Piotr Lipson A2

Kamil Gradkowski A2

Sebastian Konkol A2

Zespół 11

SPRAWOZDANIE

Podstawy fizyczne.

Aby sprecyzować na czym polega zjawisko lepkości posłużmy się przykładem deski poruszajacej się po tafli cieczy pod wpływem działania zewnętrznej siły F. Przesuwanie się deski powoduje przemieszczenie także warstw cieczy znajdujacych się pod deską. Warstwy te maja prędkość malejącą wraz z odległością na osi Z od deski.

Po pewny czasie obserwujemy że ruch deski stał się jednostajny. Oznacza to że lepkość cieczy powoduje powstanie siły równoważącej siłę F poruszającą deskę po powierzchni cieczy. Oznaczmy tą siłę F₀.

Właściwość powodującą ten efekt nazywamy lekością. Wszystkie ciecze za wyjątkiem helu w temperaturze bliskiej 0^oK są lepkie.

Siła F₀ wyraża się wzorem:

Gdzie: η - współczynnik lepkości [kg/(m*s)]

v_x - prędkość warstwy cieczy na osi X.

z - odległość warstwy od punktu 0 na osi Z.

S - pole powierzchni deski stykające się z cieczą.

Rodzaje przepływów cieczy wokół przeszkody, lub przeszkody przez ciecz dzielą się na laminarne i burzliwe. Różnicę między nimi pokazują te oto rysunki:

Przepływ laminarny Przepływ burzliwy

W przepływie laminarnym ciecz nie ulega takim zaburzeniom jak w przypadku przepływu burzliwego w którym ciecz zaraz za przeszkodą zaczyna silnie wirować.

Kryterium odróżniającym przepływ laminarny od burzliwego jest liczba Reynoldsa. Wyraża się ona wzorem:

Liczba Reynoldsa jest bezwymiarowa. Do wyliczenia jej używamy bezwymiarowej kombinacji prędkości przepływu v, gęstości cieczy p, charakterystycznego wymiaru liniowego l oraz współczynika lepkości η. W powyższych rysunkach dla pierwszego Re=10^-2 a dla drugiego Re=10⁶. Przy pomocy Re formułujemy prawo podobieństwa przepływów: przepływy dwóch cieczy o różnych lepkościach są podobne, jeżeli odpowiada im ta sama liczba Reynoldsa.

Dzięki temu wiemy w jaki sposób modelować przepływ aby otrzymać efekty zbliżone do zjawiska w innej skali lub w innej cieczy.

Dla przepływu laminarnego i kulki poruszającej się w cieczy siła oporu działająca na kulkę wyraża się wzorem Stokes'a:

gdzie

v - prędkość kulki.

r - promień kulki.

η - współczynnik lepkości cieczy.

Uwzględniając siłę wyporu i stosując drugą zasadę dynamiki możemy zapisać:

gdzie: F - siła ciężkości.

F_w - siła wyporu.

F₀ - siła siła oporu (Stokes'a).

m* - masa efektywna.

Czyli:

Masa efektywna jest to masa kulki wraz z doczepioną do niej pewną ilością cieczy która w tym przypadku równa jest masie połowy wypartej cieczy. Po rozwiązaniu równania różniczkowego otrzymujemy:

gdzie
jest stałą czasową.

Vgr - jest t prędkość do której prędkość V dąży (dla
V=Vgr).

V₀ - jest to prędkość początkowa kulki (dla t = 0).

Po przyrównaniu do zera otrzymujemy wzór na Vgr:

Gdy kulka porusza się w cieczy wypełniającej cylinder o promieniu R wzdłóż jego osi należy wprowadzić poprawkę i we wzorze na siłę Stokes'a zastosoważ współczynnik K':

Poprawka ta uwzględnia obecność ścianek i ich wpływ na ruch kulki.

W doświadczeniu wyznaczamy prędkość graniczną Vgr a następnie współczynnik lepkość z ostatecznego wzoru:

Wykonanie Ćwiczenia:

Podczas ćwiczeń ciecze znajdowały się w rurach takich jak ta przedstawiona na rysunku powyżej. Dla każdej cieczy wybraliśmy inną długość l gdyż w glicerynie kulki osiągały prędkość graniczną znacznie szybciej niż w przypadku oleju.

