Przetwarzanie Sygnałów 2 Laboratorium	Ćwiczenie nr. 9 „Okna czasowe i filtry FIR”
Damian Sosnowski 129003 Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Środa 7:30	Data Ćwiczenia: 8. XII. 2004	Ocena:

1. Analiza okien czasowych w dziedzinie czasu i częstotliwości:

Analizie poddałem następujące typy okien: Bartlett'a, Hamming'a oraz Kaiser'a. Wszystkie okna analizowane były dla długości n = 100. Przy oknie Kaiser'a dobierałem ponadto współczynnik beta, który decyduje o kształcie okna.

Przebieg badanych okien w dziedzinie czasu:

Przebieg badanych okien w dziedzinie częstotliwości:

Ponieważ przebiegi widmowe w dziedzinie częstotliwości , po wykonaniu FFT dla badanych okien są bardzo do siebie zbliżone, to aby zauważyć różnice pomiędzy poszczególnymi oknami przeskalowałem wykres, aby zobaczyć różnice początkowych przebieg widma na powiększonym w ten sposób wykresie:

WNIOSKI:

Z przeprowadzonej analizy okna Kaiser'a w dziedzinie czasu widać, że kształt tego okna uzależniony jest w znacznym stopniu od współczynnika beta, im jest większy tym okno staje się bardziej płaskie. Prawie wszystkie okna mają kształt odwróconej paraboli, wyjątkiem jest okno Bartlett'a, które jest oknem trójkątnym. W dziedzinie częstotliwości najbardziej wąskie „listki boczne” ma okno Hamming'a, natomiast w widmie okna Bartlett'a występują największe „listki boczne” które powodują znaczniejsze nieregularności w widmie amplitudowym.

2. Zmniejszanie przecieku widma za pomocą okien

Zdefiniowałem następujący sygnał okresowy:

Wykreśliłem jego przebieg dla przyjętej umownie długości L=40:

W celu zaobserwowania zjawiska przecieku widma, sygnały o długości 40 i 120 poddałem transformacie Fouriera, i obserwowałem jego widmo amplitudowe dla zwiększającej się kilkakrotnie liczby próbek.

Zjawisko Przecieku Widma występuje w wyniku próbkowania niepełnej liczby okresów analizowanego sygnału.

Wyznaczyłem moduł widma amplitudowego dla pierwszego sygnału (L=40):

Widmo amplitudowe wyznaczyłem dla zmiennej liczby próbek transformaty Fouriera N = ( 40 , 200 , 400 ). Im więcej próbek transformaty, to w widmie amplitudowym występują większe nieregularności, przeciek widma staje się bardziej wyraźny

Na kolejnych wykresach za pomocą różnych okien przedstawiona będzie minimalizacja zjawiska przecieku widma. Wszystkie okna zdefiniowałem o długości

L = 40

Operacja okienkowania polega na wymnożeniu każdej próbki badanego sygnału z próbką wybranego przez nas okna.

W analizie wykorzystałem okna Bartlett'a, Hamming'a oraz Kaiser'a. W oknach Bartlett'a, i Hamming'a jedynym możliwym do zdefiniowania parametrem była długość okna. Przy oknie Kaiser'a oprócz parametru długości okna, można również zdefiniować współczynnik beta, który w znaczący sposób będzie wpływał na zmieszenie przecieku widma

Okienkowanie z wykorzystaniem okna Kaiser'a:

Okienkowanie z wykorzystaniem okna Hamming'a i Bartlett'a:

WNIOSKI:

Zauważyłem, że zastosowanie okien do minimalizacji efektu przecieku widma daje różne rezultaty w zależności od zastosowanego typu okna. Z wykresów widać, że okna Hamming'a oraz Bartlett'a praktycznie w porównywalny sposób powodują zmalenie poziomu przecieku oraz zmniejszenie amplitudy sygnału, przy czym przy zastosowaniu okna Hamming'a otrzymamy lepsze wyniki. Natomiast stosowanie okna Kaiser'a do zmniejszenia przecieku widma daje różne rezultaty w zależności od dobranego współczynnika beta. Im przyjęta wartość beta jest większa tym przeciek widma jest mniejszy, lecz mamy bardziej zmniejszoną amplitudę sygnału. Z przedstawionych wykresów wynika, że okno Kaiser'a o współczynniku beta = 6 dało najlepsze rezultaty, niż okna Hanning'a i Kaiser'a.

