STATYSTYKA

Zadania specjalne z odpowiedziami

1. Zaokraglij liczby do jednej setnej: 4.335,8.915, 17.249, 17.398, 2.225001, 2000348.332.

Odp: 4.33, 8.92, 17.25, 17.40, 2.23,  2000348.33

 2. Podczas dorocznych badań lekarskich zmierzono obwody bicepsów studentów polonistyki i otrzymano nastepujace wyniki (w cm): 26, 23, 20, 19, 23, 38, 28, 34, 28, 23.

a) Podaj zakres obwodów bicepsa u studentów polonistyki i granice rzeczywiste tego zakresu.

b) Oblicz s´rednia arytmetyczna dla wszystkich pomiarów.

c) Wyznacz mediane i wartość modalną dla wszystkich pomiarów.

d) Zakoduj dane odejmujac wartość najmniejszego obwodu bicepsa od wszystkich pomiarów.

e) Oblicz średnia dla zakodowanych danych i odkoduj ja.

f) Czy logarytmowanie wartości wszystkich pomiarów to: zaokraglenie, transformacja, czy kodowanie?

 

Odp: a) 19 - 38; 18.5 - 38.5 b) 26.2 c) M_med = 26 M_mod = 23 d) 7, 4, 1, 0, 4, 19, 9, 15, 9, 4

e) 7.2; 26.2 f) transformacja 

3. W akwarium w holu Instytutu Nauk o Środowisku pływa 25 ozdobnych rybek róznych gatunków w różnych kolorach. Stosunek liczbowy rybek czerwonych, niebieskich i żótych wynosi 2:2:1. Ile jest zółtych rybek w akwarium? Jaka jest ich proporcja do pozostaych?  Odp: 5 rybek; proporcja 0.2 

II.

2. Dwóch gospodarzy posiada po kilka owiec. Owce bacy z okolic Zakopanego maja rogi o długości: 14, 20, 25, 26, 30

cm. Owce bacy z Bieszczad maja rogi o długości: 18, 19, 21, 23, 25 cm.

- podaj zakresy długości rogów owiec obu gospodarzy oraz rzeczywiste granice tych zakresów

- oblicz średnia, wariancje, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności dla długości rogów owiec obu gospodarzy.

Odp. - Zakopane: 14-30; 13.5-30.5. Bieszczady: 18-25; 17.5-25.5

- Zakopane:
 = 23.0, s² = 38, s = 6.16, V = 1.65;  Bieszczady:
 = 21.2, s² = 2.86, V = 0.39

3. W pewnym kompleksie leśnym stwierdzono zimą obecności 100 samic i 100 samców sikor bogatek. Ustalono tez, ze 30% sikor ma kleszcze, a ich wystepowanie jest niezalezne od płci.

(a więc: proporcja samic = proporcja samców = 0.5; proporcja osobników zapasożyconych = 0.3; proporcja niezapasożyconych = 0.7)

Oszacuj prawdopodobieństwa, ze losowo odłowiona sikora:

- jest samcem z pasozytami                             Odp: 0.15

- nie jest ani samica ani samcem                    Odp: 0

- nie jest samica bez pasozytów                     Odp: 0.65

- jest samcem z pasożytami lub samica z pasożytami. 0.3

 

 

W sposób losowy odłowiono 2 sikory. Oszacuj prawdopodobieństwa:

- obie sa samicami                   Odp: 0.25

- zadna nie ma pasozytów                               Odp: 0.49

- pierwsza odłowiona ma pasozyty, a druga nie                   Odp: 0.21

- jedna z nich ma pasozyty, wszystko jedno która               Odp: 0.42

- obie maja pasozyty.                                       Odp: 0.09

W sposób losowy odłowiono 5 osobników. Oszacuj prawdopodobieństwa, że:

- wszystkie sa samicami                                  Odp: 0.031

- zaden nie ma pasozytów                               Odp: 0.168                               

- co najwyzej 3 mają pasozyty                        Odp: 0.837                               

- co najmniej 4 mają pasozyty                        Odp: 0.03

- wszystkie maja pasozyty                              Odp: 0.002

- zaden nie ma pasozytów lub wszystkie maja pasozyty.                             Odp: 0.17 

III.

