1. Dlaczego statystyka matematyczna ma zastosowanie w planowaniu doświadczeń?

1. modeluje pewne zjawiska

2. pozwala modelować zjawiska deterministyczno - losowe

3. pozwala zwiększać wiarygodność wyników

4. daje kontrolowaną szansę poprawności wyników

5. możemy ja stosować gdy: chcemy badać 2 czynniki

wśród jednostek doświadczenia występuje zmienność systematyczna

2. Kiedy stosujemy analizę wariancji, regresji, korelacji

• Analiza wariancji - do zbadania czy jest wpływ czynników i jak duży jest ten wpływ

• Analiza regresji

1. Prostej - do badania zależności przyczynowo - skutkowej między dwoma zmiennymi ilościowymi

zmienna X - przyczynowa (determnistyczna/losowa)

zmienna Y - skutkowa (losowa o rozkładzie normalnym

np. x - średnia temperatura w ostatnim okresie dojrzewania winogron w jednym miesiącu

y - zawartość cukru w winogronach

2. wielokrotnej - do badania zależności przyczynowo - skutkowej między przyczynowymi zmiennymi ilościowymi a zmienną skutkową.

np. ilość skrobi, ilość tłuszczu, temp. procesu - gęstość majonezu

• Analiza korelacji - do badania współzależności między 2 losowymi zmiennymi ilościowymi

- obie zmienne mają rozkład normalny

- żadna ze zmiennych nie jest przyczyną drugiej

np: 1. Zależność między masą owoców w kg a zawartością suchej masy w %

2. Zależność miedzy zaw s.m a zawart skrobi w ziemniakach

3. Przykłady zastosowania analizy korelacji prostej:

- masa owoców w kg a zawartość s.m w %

- czas nauki na egzamin a wynik egzaminu

4. Dlaczego doświadczenia wieloczynnikowe są bardziej przydatne niż jednoczynnikowe?

- lepiej oddają istotę doświadczenia

- pozwalają na określenie jednoczesnego wpływu kilku czynników na daną zmienną

5. Zasada metody najmniejszych kwadratów

- podstawa teorii błędów pomiarów

- dokładniejsza nazwa: metoda minimum sumy kwadratów błędów

Metoda służy do szacowania parametrów strukturalnych funkcji regresji w postaci f(X)=α+βX=β₀+β. Zasada metody polega na znalezieniu takiej funkcji, dla której suma kwadratów odchyleń powinna być minimalna. Do oszacowania parametrów służą estymatory: estymator stałej regresji (α) i estymator współczynnika kierunkowego (β).

Zasada: wartością najbardziej prawdopodobną ( otrzymaną z tak samo dokładnych pomiarów) jest taka wartość, której odchylenia od wyników, podniesione do kwadratu i zsumowane dają najmniejszą z możliwych wartość

Najbardziej prawdopodobną wartość z szeregu jednakowych dokładnych pomiarów jest ich wartość średnia

Przy pomiarach niejednakowo dokładnych najbardziej prawdopodobna wartość jest średnia ważona.

6. Dwa przykłady doświadczeń dwuczynnikowych w technologii żywności

• Zawartość tłuszczu, ilość dodatków - jakość otrzymanej wędliny

• Zawartość cukru, zawartość tłuszczu - kaloryczność produktu

7. Działy statystyki :

1. Estymacja parametrów rozkładu prawdopodobieństw zmiennej losowej X

2. Testowanie (weryfikacja) hipotez statystycznych

ad a) Szacowanie wartości nieznanych wart. rozkładu. Nieznana postać odróżnia estymację od weryfikacji hipotez.

