady jest decyzją dopuszczalną.

c)      Cena kilograma wątróbek wzrosła nagle do 12 zł. Uzupełnienie zadania z punktu a) o ten fakt wymaga zmiany: I) tylko zbioru warunków ograniczających, II) tylko funkcji celu, III) zbioru warunków ograniczających oraz funkcji celu (zakreśl jedną odpowiedź).

Zadanie 3.

Dane jest zadanie PL:           -x₁ + 2x₂ ® min

                                   p. w.    2x₁ + 3x₂ ł 6               (I)

                                               -x₁ + 4x₂ Ł 8               (II)                                          

                                               3x₁ + x₂ Ł 12               (III)

                                               x₁, x₂ ł 0

a)      Przedstaw zadanie w postaci standardowej.

b)      Rozwiąż zadanie metodą graficzną; podaj optymalną wartość funkcji celu.

c)      Rozwiąż zadanie PL otrzymane z zadania b) po usunięciu warunku (III); podaj optymalną wartość funkcji celu.

d)      Rozwiąż zadanie PL otrzymane z zadania b) po zmianie funkcji celu na -x₁ - x₂ ® min; podaj optymalną wartość funkcji celu.

Zadanie 4.

Na podstawie rocznych danych z lat 1979 - 1998 oszacowano następujący model ekonometryczny, objaśniający spożycie alkoholu w przeliczeniu na alkohol 100% w litrach na osobę:

           
      t = 1, 2, ..., 20             R² = 0,59

                              (0,11)  (0,90)

a)      Zinterpretuj wyraz wolny oraz parametr stojący przy zmiennej t.

b)      Sporządź prognozy spożycia alkoholu na lata 1999, 2001 oraz 2005, zinterpretuj je i skomentuj ich sens ekonomiczny.

Zadanie 5.

Na podstawie rocznych danych z lat 1978 - 1997 oszacowano następujący model ekonometryczny:

           
             R² = 0,99

                                        (10,7)    (0,7)    (5,9)          (130,2)

gdzie:  R_t - wartość produkcji rolnej w Polsce (mln zł)

            U_t - powierzchnia użytków rolnych (tys. ha)

            N_t - zużycie nawozów sztucznych (tys. ton)

            M_t - liczba maszyn rolniczych (tys. sztuk)

Z_t - zmienna zero-jedynkowa równa 1 w latach, w których żniwa przypadały na ładną pogodę i 0 w przeciwnym wypadku.

a)      Zinterpretuj parametry stojące przy zmiennych U_t i Z_t.

b)      Oceń ekonomiczną sensowność znaków parametrów przy zmiennych N_t i Z_t.

c)      Oceń jakość modelu na podstawie dostępnych danych. Odpowiedzi:

Zadanie 1.

a)
         b) r₃ = 0,0981 » 0,1                c) SY = 173

Zadanie 2.

a) x - wątróbki (kg), y - czekolada (tabl.)                 b) tak               c) II

            10x + 3y ® min

10x + 3y ³ 20

            5x + 70y ³ 100

            250x + 450 y £ 2200

x, y ³ 0

Zadanie 3.

b) x^opt = (4,0)  f(x^opt) = -4

c) brak skończonego rozwiązania optymalnego

d) x^opt = (3,08; 2,77)  f(x^opt) = -5,85 

Zadanie 4.

b) Y₁₉₉₉ = 5,85                       Y₂₀₀₁ = 2         Y₂₀₀₅ = -0,52 (brak sensu ekonomicznego)

Zadanie 5.

b) N - nie ma sensu, Z - ma sens (rozwinąć!)

c) współczynnik determinacji (0,99) wysoki, błędy względne (30%, 41%, 40%, 25%) dopuszczalne, sens ekonomiczny (z wyjątkiem zmiennej N) w porządku; wnioski: model sformułowany i oszacowany poprawnie

PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE I MODEL LEONTIEWA

Zadanie 1.

Dane są następujące informacje o trzygałęziowym zamkniętym układzie gospodarczym: macierz współczynników kosztów A, wektor wartości dodanej d oraz wektor współczynników płacochłonności w:

 

a)       Wektor produktów końcowych tego układu gospodarczego ma postać [130  25  25].

b)       Zysk każdej gałęzi wynosi 30 jp.

c)       Element x₃₁ tablicy przepływów międzygałęziowych jest większy od elementu x₁₃.

d)       Gałąź pierwsza ma największą rentowność.

e)       W następnym okresie wektor produktów globalnych X = [400  100  200]^T jest możliwy do osiągnięcia.

Zadanie 2.

W pewnym trójgałęziowym systemie gospodarczym występują następujące powiązania. W gałęzi I na wytworzenie produktu globalnego o wartości 1 jp. zużywa się między innymi produkcję własną o wartości 0,6 jp. W gałęzi II na wytworzenie produktu globalnego o wartości 1 jp. zużywa się między innymi produkcję własną o wartości 0,4 jp. Gałąź I nie zużywa w procesie produkcyjnym wyrobów gałęzi III. Z kolei gałąź II nie zużywa w procesie produkcyjnym wyrobów gałęzi I. Współczynniki materiałochłonności w gałęzi I i II są równe odpowiednio 0,9 i 0,7. Jeśli wartość produkcji globalnej w gałęzi III wzrośnie o jedną jednostkę, zaś w pozostałych gałęziach nie ulegnie zmianie, wówczas wartość produkcji końcowej w gałęzi I spadnie o 0,2 jp., w gałęzi II spadnie o 0,2 jp., a w gałęzi III wzrośnie o 0,7 jp. Współczynniki rentowności gałęzi wynoszą odpowiednio 1/19, 1/9 i 1/9. Wartość produkcji globalnej gałęzi I wynosi 100 jp., zaś wartości produkcji końcowych w gałęziach II i III są równie odpowiednio 70 jp. i 10 jp.

a)       Pierwszy wiersz macierzy struktury kosztów ma postać [0,6   0   0].

b)       Współczynnik materiałochłonności gałęzi III wynosi 0,7.

c)       Produkcja globalna gałęzi II wynosi 200 jp.

d)       Płace w gałęzi II wynoszą 20 jp.

e)       Wartość dodana układu gospodarczego wynosi 100 jp.

Zadanie 3.

Wiadomo, że w każdej z dwóch gałęzi układu gospodarczego płace stanowią 50% wartości dodanej oraz że

.

a)       Zysk gałęzi I w okresie t wynosi 52 jp.

b)       Zysk gałęzi I w okresie t+1 wynosi 70 jp.

c)       Produkt końcowy gałęzi II w okresie t wynosi 40 jp.

d)       Produkt końcowy gałęzi II w okresie t+1 wynosi 40 jp.

e)       Aby produkt końcowy gałęzi I zwiększył się o 1 jp., a produkt końcowy pozostałych gałęzi nie zmienił się, konieczny jest przyrost produktu globalnego w gałęzi II o 3 jp.

Odpowiedzi:

	a	b	c	d	e
zad. 1	P	F	P	F	F
zad. 2	F	P	P	F	P
zad. 3	P	P	F	F	F

P - prawda

F - fałsz

1

---