RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Równaniem różniczkowym nazywamy równanie zawierające pochodne albo różniczki niewiadomej funkcji. Jeśli niewiadoma funkcji zależy tylko od jednego argumentu (zawiera tylko jedną zmienną niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej oraz jej pochodne), to równanie różniczkowe nazywa się zwyczajnym. Gdy funkcja zależy od kilku argumentów (jest funkcją wielu zmiennych), a równanie różniczkowe zawiera jej pochodne cząstkowe względem tych argumentów, to nazywamy je równaniem o pochodnych cząstkowych albo równaniem różniczkowym cząstkowym. Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w tym równaniu np.:

- równanie pierwszego rzędu

- równanie drugiego rzędu

- równanie trzeciego rzędu

Definicja 1.1 Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest funkcja y jednej zmiennej x i w którym występują pochodne tej funkcji. Równanie różniczkowe można zapisać w postaci Definicja 1.2 Rzędem równania różniczkowego nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej po uporządkowaniu tego równania. Równanie różniczkowe zwyczajne zawiera jedną niewiadomą y, zależną od zmiennej niezależnej x, oraz jej pochodne. Definicja 1.3 Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym nazywamy wyrażenie , które zawiera n dowolnych stałych niezależnych (tj. tyle, ile wynosi rząd równania), w którym po wstawieniu za liczb wybranych dowolnie z pewnych przedziałów spełnia równanie (1.1). Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n polega na znalezieniu takiego rozwiązania szczególnego danego równania, które dla zadanego z góry argumentu x = xo i zadanych z góry liczb spełnia tzw. warunki początkowe dane liczby nazywamy wartościami początkowymi.

I. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci gdzie y jest funkcją niewiadomą zmiennej x . Całką ogólną równania (1.2) nazywamy funkcję zmiennej niezależnej i dowolnej stałej C, która przy każdej ustalonej wartości C wybranej dowolnie z pewnego przedziału spełnia w przedziale równanie (1.2). Całką szczególną równania (1.2) nazywamy każdą funkcję , która w przedziale ma pierwszą pochodną i spełnia równanie (1.2) dla każdego . Mając całkę ogólną (1.3) można rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego dla równania (1.2). Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu pierwszego polega na wyznaczeniu takiej całki szczególnej równania (1.2), która dla pewnej z góry danej wartości zmiennej niezależnej przyjmuje z góry daną wartość , tzn. że . Uwzględniając w całce ogólnej (1.3) warunek początkowy mamy skąd obliczamy stałą dowolną C. Wstawiając obliczoną wartość liczbową stałej C do rozwiązania (1.3) otrzymujemy szukaną całkę szczególną.

1. Równanie różniczkowe postaci Równanie różniczkowe postaci gdzie dla jest funkcją ciągłą. Całkując względem zmiennej x otrzymamy skąd gdzie C jest stałą dowolną. Całkę (1.5) nazywamy całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania (1.4). Przykład 1.1 Rozwiąż równanie różniczkowe Przykład 1.2 Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy Po scałkowaniu otrzymujemy , gdzie C jest dowolną stałą. Otrzymane rozwiązanie jest całką ogólną. Uwzględniając warunek początkowy mamy skąd Funkcja jest całką szczególną danego równania.

1.2 Równanie różniczkowe postaci Równanie różniczkowe postaci gdzie prawa strona jest funkcją ciągłą dla rozwiązuje się podobnie jak równanie (1.4), z tym, że zmienną niezależną jest y, a zmienną zależną x. Wtedy skąd po scałkowaniu względem zmiennej niezależnej y otrzymujemy gdzie C jest stałą dowolną. Przykład 2.1 Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy . Równanie to można napisać w postaci Całkując mamy skąd . Podstawiając warunki początkowe mamy skąd - jest całką szczególną równania. Przykład 2.2 Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy Równanie można napisać w postaci . Całkując mamy czyli Uwzględniając warunek początkowy mamy stąd

---