1. Estymacja punktowa - szacowanie punktowe szukanego parametru rozkładu

2. Estymacja przedziałowa - szacowanie parametrów w populacji (oszacowanie pewnego przedziału wartości rozkładu)

ad b) obejmuje:

• Hipotezę statystyczną (to każde przypuszczenie dotyczące rozkładu (rozkładów) prawdopodobieństwa badanej zmiennej losowej (zmiennych losowych))

• Test statystyczny (pewne narzędzie, postępowanie służące sformułowaniu wniosku o hipotezie. Służy do testowania hipotezy, do rozstrzygania o prawdziwości lub nie)

• Poziom istotności testu

8. Co to jest estymator parametru zmiennej losowej, jakie powinien posiadac właściwości?

Estymator - konkretna wartość uzyskana z próby - ocena wartości szukanego parametru ( w estymacji prostej)

Określona funkcja elementów próby g(x1,x2,xn) spełniająca pewne kryteria optymalności

1. estymator średniej u (średnia arytmetyczna)

2. estymator wariancji δ²

3. estymator odchylenia standardowego δ δ = S = pierwiastek z δ²

Właściwości dobrego estymatora:

1. Nieobciążalność - nie popełnia błędu statystycznego) wart. oczekiwana = wart. parametru

2. Zgodność

3. Efektywność (dokładny)

4. Dostateczność

5. Dokładność ( najmniejsza średnia wartość błędu)

9. Poziom istotności, moc testu statystycznego

Poziom istotności - liczba α ε (0,1) będąca max dopuszczalnym przez eksperymentatora prawdopodobieństwem popełnienia błędów I rodzaju

Określa max ryzyko błędu jakie badacz jest w stanie zaobserwować

- najczęściej oznaczamy symbolem „d”

- d = 0,1 ; 0, 05; 0,01; 0,001

- jeżeli d się zmniejsza to przedział się rozszerza i precyzja oceny spada.

Moc testu statystycznego -prawdopodobieństwo nie odrzucenia hipotezy alternatywnej H₁ gdy jest ona w rzeczywistości prawdziwa

- test mocny - w większości przypadków jesteśmy w stanie odrzucić fałszywą H₀

- test słaby - istnieje duża szansa na to, że nie odrzucamy H₀ pomimo jej fałszywości

Moc testu statystycznego pozwala na określenie kryterium wyboru procedury testowej przy weryfikacji H₀

10. Do czego służy analiza korelacji i analiza wariancji?

Analiza korelacji:

Jest metodą statystyczną (jedną z najstarszych) pozwalającą na zbadanie związku pomiędzy dwiema zmiennymi ilościowymi ciągłymi, przy założeniu, że obie zmienne są losowe i mają rozkład normalny. Powinniśmy unikać stosowania analizy korelacji, gdy zmienne są nieciągłe. Wyznaczamy współczynnik korelacji r, który jest oszacowaniem ζ. Na podstawie współczynnika korelacji obliczonego z danych można sformułować 2 rodzaje wniosków: *nie stwierdzono korelacji między zmiennymi, *stwierdzono korelację między zmiennymi

• Współczynnik ujemny - korelacja jest ujemna - jedna zmienna rośnie a druga ma skłonność o malejących wartości,

• Współczynnik dodatni - korelacja jest dodatnia - związek proporcjonalny, jedna zmienna rośnie, druga wykazuje tendencje do rosnących wartości.

Im wartość bezwzględna r jest bliższa 0 tym słabsza korelacja, im bliższa 1 tym silniejsza korelacja.

Analiza wariancji.

Jest to metoda statystyczna odrębna od analizy korelacji. Tą metodę statystyczną stworzył angielski badacz Fisher na początku lat 20. XX w na użytek badań eksperymentalnych. Analiza wariancji służy do oceny wpływu poziomu badanego czynnika na zmienna o rozkładzie normalnym. Badamy wpływ czynników na wartość pewnej zmiennej (nawet kilku), bo istnieje zmienność losowa w każdym doświadczeniu (jest nieuchronna).

11. Do czego służy analiza regresji?

Analiza regresji - jest narzędziem do badania mechanizmu powiązań między zmiennymi. Przyporządkowując wartości zmiennej przyczynowej X średnie wartości zmiennej skutkowej Y otrzymujemy funkcję. Jeżeli ta funkcja jest liniowa to mówimy o liniowej funkcji regresji.

W przypadku, gdy zmienna skutkowa Y zależy od dużej liczby zmiennych przyczynowych X i powstała z takiego przyporządkowania funkcja jest funkcją liniową, to mówimy o analizie regresji wielokrotnej (liniowej). Na podstawie danych eksperymentalnych i k zmiennych można określić, które zmienne przyczynowe wpływają na zmienną skutkową Y i jeżeli wpływają to z jaką siłą.

