Wiadomości teoretyczne.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. Okres drgań takiego wahadła wynosi:
Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę, która może obracać się wokół osi nie przechodzącej przez środek ciężkości. Jeżeli wahadło zawiesimy w taki sposób, by jego oś była pozioma i wychylimy o mały kąt α z położenia równowagi, to wykonuje ona oscylację. Ruch wahadła fizycznego dla małych wartości kąta α jest ruchem harmonicznym prostym. Moment siły M dla wahadła wyraża się wzorem:
gdzie d-oznacza odległość środka ciężkości od punktu podparcia. Ze względu na małą wartość kąta α moment siły możemy wyrazić wzorem:
zatem moment kierujący wyrazi się wzorem:
Moment bezwładności zgodnie z twierdzeniem Steinera możemy przedstawić równaniem:
gdzie I0 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości równoległej do osi oscylacji. Zatem wzór na okres oscylacji będzie wyglądał następująco:
Znając okres oscylacji bryły o regularnych kształtach i znanej masie oraz odległości punktu zawieszenia od środka masy możemy na podstawie powyższego wzoru obliczyć przyspieszenie ziemskie.
Wprowadzając do powyższego równania oznaczenie:
wyrazimy okres wahadła fizycznego wzorem na okres drgań wahadła matematycznego. Wielkość l nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Punkt O' leżący na prostej OS, odległy o l od punktu O nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego. Jeżeli wahadło zamontujemy w ten sposób, że będzie mogło wahać się wokół osi przechodzącej przez środek wahań O', to okres wyrazi się wzorem:
Długość zredukowana wyrazi się wtedy wzorem:
a okres
Aby udowodnić, że okresy T i T' są równe należy zauważyć, że zachodzi związek:
Podstawiając tę wielkość do wzoru na długość zredukowaną otrzymamy:
skąd po podstawieniu pod d' wartości z równania l-d=d' wynika związek:
Równość długości zredukowanych oznacza także równość okresów:
Zatem okres oscylacji wahadła fizycznego wokół osi przechodzącej przez punkt O jest taki sam jak okres oscylacji wokół osi równoległej przechodzącej przez jego środek wahań O'. Zjawisko to wykorzystuje się do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego, czyli odwracalnego. Wyznaczając przyspieszenie ziemskie przy pomocy wahadła rewersyjnego posługiwać się będziemy równaniem wynikającym ze wzoru na okres drgań wahadła rewersyjnego.
Tabela pomiarów.
Położenie pierwszego krążka: 4 cm |
||||||
Położenie pierwszego noża: 10 cm |
||||||
Położenie drugiego noża: 49 cm |
||||||
Położenie II |
Zawieszenie pierwsze |
Zawieszenie drugie |
||||
krążka [cm] |
Ilość okresów |
Czas |
Okres |
Ilość okresów |
Czas |
Okres |
45 |
10 |
13,18 |
1,318 |
10 |
12,77 |
1,277 |
44 |
10 |
13 |
1,3 |
10 |
12,69 |
1,269 |
43 |
10 |
12,8 |
1,28 |
10 |
12,58 |
1,258 |
42 |
10 |
12,64 |
1,264 |
10 |
12,5 |
1,25 |
41 |
10 |
12,49 |
1,249 |
10 |
12,42 |
1,242 |
40 |
10 |
12,3 |
1,23 |
10 |
12,38 |
1,238 |
39 |
10 |
12,1 |
1,21 |
10 |
12,35 |
1,235 |
38 |
10 |
11,98 |
1,198 |
10 |
12,31 |
1,231 |
36 |
10 |
11,7 |
1,17 |
10 |
12,27 |
1,227 |
34 |
10 |
11,5 |
1,15 |
10 |
12,24 |
1,224 |
32 |
10 |
11,35 |
1,135 |
10 |
12,22 |
1,222 |
30 |
10 |
11,24 |
1,124 |
10 |
12,21 |
1,221 |
28 |
10 |
11,18 |
1,118 |
10 |
12,22 |
1,222 |
26 |
10 |
11,2 |
1,12 |
10 |
12,25 |
1,225 |
24 |
10 |
11,32 |
1,132 |
10 |
12,28 |
1,228 |
23 |
10 |
11,38 |
1,138 |
10 |
12,3 |
1,23 |
22 |
10 |
11,45 |
1,145 |
10 |
12,38 |
1,233 |
21 |
10 |
11,59 |
1,159 |
10 |
12,36 |
1,236 |
20 |
10 |
11,77 |
1,177 |
10 |
12,4 |
1,24 |
19 |
10 |
12,06 |
1,206 |
10 |
12,45 |
1,245 |
18 |
10 |
12,38 |
1,238 |
10 |
12,5 |
1,25 |
17 |
10 |
12,87 |
1,287 |
10 |
12,55 |
1,255 |
16 |
10 |
13,48 |
1,348 |
10 |
12,6 |
1,26 |
15 |
10 |
14,29 |
1,429 |
10 |
12,64 |
1,264 |
14 |
10 |
15,4 |
1,54 |
10 |
12,69 |
1,269 |
13 |
10 |
16,59 |
1,659 |
10 |
12,75 |
1,275 |
12 |
10 |
19,43 |
1,943 |
10 |
12,82 |
1,282 |
Obliczenie wartości przyspieszenia ziemskiego.
Z wykresu zależności okresu wahań od położenia soczewki odczytać można, że krzywe dla zawieszenia pierwszego i drugiego przecinają się w punktach, odpowiadających okresom równym T1=1,24 i T2=1,25. Dlatego obliczenia przyspieszenia ziemskiego dokonam dla średniej arytmetycznej obu okresów wynoszącej t=1,245 [s].
Długość zredukowana wynosi l=0,49-0,1=39 [m].
Obliczenie błędów.
Wartość tablicowa: g=9,806 [m⋅s-2]
Wnioski.
Metoda pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego jest metodą dokładną, gdyż zarówno długość zredukowaną jak i okres drgań wahadła można wyznaczyć ze stosunkowo dużą precyzją. Wartość przyspieszenia ziemskiego odczytana z tablic wynosi 9,806 [m⋅s-2], natomiast wartość przyspieszenia ziemskiego uzyskana w ćwiczeniu wyniosła 9,933 [m⋅s-2]. W związku z tym błąd bezwzględny wynosi 0,127 [m⋅s-2], a błąd względny wynosi 1,295%. Błąd ten może wynikać z niedokładności odczytania długości oraz z niedokładności miernika mierzącego okres wahań.