33. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.

Twierdzenie Cramera dotyczy rozwiązywania układów równań liniowych, gdzie liczba niewiadomych równa jest liczbie równań :

gdzie: detW=A - macierz główna, macierz współczynników układu

B - kolumna wyrazów wolnych

Twierdzenie Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy współczynników układu jest różny od zera ( detA≠0) to układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci:

gdzie:

• W=detA - jest to wyznacznik macierzy współczynników układu, tzw. wyznacznik główny.

• Wi - jest to wyznacznik z macierzy, która powstaje z macierzy A, przez zastąpienie kolumny współczynników niewiadomej xi przez kolumnę wyrazów wolnych.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

 Rozważam układ równań liniowych postaci

Macierz U to macierz, która zawiera wszystkie współczynniki układu, a jej ostatnią kolumną są wyrazy wolne tego układu. Rząd macierzy jest to wymiar największego niezerowego minoru wyjętego z macierzy.

Twierdzenie : Układ posiada rozwiązanie (przynajmniej jedno) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników i rząd macierzy uzupełnionej są sobie równe rzA=rzU.

Ponadto, jeżeli wprowadzimy oznaczenia :

r= rzA=rzU ; n - liczba niewiadomych, m- liczba równań , to gdy:

• r=n - układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,

• r<n - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n−r parametrów

Jeżeli rzU≠rzA ,to układ jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań).

Anna Ewiak

---