Szacowanie wartości parametrów lub rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej na podstawie rozkładu empirycznego, uzyskanego z próby losowej pobranej z tej populacji, nazywa się estymacją.

Metody estymacji parametrycznej:

1. punktowa

2. przedziałowa

W estymacji punktowej za ocenę wartości parametru przyjmuje się wartość estymatora, otrzymaną na podstawie wyników próby

Estymacja przedziałowa to szacowanie wartości parametru Θ za pomocą tzw. przedziału ufności.

Przedziałem ufności nazywamy taki przedział, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem (1-α) zwanym poziomem ufności, pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru Θ.

Przy wielokrotnym pobieraniu prób n-elementowych i wyznaczaniu na ich podstawie granic przedziałów ufności średnio w (1-α)*100% przypadków otrzymujemy przedziały pokrywające nieznaną wartość Θ.

(1-α): 0,9; 0,95; 0,98; 0,99.

Podstawą konstrukcji przedziału ufności dla danego parametru Θ jest „dobry” estymator tego parametru, spełniający wymienione wcześniej własności.

F(x)

x

Przy zadanym poziomie ufności im większa jest liczebność, tym krótszy przedział ufności.

Przy ustalonej liczebności próby wraz ze wzrostem poziomu ufności rośnie rozpiętość przedziału ufności.

Im krótszy przedział, tym mniejszy błąd szacunku, co oznacza większą precyzje oszacowania

W przypadku wartości przeciętnej m do konstrukcji przedziału ufności wykorzystuje się średnią arytmetyczną z próby.

Dla wariancji σ² - wariancję z próby.

Dla wskaźnika struktury p - częstość wystąpienia danego zdarzenia.

Sposób konstrukcji przedziału ufności związany jest z rozkładem odpowiedniego estymatora. Rozkład ten zależy od założeń dotyczących rozkładu cechy w zbiorowości generalnej oraz od liczebności próby.

Przedział ufności dla wartości średniej

Przedział ufności dla wariancji

Przedział ufności dla wskaźnika struktury

Przedział ufności dla współczynnika korelacji liniowej r

Minimalna liczebność próby

Połowa długości przedziału ufności - maksymalny błąd szacunku - nie powinien przekraczać ustalonej z góry wartości d

Np. dla estymacji wartości średniej

dla estymacji wskaźnika struktury

Testowanie hipotez statystycznych

Hipotezą statystyczną nazywamy każdy sąd (przypuszczenie) dotyczące populacji generalnej wydany bez przeprowadzenia badania wyczerpującego.

Sądy te mogą dotyczyć:

postaci funkcji rozkładu populacji (hipotezy nieparametryczne)

wartości parametrów rozkładu (hipotezy parametryczne)

Wiedza a priori o populacji generalnej ogranicza zbiór możliwych hipotez i wyznacza tzw. zbiór hipotez dopuszczalnych

Hipotezę którą sprawdzamy nazywamy hipotezą zerową i oznaczamy symbolem H₀

Tworzymy również hipotezę alternatywną H₁, która jest odpowiednim zaprzeczeniem hipotezy zerowej.

Hipotezy statystyczne weryfikujemy konfrontując wyniki z próby losowej z treścią danej hipotezy przy pomocy testu statystycznego.

Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która każdej losowej próbie przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej hipotezy.

Błąd I rodzaju (poziom istotności - α): odrzucamy hipotezę zerową choć jest prawdziwa

Błąd II rodzaju (β): przyjmujemy H₀ chociaż jest fałszywa.

Zbiorem krytycznym (obszarem odrzucenia) nazywamy zbiór tych wartości sprawdzianu testu, które przemawiają za odrzuceniem hipotezy H₀

Zbiór krytyczny może być w zależności od postaci hipotezy alternatywnej zbiorem jednostronnym (prawo lub lewostronnym)lub dwustronnym.

Rozkład sprawdzianu hipotezy określa z jakich tablic należy odczytać wartość krytyczną, wyznaczającą zbiór krytyczny.

Obszar ten zależy więc również od liczebności próby n, od poziomu istotności α i od tego czy znamy parametry rozkładu w zbiorowości generalnej.

Etapy w budowie testów istotności:

1. Określenie hipotezy H₀ i H₁;

2. Przyjęcie poziomu istotności α (0,1- 0,001);

3. Wybór sprawdzianu testu;

4. Wybór obszaru krytycznego (odrzucenia) na podstawie rozkładu sprawdzianu testu i przyjętego poziomu istotności.

5. Podjęcie decyzji o odrzuceniu lub braku podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ w zależności od tego, czy wartość sprawdzianu testu znajdzie się w obszarze krytycznym czy nie.

Przykład empiryczny.

Przypuszcza się, że młodsze osoby łatwiej decydują się na zakup nowych nieznanych produktów. Badanie przeprowadzone wśród przypadkowych 20 nabywców nowego produktu i 22 nabywców znanego już wyrobu pewnej firmy dostarczyły informacji o wieku nabywców:

Nowego produktu starego produktu

Średnia 27,7 lat 32,1 lat

Odchylenie st. 5,5 lat 6,3 lat

Zweryfikować to przypuszczenie na poziomie istotności 0,05.

Zakłada się, że rozkład wieku w obu grupach kupujących jest normalny i charakteryzuje się tym samym zróżnicowaniem.

H₀: m₁ = m₂;

H₁: m₁ < m₂;

α =0,05

Obszar odrzucenia

(z tablic) t_0,1;40 = 1,684

Testy nieparametryczne nie wymagają założeń co do postaci rozkładu zbiorowości generalnej z której pobierana jest próba.

Podział:

Testy zgodności (weryfikują hipotezę o postaci funkcyjnej rozkładu populacji generalnej lub o tym, że dystrybuanty dwóch lub więcej zmiennych losowych są identyczne)

Testy losowości (weryfikują hipotezę, że próba ma charakter losowy)

Testy niezależności (sprawdzają hipotezę o niezależności dwóch zmiennych losowych)

Wnioskowanie statystyczne

1. Estymacja punktowa i przedziałowa parametrów rozkładu

2. Zagadnienie minimalnej liczebności próby

3. Parametryczne testy istotności

4. Nieparametryczne testy istotności

Zakłada się, że miesięczne wydatki na odzież i obuwie w rodzinach czteroosobowych mają rozkład N(m,σ). Oszacować przeciętną wartość tych wydatków, jeśli na podstawie budżetów 10 losowo wybranych gospodarstw w pewnym osiedlu otrzymano średnią =156 zł i odchylenie =30 zł. Przyjąć poziom ufności =0,98.

Miesięczne wydatki na odbitki kserograficzne (w zł) ogółu studentów SGH mają rozkład N(m,3). Badanie 5 losowo wybranych studentów ze względu na odbitki dostarczyło następujących danych: 10, 12, 8, 15, 10. Ilu co najmniej studentów należy wybrać do próby, aby przy poziomie ufności 0,95 oszacować średnie wydatki ogółu studentów, otrzymując przedział o długości nie przekraczającej 4 zł?

H₀: m₁ = 5;

H₁: m₁ > 5;

α =0,05

Zb. generalna ma rozkład nieznany.

Próba: n=125, s = 3, średnia = 4,5

u_0,05=1,64

H₀: σ²₁ = σ²₂;

H₁: σ²₁ > σ²₂;

α =0,05

Badane populacje mają rozkład normalny.

Próba: n₁=8, n₂=10 s²₁ = 3, s²₂ = 5

1

17

---