Rozkład empiryczny:
1.Cechy skokowe-Cechy ciągłe:
a)wielomodalne(kilka maksimum)-jeśli dwa maksima to rozkład bimodalny b)jednomodalne(jedno maksimum): *symetryczne-liczebności rozkłasdają się wokół liczebności największej (leptokurtyczne-wysmukły, normalne, platokurtyczne-spłaszczony), *umiarkowanie asymetryczne i skrajnie asymetryczne(ma jedno ramię, wyróżniamy także rozkład U lub siodłowy)-prostopadła do osi odciętych poprowadzona z punktu maksimum krzywej liczebności dzieli pow. pod krzywą na dwie nierówne części(prawoskośne, lewoskośne)
MIARY ŚREDNIE:KLASYCZNE: Średnia arytmetyczna:a)jako miara klasyczna jest wypadkową wszystkich wartości zmiennej i xmin<x-<xmax, b)suma odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej jest równa zeru, c)jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy(pomniejszymy, podzielimy, pomnożymy_ o pewną stałą to śr. aryt. będzie równa sumie(różnicy, ilorazowi, iloczynowi), d)jeżeli liczebność poszczególnych wariantów cechy są jednakowe, to śr. aryt. można obliczyć jako iloraz sumy wartości wariantów i ich liczby, e)suma wartości zmiennej jest równa iloczynowi śr. aryt. i liczebności zbiorowości, f)na poziomie śr. aryt. silny wpływ wywierają wartości ekstremalne.
Średnia harmoniczna: jest odwrotnością śr. aryt. z odwrotności wartości zmiennych. Stosuje się ją kiedy wartości zmiennych podane są w jednostkach względnych, np. w km/h, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek względnych
Średnia geometryczna: jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej. Badanie śr. tempa zjawisk.
POZYCYJNE: Dominanta: wartość zmiennej, która wyst. najczęściej, jedynie z rozkładów jednomodalnych
Kwantyle:dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, Kwartyle. MIARY ZMIENNOŚCI: MIARY POZYCYJNE: Empiryczny obszar zmienności: R=xmax-xmin
Odchylenie ćwiartkowe (Q):mierzy poziom zróżnicowania części jednostek (pozostałej po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach min i 25% max). Mierzy śr. rozpiętość w połowie obszaru zmienności Me-Q<xtyp<Me+Q. MIARY KLASYCZNE: Odchylenie przeciętne (d):określa o ile wszystkie jednostki zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od śr. aryt. tej zmiennej. Wariancja (s2): to śr. aryt. z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej arytmetycznej całej zbiorowości. Własności: a)jest różnicą między śr. aryt. kwadratów wartości zmiennej a kwadratem śr. aryt. tej zmiennej, b)jeśli zbiorowość podzielimy na k-grup, to wariancja da całej zbiorowości będzie sumą dwóch składników: śr. aryt. wewnątrzgrupowych wariancji wartości zmiennej oraz wariancji śr. grupowych wartości tej zmiennej, c)jest wielkością nieujemną i mianowaną, d)im zbiorowość bardziej zróżnicowana tym wariancja większa Odchylenie standardowe(s): określa o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od śr. aryt. badanej zmiennej. W xtyp mieści się około 2/3 badanej zbiorowości x—s<xtyp<x-+s, relacjs pomiędzy Q, d, s wynosi Q<d<s. Właściwości: a)obliczane na podst. wszystkich obserwacji w danym szeregu, b)jego wartość nie zmieni się, jeśli liczebność szeregu wyrazimy w liczbach względnych (%) dostatecznie dokładnie ustalonych, c)jego wartość nie zmieni się jeśli do wszystkich wartości zmiennej w szeregu dodamy pewną stałą liczbę, d)jeżeli wszystkie wartości szeregu pomnożymy przez pewną stałą liczbę większą od 0 to odchylenie standardowe będzie tylokrotnie większe, e)reguła trzech sigm-w przypadku rozkładu normalnego 31,73% wszystkich obserwacji wartości zmiennej różni się od śr. aryt. o więcej niż +-s, ok. jedna na 20 obserwacji przekracza tę średnią o +-2s, a jedna na 370 obserwacji przekracza średnią o +-3s
Współczynnik zmienności (V)- jest ilorazem bezwzględnej miary dyspersji i odpowiednich wartości średnich, jest wyrażony w %. Informuje o sile dyspersji, jest też pozycyjny
MIARY ASYMETRII: 1.Porównanie Me, Do, x-, w rozkładach symetrycznych są sobie równe. Jeżeli x->Me>Do- asymetria prawostronna, x-<Me<Do- asymetria lewostronna 2.Wskaźnik asymetrii określony wzorem Ws=x- -Do, gdy Ws=0-symetryczny, Ws>0-prawostronna, Ws<0-lewostronna 3.Za pomocą kwartyli: (Q3-Q2)-(Q2-Q1) {=0-symetr., <0-lewostr., >0-prawostr.). Wskaźniki określają tylko kierunek asymetrii. 4.Współczynnik asymetrii- miara niemianowana i unormowana- umożliwaia porównywanie asymetrii różnych rozkładów. Wzory: As=(x-Do)\s, As=(x-Do)\d, As=(Q3+Q1-2Me)\2Q-pozycyjny. -1<=As<=1. Im wieksza wartość tym silniejsza asymetria. 5.Moment centralny rzędu trzeciego m3=(suma(xi-x-)3ni)\N, As=m3\s3- moment standaryzowanym trzeciego rzędu
ZMIENNE LOSOWE: Przez zmienną losową to zmienna, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem.
Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przybierającą wartość ze zbioru liczb rzeczywistych. Zmienną losową, której zbiór różnych wartości jest przeliczalny albo skończony, nazywamy zmienną losową skokową lub dyskretną. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem F(x)=P(X<x) dla każdego x∈R. Dla zmiennej skokowej dystrybuanta określona jest wzorem F(x)=∑pi dla xi<x (i=1,2,...).
Własności dystrybuanty: a)przyjmuje wartości z przedziału <0,1>, tzn. 0≤F(x)≤1 dla x∈(-∞;+∞), b)jest funkcją niemalejącą, tzn dla x1<x2 zawsze F(x1)≤f(x2), c)jest funkcją lewostronnie ciągłą, d)F(-∞)=0, F(∞)=1, e)P(a≤X≤b)=F(b)-F(a) Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu skokowego nazywamy liczbę oznaczoną symbolem E(X) i określoną wzorem E(X)=∑xipi (od i=1 do n), jeżeli zmienne losowe przyjmują nieskończoną liczbę wartości to E(X)=∑xipi (od i=1 do ∞). Właściwości wartości oczekiwanej: a)E(C)=C, b)E(X+Y)=E(X)+E(Y), c)E(XY)=E(X)E(Y), d)E(CX)=E(C)E(X=CE(X).
Wariancja zmiennej losowej X typu skokowego D2(X)=∑[xi-E(X)]2pi=E[X-E(X)]2
Własności wariancji: a)D2(C)=0, b)D2(CX)=D2(X)+D2(Y), c)D2(X+-Y)=D2(X)+D2(Y), gdy X i Y są niezależne Rozkład Poissona: jeżeli jej rozkład jest określony wzorem P(X=k)=(λk\k!)*e-λ, k=0,1,2,...,
zachodzi gdy prawdopodobieństwo p-sukcesów jest małe, a liczba relacji „n” na tyle duża, że iloczyn np.=λ jest wielkością stałą. Stosuje się gdy n>100, a p<0,2. E(X)=D2(x)=λ. Jest rozkładem prawostronnie skośnym i wraz ze wzrostem λ zbliża się do rozkładu symetrycznego, jest rozkładem jednoparametrycznym, bo zależy tylko od parametru λ.
Zmienną losową nazywamy ciągłą, jeśli zbiór jej możliwych realizacji jest mocy continum (nieskończony i nieprzeliczalny), np. wzrost. Nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartością dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Możliwe jest przyporządkowanie takich prawdopodobieństw przedziałom liczbowym, np. przedziałowi P(x<X<x+∆x), gdzie ∆x jest długością pewnego krótkiego przedziału o początku w punkcie x. Jeżeli przy ∆x zmierza do 0 istnieje granica f(x) o postaci: lim∆x—0(P(x<X<x+∆x)) \∆x=f(x) to granicę nazywamy funkcją gęstości porawdopodobieństwa zmiennej losowej X (gęstością prawdopodobieństwa) P(a<=X<=b)=P(a<X<=b)=P(a<=X<b)=P(a<X<b)=∫abf(x)dx.
Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału nieskończonego (-∞;+∞) lub skończonego (a;b) to funkcja gęstości jest funkcją spełniającą warunki: f(x)=>0, ∫-∞∞f(x)dx=1 lub ∫abf(x)dx=1.
P(X=a)=lim b→aP(a<=X<=b)=∫aaf(x)dx=0- zdarzenie mało prawdopodobne Dystrybuantą zmiennej los. typu ciągłego X o gęstości f(x) nazywamy funkcję o postaci: F(x)=P(X<x)=∫-∞x f(u)du z tego wynika: f(x)=dF(x)\dx=F'(x)- jeśli F(x) różniczkowalna
Wartość oczekiwana zmiennej los. ciągłej: E(X)=∫-∞∞ xf(x)dx, jeśli ta całka jest bezwzględnie zbierzna, tzn: ∫-∞∞|x|f(x)dx<∞. Jeżeli P(a<=X<=b)=1 to E(X)=∫abxf(x)dx
Warjancja: D2(X)=∫-∞∞[X-E(X)]2f(x)dx, własności takie same jak dla zmiennej skokowej. Rozkład normalny: funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wzór: f(x)=[1\σ(2П)0,5]e-(x-m)(x-m)\2(sigma kwadrat), x należy do R, m=E(X), σ=D(X) Własności wykresu krzywych normalnych: a)jest krzywą w kształcie dzwonu, symetryczną względem prostej x =m, b)funkcja f(x) ma jedno maksimum w punkcie x =m, które jest równe 1\σ(2Π)0,5, jest to jednocześnie wartość oczekiwana, mediana i dominanta rozkładu,
c)krzywa ma dwa punkty przegięcia o wsp. P1(m-σ, 1\σ(2Πe)0,5) i P2(m+σ, 1\σ(2Πe)0,5) d)lewe i prawe ramię krzywej zbliża się asymptotycznie do osi odciętych, przy czym dla x<m-3σ oraz dla x>m+3σ rzędne niewiele różnią się od 0. Standaryzacja U=(X-m)\σ