3. Badano liczbe osobników bielinka kapustnika odwiedzajacych na 10 poletek kapusty przed opryskami insektycydem i po opryskach. Otrzymano nastepujace liczby osobników:

przed: 23, 34, 56, 78, 25, 67, 28, 34, 57, 34

po: 54, 21, 74, 34, 45, 21, 32, 76, 10, 36.

Ustal czy opryski zmniejszyły liczbe bielinka kapustnika. Podaj: a) hipoteze zerowa, b) hipoteze alternatywna, c) nazwe

rozkładu i jego parametry, d) obszar krytyczny, e) decyzje i wartość błedu I rodzaju.

IV.

1. Pewien kumak nizinny Bombina bombina złożył 400 jaj. Rozwinęło się z nich 271 samic i 129 samców. Jaki był stosunek

liczby samców do samic? Odp: 0.48;  Jaka była proporcja samic? Odp: 0.68; Jaki to procent? Odp: 68%; Jakie jest prawdopodobieństwo, ze losowo wybranego jaja rozwinie sie samica? Odp: 0.68

 

2. Długość stopy nornicy rudej Clethrionomys glareolus w Puszczy Niepołomickiej ma rozkad normalny ze średnia 15.8 i odchyleniem standardowym 1.9 mm. Narysuj rozkład tej cechy w populacji. Zaznacz wartość średnia i SD; pod osią X zaznacz wartości rzeczywiste, a nad osia standaryzowane.

a) Pewna nornica miała stope o długości 16.5 mm. Oblicz standaryzowana wartość tej długości i oznacz ją na wykresie. Co oznacza ten wynik?                         Odp: Z = 0.37  Ta nornica miała długość stopy większą od średniej w populacji, ale mieszczącą się w granicach 1 odchylenia standardowego (dokładnie, odległą od średniej o 0.37 odchylenia standardowego).

b) Z jakim prawdopodobieństwem napotkamy w tej populacji osobnika mającego stopę krótszą niż 14.3 mm, a z jakim dłuższą niz 12.5 mm?                          Dla długości 14.3mm Z = -0.79 czyli prawdopodobieństwo napotkania osobnika o stopie krótszej niż 14.3: p = 0.2148. Dla długości 12.5mm Z = -1.74 czyli prawdopodobieństwo napotkania osobnika o stopie dłuższej niż 12.5mm: p = 0.9591.

c) Jaki procent nornic zalicza sie do grupy o stopie dłuższej o 1.5 odchylenia standardowego od średniej?     Odp:1.29%

d) Jaka długość stopy ma taki osobnik?      Odp: 18.6mm 

3. Pewien hodowca krów w postanowił skrzyżować heterozygoty, aby uzyskac krowy o sierści czarnej i białej. Według praw Mendla powinien otrzymać proporcje 3:1 (czarne:białe), a uzyskał 288 osobników czarnych i 112 osobników białych.

Podaj: a) model, b) hipotezę zerową, c) hipotezę alternatywną, f) rodzaj testu, g) poziom istotności, h) obszar krytyczny standaryzowany i niestandaryzowany, i) proporcje otrzymaną po kojarzeniach, j) wnioski, k) wartość błędu I rodzaju.

Odp:a) proporcja osobników czarnych p = 0.75; niezależna próba losowa, b) otrzymana proporcja osobników czarnych nie różni się istotnie od 0.75, czyli dziedziczenie barwy jest zgodne z prawami Mendla, c) otrzymana proporcja osobników czarnych różni się istotnie od 0.75, f) test dla proporcji, g) 0.05, h) Z≤ - 1.96 , Z ≥ 1.96; p ≤ 0.68 p ≥ 0.82, i) proporcja osobników czarnych p = 0.72, j) otrzymana proporcja nie różni się istotnie od przewidywanej, dziedziczenie zgodne z prawami Mendla, k) P = 0.1646. (to zadanie można również liczyć testem chi-kwadrat)

VI.

