DEFINICJA POCHODNEJ FUNKCJI ORAZ REGUŁY OBLICZANIA POCHODNYCH
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego, gdy ∆x dąży do zera. Pochodną zaznaczamy symbolem f ' (x0)
f ` (x0)=lim
Reguły obliczania pochodnych: jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x0, to:
(f + g) ` (x0)= f `(x0) + g ` (x0)
(f - g) `(x0)= f `(x0) - g ` (x0)
(f * g) ` `(x0)=f ` (x0) * g (x0) + f (x0) * g ` (x0)
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną f ` (x0)≠0 i istnieje funkcja odwrotna f -1 do funkcji f to istnieje pochodna funkcji f -1 w punkcie y0=f(x0), przy czym zachodzi wzór
(f -1) ` (x0)=
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie x0 a funkcja f jest różniczkowalna w punkcie g(x0) to funkcja f(g) jest różniczkowalna w punkcie x0 , przy czym zachodzi wzór
(f(g)) ` (x0)= f ` (g(x0)) * g ` (x0)
DEFINICJA CAŁKI NIEOZNACZONEJ I WZORY NA OBLICZANIE CAŁEK
Def. całki nieoznaczonej:
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale x nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na tym przedziale i oznaczamy symbolem f (x) dx
Wzory:
1. xndx= +C n≠-1
2. = ln |x| + C
3. axdx= + C (a>0 i a≠1)
4. exdx= ex + C
5. sin x dx= - cos x + C
6. cos x dx= sin x + C
7. = - ctg x + C
8. = tg x + C
9. = arc sin x + C
10. = arc tg x + C
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają pochodne na pewnym przedziale i pochodne te są funkcjami ciągłymi to zachodzi wzór:
u(x) v' (x)dx= u(x) v(x) - v(x) u'(x) dx
DEFINICJA CAŁKI OZNACZONEJ RIEMANNA I JEJ INTERPRETACJA PEAMETRYCZNA
Definicja: Ciąg podziałów przedziału | a, b | nazywamy ciągiem normalnym podziałów, gdy ciąg średni tych podziałów jest zbliżony do zera
x1 , x2, …. →0
Z każdego otrzymanego przedziału wybieramy po jednym punkcie i oznaczamy
Następnie wyliczamy wartość funkcji f w punktach
Tworzymy sumę
S=∑ f ( ) ∆xj
Sumę S nazywamy sumą całkową Riemanna funkcji f w przedziale | a, b |
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału przedziału | a, b | istnieje zawsze taka sama
granica
lim ∑ f( ) ∆xj
niezależna od wyboru punktu to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale | a, b | i oznaczamy symbolem
f(x) dx.
DEFINICJA MACIERZY I METODY WYZNACZANIA MACIERZY ODWROTNEJ
Def. macierzy : Niech liczby m i n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej parze liczb (i; j) liczbę rzeczywistą aij. Macierz zapisujemy jako tabelę składającą się z m wierszy i n kolumn, której elementami są liczby aij.
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej
1.Metoda wyznacznikowa
Macierz odwrotną można wyznaczyć korzystając ze wzoru
gdzie macierz Ad nazywamy macierzą dołączoną.
2.Metoda przekształceń elementarnych
Dokonujemy przekształceń elementarnych na wierszach (i tylko wierszach) macierzy A i jednocześnie na wierszach macierzy jednostkowej I (wymiaru takiego samego jak A), przekształcając daną macierz A do macierzy jednostkowej tzn.
METODY OBLICZANIA WYZNACZNIKA MACIERZY
Wzory na wyznacznik macierzy
1. det |a|= a
2. det =a*d - c*b
3. det
4. dla n ≥ 4 stosujemy twierdzenie Lapluase'a
-rozwinięcie wzdłuż i-tego wiersza macierzy A
-rozwinięcie wzdłuż j-tej kolumny macierzy A
gdzie Mij oznacza macierz otrzymaną z A po wykreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Własności wyznaczników:
1. det A = det AT
2. det A = 0 , jeżeli
-wiersz macierzy (lub kolumna) składa się z samych zer
-macierz ma dwa identyczne wiersze (lub kolumny)
-macierz ma dwa proporcjonalne wiersze (lub kolumny)
3. Przed znak wyznacznika można wyłączyć czynnik z wiersza (lub kolumny)
4.Twierdzenie Cauchy'ego: jeżeli macierz A i B są kadratowe to det A * B = det A * det B
DEFINICJA UKŁADU CRAMERA RÓWNAŃ LINIOWYCH
Definicja: Układ równań liniowych nazywamy układem Cramera jeżeli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych oraz macierz układu jest nieosobliwa.
TWIERDZENIE KRONECKERA-CAPELLEGO
Twierdzenie: Jeżeli liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych to badamy tzw. macierz uzupełnioną U postaci U= | A : b |. O tym co możemy otrzymać mówi twierdzenie:
Układ równań liniowych Ax = b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd A= rz U (uzupełniona)
Jeżeli rz A = rz U = n (liczba niewiadomych) to układ jest oznaczony (posiada dokładnie jedno rozwiązanie)
Jeżeli rz A = rz U = r< n to układ jest nieoznaczony (posiada nieskończenie wiele rozwiązań)
ELIMINACJA GAUSSA-JORDANA
Przekształcamy macierz uzupełnioną U za pomocą przekształceń elementarnych na wierszach macierzy do postaci kanonicznej tzn.
W ten sposób otrzymana macierz R zawiera kolumny stojące przy zmiennych swobodnych i kolumny wyrazów wolnych. Znając postać macierzy R możemy napisać bezpośrednio rozwiązanie układu równań.