ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ

Oznaczenia:

• E(X)- wartość oczekiwana

• D²(X)- wariancja

• σ=
  - odchylenie standardowe

• Vx=
  - współczynnik zmienności

• r_xy=
  - współczynnik korelacji

• p_i- prawdopodobieństwo zdarzenia X_i (w rozkładach skokowych)

• f(x)- funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (w rozkładach ciągłych)

• F(x)- dystrybuanta zmiennej x

Własności wartości oczekiwanej i wariancji:

E(C)=C C=const

E(X±Y)=E(X) ±E(Y)

E(C·X)=C·E(X)

E[X-E(X)]=0

E(aX±bY)=aE(X) ±bE(y)

D²(C)=0

D²(CX)=C²·D²(X)

D²(X±Y)=D²(X) ±2cov(X,Y)+D²(Y)

D²(aX±bY)=a²D²(X) ±2abcov(X,Y)+b²D²(Y)

ROZKŁADY SKOKOWE:

E(x)=∑x_ip_i; D²(x)=∑[x_i-E(x)]²p_i=∑(x_i²p_i)-∑(x_ip_i)²; ∑p_i=1

P(x<a)=F(a); P(x≤a)=F(a)+P(x=a)

P(x≥a)=1-F(a); P(x>a)=1-F(a)-P(x=a)

P(a≤x<b)=F(b)-F(a); P(a<x<b)=F(b)-F(a)-P(x=a)

P(a≤x≤b)=F(b)-F(a)+P(x=b); P(a<x≤b)=F(b)-F(a)-P(x=a)+P(x=b)

Rozkład dwuwymiarowy:

E(x)=∑x_ip_i·; E(x²)=∑x_i²p_i·; E(y)= )=∑y_jp·_j; E(y²)=∑y_j²p·_j

D²(x)=∑[x_i-E(x)]²p_i·; D²(y)=∑[y_j-E(y)]²p_·j

∑p_i·=∑p·_j=∑p_ij=1

cov(x,y)= ∑[(x_i-E(x))⋅(y_j-E(y))p_ij]

WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ SKOKOWEJ:

Rozkład Bernoulliego (dwumianowy):

E(x)=n⋅p; D²(x)=n⋅p⋅q; q=1-p

P_i(k)=

• n- liczba przeprowadzonych prób

• k- liczba prób zakończonych sukcesem

• p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie

(p>½- asymetria prawostronna, p<½ lewostronna, p=½- rozkład symetryczny)

Rozkład Poissona:

Przy dużym n>20 i p<0,2 oraz stałej wartości oczekiwanej rozkład Poissona stanowi przybliżenie rozkładu dwumianowego.

E(x)=λ=n·p; D²(x)= λ

P_i(k)=

ROZKŁADY CIĄGŁE:

;

;
; f(x)=F'(x)

P(x=a)=0 ⇒ P(a≤x≤b)= P(a≤x<b)= P(a<x≤b)= P(a<x<b)=
=F(b)-F(a)

Rozkład dwuwymiarowy:

Gęstości rozkładów brzegowych:

f₁(x)=
; f₂(y)=

Dystrybuanty rozkładów brzegowych:

F₁(x)=
; F₂(y)=

P(a<x<b;c<y<d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)

cov(x,y)=

WYBRANE ROZKŁADY CIĄGŁE

Rozkład jednostajny:

E(x)=
=Me; D²(x)=

;

• <a,b>- przedział, w którym mieszczą się wartości x

Rozkład wykładniczy:

E(x)=
; Me=
; D²(x)=

;

Rozkład Gauss'a (normalny)

E(x)=m; D²(x)= [σ(x)]²

Postać standaryzowana zmiennej: u=

;

- 2 -

---