data 28.05.2012 godzina 14:15

rok akademicki: 2011/2012 semestr: IV

grupa: 4D6 (D) - X2

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM

METOD NUMERYCZNYCH

ĆWICZENIE NR 6

TEMAT: Iteracyjnie rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych

Krzysztof Filipek - 164333

Kamil Turkowski - 164478

1. Listingi M-Funkcji:

1. Pliki liczące wartość funkcji:

fun1.m:

function [wyj] = fun1(we)

wyj = (we-3)*(we^2+3*we+4);

fun2.m:

function [wyj] = fun2(we)

wyj = ((we-2)^2)*(we^2+3*we+4);

fun3.m:

function [wyj] = fun3(we)

wyj = ((we+1)^3)*(2*we^2-we+2);

2. M-pliki z wartościami pochodnych:

fun1poch.m:

function [wyj] = fun1poch(we)

wyj = 3*we^2-5;

fun2poch.m:

function [wyj] = fun2poch(we)

wyj = 4*we^3-3*we^2-8*we-4;

fun3poch.m:

function [wyj] = fun3poch(we)

wyj = 10*we^4+20*we^3+15*we^2+10*we+5;

3. Metoda bisekcji:

Uwaga: W kolejnych m-plikach ciąg znaków NR odpowiada liczbie określającej plik z funkcją używany do wyliczenia wartości funkcji (1, 2 lub 3).

function [x] = bisekcjaNR(przedzial,eps)

x = zeros(1);

temp = 0;

if funNR(przedzial(1))*funNR(przedzial(2))<0

while temp<100

temp=temp+1;

x = (przedzial(1)+przedzial(2))/2;

if abs(funNR(x)) < eps

break;

end

if funNR(x)*funNR(przedzial(2))<0

przedzial(1)=x;

else if funNR(przedzial(1))*funNR(x)<0

przedzial(2)=x;

end

end

end

end

x(2) = temp;

4. Metoda siecznych:

function [x] = siecznychNR(przedzial,eps)

x = zeros(2);

temp = 0;

%x = przedzial(2)

if funNR(przedzial(1))*funNR(przedzial(2))<0

while abs(przedzial(1)-przedzial(2))>eps

temp=temp+1;

x = przedzial(2)-funNR(przedzial(2))*(przedzial(2)-przedzial(1))/((funNR(przedzial(2))-funNR(przedzial(1))));

przedzial(1)=przedzial(2);

przedzial(2)=x;

end

end

x(2) = temp;

5. Metoda Newtona:

function [x_akt] = newtonNR(x_pop,eps)

x_akt = zeros(1);

temp = 0;

if x_pop~=0

while temp<100 && abs(funNR(x_pop)) > eps

temp=temp+1;

x_pop = x_akt;

h = funNR(x_pop)/funNRpoch(x_pop);

x_akt = x_pop - h;

end

end

x_akt(2) = temp;

Uwagi dodatkowe:
M-pliki zwracają jako wynik macierz dwuelementową na którą składa się obliczone miejsce zerowe oraz wykonana ilość iteracji.

2. Tabelaryczne zestawienie otrzymanych wyników:

Przedział dla:

Punkt startowy dla metody Newtona: x­_pocz=7.37

Funkcja 1 x=3	Metoda bisekcji		Metoda siecznych		Metoda Newtona
		Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji
0.001	2.999958801269531	16	2.999993127636541	11	3.000000000000031	19
0.00001	3.000000357627869	22	3.000000002565115	12	3.000000000000031	19
0.0000001	3.000000002048910	29	2.999999999999993	13	3.000000000000000	20
0.000000001	2.999999999995635	36	3.000000000000000	14	3.000000000000000	21

Funkcja 2 x=2 (podwójny)	Metoda bisekcji		Metoda siecznych		Metoda Newtona
		Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji
0.001					2.004059772560051	11
0.00001					2.000254218576056	15
0.0000001					2.000031780856213	18
0.000000001					2.000003972662262	21

Funkcja 3 x=-1 (potrójny)	Metoda bisekcji		Metoda siecznych		Metoda Newtona
		Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji	Przybliżenie	Ilość iteracji
0.001	-1.017187500000000	6	-1.002990744696247	26	-0.973910617708497	8
0.00001	-1.000976562500000	9	-1.000025137656639	43	-0.992341122310248	11
0.0000001	-1.000976562500000	9	-1.000000279483011	59	-0.998491787897286	15
0.000000001	-0.999963378906250	13	-1.000000002345618	76	-0.999702261871961	19

^­

3. Wykresy zbieżności poszczególnych metod dla dokładności:
   

1. Metoda bisekcji:

2. Metoda siecznych:

3. Metoda Newtona:

4. Wnioski:

Wykonując ćwiczenie porównaliśmy przydatności metody bisekcji, siecznych oraz Newtona do wyznaczania zer funkcji. Metoda Newtona okazała się najbardziej wartościowa ze względu na małą ilość iteracji w stosunku do pozostałych. Ponadto metody bisekcji i siecznych muszą posiadać wartości o przeciwnych znakach na końcach przedziałów co skutkuje brakiem możliwości użycia ich dla funkcji z pierwiastkami parzystych stopni. Natomiast metodę Newtona możemy stosować wtedy i tylko wtedy gdy
.

---