1. Wśród profesorów zasiadajacych w Komitecie Biologii Teoretycznej i Ewolucyjnej PAN 10 nosi brody. Dugos´c´ bród ma rozkad lekko prawoskośny (wiekszość profesorów ma brody krótkie). Po transformacji długości bród pierwiastkiem kwadratowym otrzymano rozkład symetryczny o średniej 15 i odchyleniu 3. Podaj granice 95% i 99% przedziałów ufności, a nastepnie stransformuj otrzymane wartości w odwrotnym kierunku. 

Odp: 1. Granice przedziału 95%: 12.86 i 17.144 (nietransformowane), 165.38 i 293.91 (transformowane). Granice przedziału 99%: 11.919 i 18.081 (nietransformowane), 142.06 i 326.92 (transformowane). 

2. Pewnego roku zbadano sukces lęgowy kosów w Lasku Wolskim. Okazało sie, ze spośród 200 gniazd, lęgi skończyły się sukcesem w 126 gniazdach. Oblicz 95% przedział ufności dla proporcji gniazd z sukcesem lęgowym.

Odp: 0.563, 0.696

VII.

1. Badano dugość liści buka. Kiedy nalezy zastosować pary wiazane (PW) a kiedy próby niezalezne (PN), aby odpowiedziec´ na nastepujace pytania:

a) Czy długość liści jest różna w Puszczy Niepołomickiej i w Puszczy Boreckiej?

b) Czy liście zebranie z drzew róznia sie od liści zebranych spod drzew?

c) Czy lis´cie rosnące od wschodniej strony drzewa różnią się od liści rosnących po stronie zachodniej?

d) Czy długość liści w sezonie 2002 i 2003 różni sie od siebie - jeżeli leśnictwo wyraziło zgodę na znakowanie drzew?

e) Czy długość liści w sezonie 2002 i 2003 różni sie od siebie - jeżeli drzewa nie były znakowane?

 Odp: PW: b, c,d; PN: a,e 

2. Zaplanuj eksperyment pozwalajacy ocenic´, czy jesienne wypalanie łąk przy III Kampusie UJ wpływa na liczbę gatunków roślin w kolejnym sezonie wegetacyjnym. Jak przeprowadzić eksperyment i jaki rodzaj testu zastosować, jeżeli:

a) roślinność wokół kampusu jest bardzo niejednorodna

b) badane przez nas zbiorowisko jest w miare jednorodne

c) ocena liczby gatunków po zabiegach jest wykonywana przez dwie osoby

 Odp: a) eksperyment na wiązanych parach poletek: losowo wyznaczamy poletka na łące, a następnie obok każdego z nich wyznaczamy drugie położone w obrębie tego samego siedliska. W obrębie każdej pary losujemy poletko do zabiegu (wypalanie trawy) a drugie przeznaczamy na kontrolę (brak wypalania). W kolejnym sezonie oznaczamy liczbę gatunków roślin na wszystkich poletkach i analizujemy testem t dla par wiązanych

b) w sposób losowy wyznaczamy na łące pewną liczbę poletek, następnie spośród nich losujemy poletka do zabiegu, a pozostałe traktujemy jako kontrolę.  W kolejnym sezonie oznaczamy liczbę gatunków roślin na wszystkich poletkach i analizujemy testem t dla prób niezależnych.

c) losowo przydzielamy obu osobom poletka do przebadania

 VIII.

1.W lasach wokół Krakowa odłowiono 250 osobników chrzaszczy Pterostichus melanarius. Stwierdzono, ze w próbie znajduje sie 130 samic i 120 samców. Sprawdź dwoma odpowiednimi testami, czy stosunek płci u tego gatunku odbiega od 1:1.

