ZMIENNA LOSOWA

Dana jest przestrzeń probabilistyczna

<Ω, F, P>

Ω - zbiór zdarzeń elementarnych

P - prawdopodobieństwo określone na F

F (tał) - klasa zbioru Ω o właściwościach:

1. Ω ∈ F

2. A ∈ F to A'=Ω - A ∈ F

3. A_i ∈ F to U_i=1 ^niesk A_i ∈ F

Def. (prawdopodobieństwa)

P:F → R

1.[dla każdego A ∈F ] P(A) ≥0

2.P(Ω)=1

3. [dla każdego A,B ∈ F i A ∩B=∅] P(A∪B) = P(A) + P(B)

Przykład 1

Ω={ω1, ω2} ω1 - orzeł; ω2 - reszka

P(ω1) = P(ω2) = ½

F = {Ω, {ω1},{ω2}, ∅}

P(A) = mocA/mocΩ

Przykład 2

Na linii telef. o dł. AB(=L) (przerwanie linii jest jednakowo możliwe) nastąpiło przerwanie. Oblicz prawd, że pkt C jest odległy od A nie mniej niż l

A C B

Ω - każdy pkt AB

P(A) = miara zb A/ miara Ω = m(A)/(Ω) = L-l / B-A = L-l / L = 1- l/L

Def. (zmiennej losowej)

Zmienną losową (X) nazywamy funkcję

X: Ω→R i {ω: X(ω)<x}∈F, x∈R

Przykład 1

X: Ω→{0,1}

X(ω1)=0 P(x=1)=1/2

X(ω2)=1 P(x=0)=1/2

Typy zmiennych losowych:

a)skokowe (dyskretne)

b) ciągłe

zmienna los dyskretna - zbiór wartości jest zbiorem dyskretnym,

zmienna los ciągła - zbiór wartości jest sumą przedziałów

Def. Funkcję P(X=x_i) = p_i i=1... nazywamy f-cję prawdopodobieństwa zm los X

Σpi = 1

{(xi, pi )} i=1,2...

xi pi

0 ½ xi - punkty skokowe

1 ½ pi - skoki

Przykład

X - liczba trafień do tarczy

Do tarczy oddana 3 niezależne strzały. Prawd. trafienia ½

xi pi

0 (1/2)^3 = 1/8

1 3*(1/2)^3 = 3/8

2 3*(1/2)^3 = 3/8

3 (1/2)^3 = 1/8

Def.(dystrybuanta zmiennej losowej)

F:R→<0,1> i F(x) = P(X<x) nazywamy dystrybuantą zm los X

Dla przykładu wyżej

F(x)= { o x≤0

1/8 x∈(0,1>

4/8 x∈(1,2>

7/8 x∈(2,3>

• x>3

F(1) = P(X<1)

Własności dystrybuanty zm los

1. lim/x→-∞/ F(x) = 0 i lim/x→∞/ F(x) = 1

2. F jest funkcją nie malejącą

3. F jest lewostronnie ciągła

F(x) = Σ/xi,x/ P(X = xi) = Σ/xi<x/ pi

Def. (zmienna los ciągła) Funkcja f określona wzorem

f(x) = lim/Δx→0/ [P(x≤X≤x+Δx) / Δx

nazywamy funkcją gęstości zm los X

Zachodzi następujące przybliżenie

P(x≤X≤x+Δx) ≈ f(x)*Δx

Własności funkcji gęstości:

1. dla każdego x∈R f(x) ≥0

całka od a do b f(x)dx = P(a≤x≤b) P(X=a) = 0 !

2. całka od +∞ do -∞ f(x)dx = 1

Przykład (linia telef)

f(x) = { 0 dla x<0 lub x=L

c dla x∈<0,L>

Całka od +∞ do -∞ f(x)dx = całka od 0 do L cdx = cx^L₀ = LC = 1, to c = ½

P(l<x≤L) = całka l - L f(x)dx - całka l - L 1/Ldx = 1 - l/L

Rys

Dystrybuanta dla zm los typu ciągłego

F(x)= całka od -∞ do x f(t)dt

P(a<X≤b) = F(b) - F(a)

Typ skokowy

P(a<X≤b) = F(b) - F(a) i (a,b nie są pkt skokowymi)