Do dyspozycji mieliśmy 16 kulek małych i jedną dużą. Podczas pomiarów w glicerynie z pojemnika wypadła pozostawiona tam pewnie przez poprzednią kulka średnia ale nie używaliśmy jej w dalszych pomiarach.

Najpierw dokonaliśmy dwóch serii pomiaru masy i średnicy kulek.

srednica

masa

[mm]

[mg]

2,49

64

2,47

64

2,48

64

2,48

64

2,48

64

2,48

64

2,48

64

2,47

63

2,47

65

2,48

63

2,48

64

2,48

63

2,47

63

2,48

63

2,48

65

2,48

63

2,47

64

2,48

64

2,49

64

2,49

64

2,48

64

2,49

65

2,49

64

2,49

64

2,49

64

2,48

63

2,47

63

2,48

64

2,48

64

2,48

65

2,47

64

2,49

63

czas olej

czas gliceryna

[s]

[s]

11,06

32,91

10,97

33,13

10,94

32,50

10,97

33,10

11,00

32,56

10,91

32,57

10,97

32,69

11,12

32,88

11,03

32,67

10,91

32,63

11,00

32,98

10,94

32,35

10,97

32,28

10,88

32,87

10,97

32,40

11,03

32,25

srednica

masa

[mm]

[mg]

2,97

110

2,96

113

czas olej

czas gliceryna

[s]

[s]

6,19

17,72

6,00

17,66

6,22

17,78

Kulki małe		Kulka duża

Następnie dokonaliśmy pomiarów czasu opadania kulek na wybranym odcinku l w oleju oraz glicerynie:

czas olej

czas gliceryna

[s]

[s]

11,06

32,91

10,97

33,13

10,94

32,50

10,97

33,10

11,00

32,56

10,91

32,57

10,97

32,69

11,12

32,88

11,03

32,67

10,91

32,63

11,00

32,98

10,94

32,35

10,97

32,28

10,88

32,87

10,97

32,40

11,03

32,25

czas olej

czas gliceryna

[s]

[s]

6,19

17,72

6,00

17,66

6,22

17,78

Kulki małe	Kulka duża

Wartości stałe które użyliśmy w dalszych obliczeniach:

	Promień wewnętrzny rury cieczy [mm]	Gęstość cieczy [g/cm^3]	Długość słupa cieczy [cm]	Przyspieszenie ziemskie [m/s2]
Gliceryna	14	0,867	90	9,81
Oszacowany Błąd	1	-----------	1	0,02
Olej	13,6	1,473	75	9,81
Oszacowany Błąd	1	-----------	1	0,02

Błędy losowe mas i średnic kulek małych był mniejsze od przyjętych błędów systematycznych (odchylenie standardowe pomiaru o rząd wielkości mniejsze od błędów systematycznych). Jako że kulkę dużą mieliśmy tylko jedną to jej pomiary nie wykazywały błędów losowych które byłyby widoczne ponad niepewności systematyczne.

Wielkość mierzona	Wartość	Błąd systematyczny	Śr. odchylenie standardowe
Masa kulki małej [mg]	63,8	3	0,11
Masa kulki dużej [mg]	111,5	3	---
Średnica kulki małej [mm]	2,48	0,01	0,0012
Średnica kulki dużej [mm]	2,97	0,01	---
Przyspieszenie ziemski [m/s^2]	9,81	0,02	---

Natomiast czas opadania kulek w cieczach był obarczony błędem losowym większym od systematycznego lub porównywalnym z nim a w przypadku kulek małych i oleju mniejszym. Błąd systematyczny oszacowany na 0,1 sekundy:

Wielkość mierzona	Wartość średnia	Odchylenie standardowe średniej	przedział ufności 95%
małe:Czas w oleju [s]	10,979375	0,015	0,0323
małe:Czas w glicerynie [s]	32,673125	0,07	0,15
duże:Czas w oleju [s]	6,136	0,069	0,28
duże:Czas w glicerynie [s]	17,72	0,035	0,139

Po skorzystaniu ze wzoru na lepkość wyliczyliśmy wartości współczynnika lepkości dla gliceryny i oleju:

Gdzie:

η - współczynnik lepkości.

m - masa kulki.

r - promień kulki.

p - gęstość cieczy.

g - przyspieszenie ziemskie.

t - czas opadania kulki

l - długość słupa cieczy.