12. Dwa przykłady problemów naukowo badawczych z zastosowaniem analizy wariancji

1. Jednoczynnikowa - czy rodzaj opakowania wpływa na trwałość mleka.

2. Wieloczynnikowa - rodzaj środka konserwującego oraz stężenie tego środka a trwałość produktu.

• Zawartość wit.C w warzywach w zależności od sposobu uprawy.

• Zawartość wody w zależności o rodzaju chłodni (warunków przechowywania).

• Ubytek suchej masy w zależności od sposobu przechowywania warzyw

13. Dwa przykłady problemów naukowo badawczych z zastosowaniem analizy korelacji.

• Zawartość suchej masy i zawartość skrobi w bulwach ziemniaków.

• Zawartość wit.C i zawartość suchej masy w owocach papryki

14. Długość przedziału ufności dla średniej rozkładu normalnego - od czego i w jaki sposób zależy?

• Zależy od wielkości próby n, im n większe tym przedział jest bardziej zawężony. Zależy również od przyjętej wartości α, im α większe tym przedział bardziej zawężony.

• (1 - α) współczynnik ufności. Prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość parametru β w populacji znajduje się w wyraźnym przedziale ufności

• Większy przedział, gdy większa wartość współczynnika ufności (a więc mniejsza dokładność estymacji przedziałowej) tym samym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

• Przedział ufności - przedział z dużym prawdopodobieństwem wystąpienia w nim prawdziwej wartości parametru.

15. Dwa przykłady, w których może być zastosowana analiza liniowej regresji prostej.

• Liczba prosiąt a wiek świni.

• Wielkość plonu a wielkość nawożenia azotem

16. Czym wyróżniają się metody statystyczne spośród innych metod analizy danych?

1. Każde wnioskowanie na podstawie próby

2. Próby są wybierane losowo

3. Statystyka opiera się na rachunku prawdopodobieństwa

4. Wnioski - z danych zbieranych w empirycznych badaniach zjawisk

5. Dane są reprezentatywne

6. Opis określonych prawidłowości zjawisk w sposób fragmentaryczny

7. Dane są obciążone efektami przyczyn losowych

8. Inne metody nie wykorzystują prób do wnioskowania

17. Podać nazwy znanych testów statystycznych i wskazać hipotezy statystyczne (w formie symboli i znaczenia merytorycznego), które mogą być sprawdzone przy ich pomocy.

Test t-Studenta. Służy do porównania średniej z próby wzglądem zakładanej średniej populacji. Mogą być testowane za jego pomocą hipotezy:

*H₀: m=m₀ ;

*Hipotezy alternatywne: a)H₁: m≠m₀ b)H_1: m>m₀ c)H₁: m<m₀ dla jednej populacji.

Test t-Studenta może być też wykorzystany do porównania dwóch populacji (dwóch rozkładów normalnych). Służy do porównania średnich obu populacji: *H₀: m₁=m_{2; *}H₁: m₁≠m₂

Test f-Fischera wzór służy do porównania wariancji z różnych populacji

*H_i: m₁=m₂=……=m_a

Do porównania poszczególnych średnich między sobą stosujemy test t-Studenta

*H_0ii': m_i≠m_i' dla i,i'= 1,2,…..,a; i<i'

Test chi kwadrat służy do testowania hipotezy o typie rozkładu, np. czy dana zmienna ma rozkład normalny. *Ho= n_i^t= np_i

18. Czym zajmuje się statystyka matematyczna?

Statystyka matematyczna zajmuje się modelowaniem matematycznych zjawisk badawczych i empirycznych oraz wnioskowaniem z danych reprezentatywnych zbieranych w empirycznych badaniach zjawisk masowych.

19. Co to jest poziom ufności?

Poziom ufności (1- α) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość zmiennej losowej znajduje się w obszarze dopuszczalnym. Jest to liczba przedziału (0;1), najczęściej przyjmuje wartości 0,95; 0,99.

Poziom ufności - stopień prawdopodobieństwa, iż wynik badania zarejestrowany w próbie, jest zgodny ze stanem faktycznym w całej badanej zbiorowości (populacji).

Statystyka - opracowane pytania 2

3

---