PARAMETRY ZMIENNEJ LOSOWEJ

Def. E(X)= { Σxipi dla skokowej zm los Całka R xf(x) dla ciągłej zm los

Przykład 1

Strzelanie do terczy przez 3 strzelców

xi 0 1 2 3

pi 1/8 3/8 3/8 1/8

EX = 0*1/8 + 1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8 = 1,5

Własności wartości oczekiwanej:

1. P(x=c)=1 to EX=c

2. X przyjmuje wartości nieujemne to EX≥0

3. E(aX+b) = aEX+b

4. E[(aX)^k] = a^kEX^k

Def. Momentem zwykłym rzędu k nazywamy wartość oczekiwaną mz X podniesioną do potęki k

mk = E(X^k)

Def. Momentem centralnym rzędu k nazywamy

μk = E{[X - E(X)]^k}

μ1=0 μ2= m2 - m1^2 μ3 = m3 +3m1m2 + 2m1^3

D-d dla μ2:

μ2 = E{[X - EX]^2} = E( X^2 - 2XEX = E^2X) = E(X^2) - 2E^2X + E^2X = m2 - m1^2

Def. D^2X = E{[X - EX]}^2

Odchylenie standardowe - δ, DX

δ = pierwiastek z D^2X

Własności wariancji

1. P(x=c) = 1 to D^2C = 0

2. D^2(aX+b) = a^2D^2X

3. Y = X/DX to D^2(Y) = 1

4. D^2X≤E(x-c)^2 dla każdego c∈R

5. Y = (X - EX)/DX to EY = 0 i D^2Y = 1

6. Nierówność Czebyszewa

P{X - EX≥kδ} ≤ 1/(k^2), k∈R

Ta nierówność nie działa gdy rozkład jest silnie asymetryczny

Def. V = δ / XE

Współczynnik zmienności - określa stopień zróżnicowania zm los

Def. Kwantylem rzędu p-tego zm X nazywamy taką liczbę, że

P(X≤x) ≥ p i P(X≥x) ≥1-p

Mediana -kwantyl rzędu 1/2

Me = x to P(X ≤ x) ≥ ½ - P(X ≥ x) ≥ ½

Wyznaczanie mediany:

- jeżeli X zm los ciągła to Me wyznacza się z rów F(x)=1/2

Przykład:

xi 0 1 2 3

pi 1/8 3/8 3/8 1/8

Me = 1 to P(X≤1)=1/2 i P(X≥1)=7/8

Me = 2 to P(X≤2)=7/8 i P(X≥2)=1/2

Stąd Me∈<1,2>

Przykład:

F(X)=1/2

Całka -∞ do x f(t)dx = ½

1/(b-a) całka a do x dx = ½

[1/(b-a)]*(x-a)=1/2

x=(a+b)/2

Def.(Dominanta Do) Wartość zm los, której odpowiada największe prawd gdy X zm los skokowa

1. Max lokalizacja fukncji gęstosci, gdy X zm los ciągła

Def

a) dla każdego xi≤c istnieje xj≥c istnieje c takie, że P(X=xi) - P(X=xj)=1

gdy X zm los skokowa c - xi + xj - c

b) istnieje c takie, że dla każdego x∈R f(x-c)=f(x+c) gdy X zm los ciągła

Rys

Def γ1 = μ3/δ^3

γ>0 asymetria γ<0 asymetria γ

Rys*2

WIELOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE

Def. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych

xi i=1...n zm los określona na Ω

zm los X= (X1,X2,...Xn) nazywamy n-wymiarową zm los

Dwuwymiarowa zm los (n=2)

Def. Dwuwymiarowa zm los (X,Y) jest typu skokowego jeżeli przyjmuje ona skończoną lub przeliczalną liczbę wartości (xi yi) odpowiednio z prawdopodobieństwem pij tzn P(X=Xi, Y=yi) = pij, ΣiΣj pij = 1 i pij≥o {(xi, yj) Pij}

Def Zbiór prawdopodobieństw pij P(X=xi, Y=yj) nazywamy funkcję skokowej zm los (X,Y)

Def. Dystrybuanta dwuwymiarowej skokowej zm los (X,Y) nazywamy funkcję określoną wzorem

F(x,y) = Σxi<xΣyi<y pij i=1...m; j=1...n

Rys

Oznaczenia

pi* = Σ(j=1 do n) pij = P(X=xi)

p*j = Σ(i=1 do m) pij = P(y=yi)

Def. Pi* = P(X=xi) i=1..m

P*j = P(y=yi) j=1..n

---