Zwiększyłem długość sygnału do L = 120:

Przebieg sygnału w dziedzinie czasu:

Obserwowałem jego widmo amplitudowe dla zwiększającej się kilkakrotnie liczby próbek:

Widmo amplitudowe wyznaczyłem dla zmiennej liczby próbek transformaty Fouriera N = ( 120 , 600 , 1200 ). Ponieważ obserwowane widmo jest duże to okienkowanie przeprowadzę na widmie z ilością 600 próbek transformaty.

Na kolejnych wykresach za pomocą okien Hamming'a, Bartlett'a oraz Kaiser'a przedstawiona będzie minimalizacja zjawiska przecieku widma. Ponieważ długość badanego sygnału się wydłużyła, wydłużyłem długość wszystkich okien i wynosi ona L = 120. Podobnie jak wcześniej przy oknie Kaiser'a oprócz parametru długości okna, definiowałem współczynnik beta

Okienkowanie za pomocą okna Kaiser'a:

Okienkowanie za pomocą okna Hamming'a i Bartlett'a

WNIOSKI:

Podobnie jak wcześniej, przy zastosowaniu okna Hamming'a oraz Bartlett'a widmo amplitudowe sygnału praktycznie nie różniły się, w jednakowy sposób uległo zmniejszenie poziomu przecieku widma oraz zmniejszenie amplitudy sygnału. Widmo przy zastosowaniu okna Hamming'a w znaczny sposób zminimalizowało przeciek widma. Stosowanie okna Kaiser'a do zmniejszenia przecieku widma dawało znacznie lepsze rezultaty, jeżeli przyjęta wartość współczynnika beta była większa, ale otrzymywaliśmy przy tym bardziej zmniejszoną amplitudę sygnału. Z wykresów wynika, że okno Kaiser'a o współczynniku beta = 6 praktycznie całkowicie zminimalizowało przeciek widma. Więc jeśli będziemy okienkować sygnał o większej długości to uzyskane efekty zmniejszenia nieregularności w widmie amplitudowym, będą bardziej zadowalające.

3. Projektowanie filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR). Analiza wpływu rzędu filtru na charakterystyki amplitudowe i fazowe:

Filtry o skończonej odpowiedzi do uzyskania bieżącej próbki sygnału wyjściowego wykorzystują próbkę bieżącą i próbki przeszłe sygnału wejściowego. Dysponując skończonym ciągiem różnych od zera próbek sygnału wejściowego, filtr o skończonej odpowiedzi (FIR) zawsze ma na wyjściu skończonej ilości niezerowych próbek sygnału wyjściowego, stąd bierze się nazwa tego typu filtrów.

Zaprojektowałem Filtr FIR o f_C = 0.4 Na wykresach wywoływanych za pomocą funkcji freqz obserwowałem jaki wpływ ma rząd zaprojektowanego filtru na jego charakterystyki amplitudowe oraz fazowe. Przyjąłem następujące rzędy filtru 10, 30 i 60

WNIOSKI:

Na przedstawionych wykresach za pomocą funkcji freqz wyznaczyłem przebieg pasma przepuszczania, pasma zaporowego i fazy w dziedzinie częstotliwości w zależności od przyjętego rzędu filtru. Zauważyłem, że szerokość pasma przepuszczania dla filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej bardzo silnie zależy od rzędu filtru. Im rząd filtru jest większy tym pasmo przepuszczania jest mniejsze. W całym obszarze przepuszczania filtru faza jest liniowa, poza obszarem występują już zakłócenia liniowości, ale filtr tłumi w tym zakresie powyżej 50 dB i mamy już bardzo mały sygnał. W paśmie zaporowym, tłumienie sygnału jest tym większe im większy jest rząd filtru i dzięki temu w poza obszarem przepuszczania dla filtru o wysokim rzędzie tłumienie ma bardzo dużą wartość i w praktyce całkowicie eliminuje sygnał.

8

---