mgr inż. Magdalena Mytkowska. Ćwiczenia 3. Badania operacyjne.

Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną oraz dualność

Zadanie 1.

Znajdź optymalne rozwiązanie zadania metodą geometryczną.

1. f (x) = 4x₁ + 2x₂→max

2x₁ - x₂ ≤ 2

x₂ ≤ 3

2x₁ + x₂ ≥ 2

x₁,x₂ ≥ 0

2. f (x) = 4x₁ + x₂→min

x₁ + x₂ ≤ 60

6x₁ + 2x₂ ≥ 120

x₁ + 4x₂ ≥ 60

x₁ - 3x₂ ≤ 0

x₁ ≥ 0, 45≥ x₂≥0

Zadanie 2.

Przedsiębiorstwo wytwarza dwa produkty: P1 i P2, wykorzystując w tym celu dwa surowce: S1 i S2, których zasoby wynoszą odpowiednio 40 i 24 jednostki. Do produkcji wyrobu P1 zużywa sie 2j. S1 oraz 4j. S2, natomiast do produkcji P2 - 8j. S1 i 2j. S2. Zysk ze sprzedanej jednostki P1 wynosi 10 tys. zł., a ze sprzedanej jednostki P2 - 20 tys. zł. Przedsiębiorstwo podpisało kontrakt na dostawę 2j. P1 i musi sie z niego wywiązać.

1. Rozwiąż zadanie metodą geometryczną, zakładając, że przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk.

Zadanie 3.

Firma może produkować dwa wyroby A i B, zużywając jeden środek produkcji. Zasób tego środka, normy jego zużycia na jednostkę produktu oraz ceny wyrobów przedstawia tabela. Ze względu na ograniczony popyt na wyrób A, jego produkcja nie może przekroczyć
4 jednostek.

	A	B
Środek	3	3	24
Cena	2	5

Zadanie 4.

Aby zdrowo wyglądać pies musi miesięcznie zjeść przynajmniej 100 g składnika 1 (S1), 200g składnika 2 (S2) i nie więcej jak 300 g składnika 3 (S3). Na rynku dostępne są dwie karmy, gdzie porcja karmy 1 (K1) zawiera 10 g składnika 1, 1g składnika 2 i 10 g składnika 3. Natomiast karma 2 (K2) zawiera 1g składnika 1, 10g składnika 2 i 10g składnika 3.

Porcja karmy 1 (K1) kosztuje 5 zł, natomiast porcja karmy 2 (K2) 8 zł. W jakich porcjach zmieszać karmy aby pies dostał składników ile potrzeba a koszt był jak najmniejszy.

	K1	K2
S1	10	1	100
S2	1	10	200
S3	10	10	300
	5	8

Zadanie 5.

Do każdego z zadań programowania liniowego skonstruować zadanie dualne.

a) f (x) = 2x₁ + x₂ - 5x₃+ 7x₄ → max

przy warunkach

4x₁ + 6x₂ + 2x₃ + x₄ ≤ 15

5x₁ - 8x₃ + 2x₄ ≥ 5

9x₁ + x₂ + 4x₃ - 5x₄ = 12

x₁≤0 ; x₂- dowolne ; x_3, x₄≥0

b) f (x) = 2x₁ + 3x₂ + x₃→min

przy warunkach

4x₁ - 6x₂ + 5x₃ ≥ 4

x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≥7

x_1, x_2, x₃≥0

c) f (x) = 6x₁ + 8x₂→max

przy warunkach

4x₁ + 6x₂ ≤ 10

3x₁ + x₂ = 4

2x₁ + 2x₂ ≥ 2

x₁- dowolne ; x₂≥0

d) f (x) = 2x₁ + x₂→max

przy warunkach

2x₁ - 3x₂ ≥ -6

8x₁ + 3x₂ ≤ 20

x_1, x₂≥0

e) f (x) = 5x₁ + x₂→ max

przy warunkach

2x₁ + 3x₂ ≤ 4

5x₁ - 2x₂ = 0

x₂ ≥-2

x_1€ R x₂≥0

f) f (x) = x₁ - 2x₂ + 6x₃ → min

przy warunkach

2x₁ + x₂ - 3x₃ ≤ -1

x₁ - x₂ - 2x₃ ≥ 2

x_j≥0 , j=1,2,3.

---