Odp: a) test dla proporcji, H0: proporcja płci równa 0.5, HA: proporcja płci inna niż 0.5, µ=0.5, σ=0.0316,

przyjmujemy H0, błąd pierwszego rodzaju p=0.5286, b) test chi2, H0 proporcja płci równa 0.5, HA: proporcja płci odbiega od 0.5, ­χ2 =0.4, χ2 _{1; 0.05} = 3.841, przyjmujemyH0, prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju 0,5 < p < 0,9 

IX.

1. Przypisz badane cechy do właściwego typu skali pomiarowej (A-nominalna, B-porządkowa, C-interwałowa):

- zasolenie wody                                              Odp: C

- grupa krwi                                                       Odp: A

- miejsce w kolejce do kasy                            Odp: B

- liczba osobników w stadzie.                         Odp: C 

3. Dla podanych wartości rozkładu pomiarów liczby jaj w gnieździe sikory bogatki: 3, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 3 podaj: wielkość próby, medianę, średnią arytmetyczną, wartość modalną

W próbie 20 samców i 30 samic proporcja samców wynosi ......., a stosunek liczby samców do samic wynosi ....... 

Odp: 10, 3.5, 3.6, 3, 0.4, 0.67

 

X.

Zadanie 1.

Prawnuk Darwina postanowił powtórzyć ekseryment swojego pradziadka. Z 15 kolb kukurydzy (pochodzących od różnych osobników) wziął po 2 nasiona i zasadził. Kiedy urosły, jedną roślinę z każdej pary zapylił jej własnym pyłkiem, a drugą obcym. Nastepnie zmierzył wysokość powstałych w ten sposób roślin potomnych.

Sprawdź, czy uzyskane przez niego wyniki potwierdzają przekonanie, że rośliny powstałe w wyniku samozapłodnienia są słabsze niż te powstałe w wyniku zapylenia obcym pykiem.

para                                           1     2     3    4    5    6   7     8    9   10  11  12  13  14  15           

obcy pyłek                               92; 0;   72; 80; 57; 76; 81; 67; 50; 77; 90; 72; 81; 88; 0

samozapylenie                         43; 67; 64; 64; 51; 53; 53; 26; 36; 48; 34; 48; 6;   28; 48

 Odp: test t Studenta dla par wiązanych; t = 2,148; t_14;0,05 = 2,145; odrzucamy H0 o braku różnic między roślinami powstałymi w wyniku zapylenia obcym pyłkiem a tymi powstałymi z samozapylenia; rośliny powstałe w wyniku zapylenia obcym pyłkiem są wyższe. 0,02 < P < 0,05. 

Zadanie 3

Pewien dociekliwy leśnik zmierzył obwód wszystkich drzew w swoim leśnictwie. Otrzymał średnią 15 i odchylenie standardowe 3. Oblicz, jaka część drzew mieści się w granicach 18-21? Odp: 0,136 (13,6%)

Gdyby leśnik chciał wyciąć 20% najcieńszych drzew, to poniżej jakiego obwodu musiaby ciąć? Odp: trochę poniżej 12,48 (79,95% drzew ma obwód większy niż 12,48) 

Zadanie 5

Spośród studentów UJ wylosowano 200 magistrantów i 200 licencjuszy, a nastepnie ustalono, ze papierosy pali 68 licencjuszy i 76 magistrantów. Czy grupy te róznia sie odsetkiem palaczy? Co na podstwie tej próby mozna powiedzieć o wszystkich magistrantach studiujacych na UJ

χ2 = 0,694; χ2_1;0.05 = 3,841; przyjmujemy H₀ że magistranci i licencjusze nie różnią się odsetkiem palaczy. 95% przedział ufności dla średniej proporcji palaczy wśród magistrantów mieści się w granicach 0,38±0,059, czyli w tych granicach najprawdopodobniej mieści się realna proporcja palących magistrantów UJ.

---