R - promień wewnętrzny rury z cieczą.

Błąd wyliczyliśmy z różniczki zupełnej tego wzoru dla zmiennych: g, r, t, l, m, R. Dla wartości obarczonych błędem systematycznym i losowym błąd całkowity uzyskaliśmy dodając do systematycznego średnie odchylenie standardowe pomnożone przez współczynniki t-Studenta tak aby uzyskać przedział ufności 95%. Oto tabelki z tymi obliczeniami. Dla ułatwienia rachunku jednostek wszystkie jednostki zamieniliśmy na jednostki podstawowe dla SI: [m] [kg] [s]

kulki małe, OLEJ	błąd	różniczka	różniczka∗błąd
g [m/s^2]	0,02	0,286878682	0,005737574
r [m]	10 * 10^-6	-0,28478283	-2,84783 * 10^-6
t [s]	0,13	0,026128872	0,003396753
l [m]	0,01	-0,38250491	-0,003825049
m [kg]	3 * 10^-6	5040,309192	0,015120928
R [m]	0,001	2,840656479	0,002840656
Suma bezwzględna[Pa*s]:			0,030924

kulki małe, GLICERYNA	błąd	różniczka	różniczka∗błąd
g [m/s^2]	0,02	0,654265776	0,013085316
r [m]	10 * 10^-6	-0,394582106	-3,94582 * 10^-6
t [s]	0,25	0,020024585	0,005006146
l [m]	0,01	-0,726961973	-0,00726962
m [kg]	3 * 10^-6	12563,8493	0,037691548
R [m]	0,001	7,374139771	0,00737414
Suma bezwzględna[Pa*s]:			0,070431

kulki duże, OLEJ	błąd	różniczka	różniczka∗błąd
g [m/s^2]	0,02	0,22691774	0,004538355
r [m]	10 * 10^-6	-0,2436826	-2,43683 * 10^-6
t [s]	0,38	0,03697736	0,013885739
l [m]	0,01	-0,302557	-0,00302557
m [kg]	3 * 10^-6	2276,75709	0,006830271
R [m]	0,001	2,5949565	0,002594956
Suma bezwzględna[Pa*s]:			0,030877328

kulki duże, GLICERYNA	błąd	różniczka	różniczka∗błąd
g [m/s^2]	0,02	0,50370483	0,010074097
r [m]	10 * 10^-6	-0,3428699	-3,4287 * 10^-6
t [s]	0,24	0,02842578	0,006793761
l [m]	0,01	-0,559672	-0,00559672
m [kg]	3 * 10^-6	5511,21535	0,016533646
R [m]	0,001	6,56177729	0,006561777
Suma bezwzględna[Pa*s]:			0,04556343

Po użyciu wzoru na lepkość wypisasnego powyżej wyliczyliśmy współczynniki i podajemy je wraz z oszacowaniem błędów:

	Kulki małe	Kulka duża
Lepkość OLEJ [Pa*s]	0,29	0,23
Błąd [Pa*s]	0,03	0,03
Lepkość GLICERYNA [Pa*s]	0,65	0,50
Błąd [Pa*s]	0,07	0,05

Pod koniec postanowiliśmy sprawdzić jak kulki będą się zachowywały puszczone przy ściance naczynia. Nie poddaliśmy jednak tych wyników żadnej analizie gdyż ze względu na załamanie światła w cieczach nie można było określić czy kulka rzeczywiście porusza się przy ściance czy się od niej odsunęła. Na dodatek nie wiadomo było czy kulka poruszając się przy ściance obraca się, co też miało by wpływ. Z tych powodów możemy powiedzieć jedynie że przy ściance kulki opadają wolniej i efektywny współczynnik lepkości będzie większy.

---