WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA ZADANIOWA

etap 7 - odpowiedzi

Klasy I

7. Wyznacz wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Odp.

Oznaczmy szukaną liczbę sześciocyfrową jako
, gdzie
,
- pewne liczby trzycyfrowe. Wtedy
, a po przestawieniu cyfr opisanym w treści zadania otrzymujemy liczbę
. Z treści zadania wynika, że:

Lewa strona równania jest podzielna przez 857 stąd prawa strona również musi być podzielna przez 857. Liczby 857 i 142 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników), stąd
musi być podzielne przez 857. Jedyną trzycyfrową wielokrotnością liczby 857 jest 857, stąd
, a
.

Odp. 142857

Klasy II

7. W grupie 5 dziewcząt niektóre są przyjaciółkami, a inne nie. Każda z dziewcząt ma w tej grupie albo 2 przyjaciółki albo 3 przyjaciółki, a gdy 2 dziewczynki przyjaźnią się, to nie mają

nigdy tej samej liczby przyjaciółek w tej grupie. Ela ma w tej grupie 3 przyjaciółki. Amelia przyjaźni się z Kasią. Beata jest również przyjaciółką Kasi. Podaj, w kolejności alfabetycznej, imiona przyjaciółek Dominiki.

Odp. Najwygodniej podobne zagadki logiczne rozwiązywać za pomocą tabeli.

1. Stawiamy w kratkę symbol • jeśli dziewczynki (których imionami nazwaliśmy wiersz i kolumnę tabeli) się przyjaźnią, a symbol × jeśli dziewczynki nie są przyjaciółkami. Oczywiście dziewczynka nie przyjaźni się z samą sobą, stąd wstawiamy × w każdej kratce na przekątnej. Oczywista jest też symetria relacji przyjaźni.

2. W każdym wierszu i kolumnie mogą być 2 albo 3 symbole •. Ela nie może przyjaźnić się z Kasią, bo zarówno Ela jak i Kasia miałyby po 3 przyjaciółki.

3. Ela ma w tej grupie 3 przyjaciółki. Jej przyjaciółki Amelia, Beata i Dominika mogą mieć dwie przyjaciółki.

1

A

B

D

E

K

2

A

B

D

E

K

3

A

B

D

E

K

A

×

•

A

×

•

A

×

×

×

•

•

B

×

•

B

×

•

B

×

×

×

•

•

D

×

D

×

D

×

×

×

•

•

E

×

E

×

×

E

•

•

•

×

×

K

•

•

×

K

•

•

×

×

K

•

•

•

×

×

Odp. Ela, Kasia.

Klasy III

7. Udowodnij, że jeśli
i
są liczbami naturalnymi oraz
, to
.

Odp.

Niech
i
- dowolne liczby naturalne takie, że
. Wynika stąd, że:

, czyli
oraz

, czyli
.

Iloczyn dwóch liczb niedodatnich jest nieujemny, stąd:
, równoważne






.

Co należało udowodnić.

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa

---